Гипотеза Коллатца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Стабильная версия, проверенная 27 сентября 2024.
Перейти к навигации Перейти к поиску
График последовательности для числа 27

Гипо́теза Ко́ллатца (3n+1 диле́мма, сираку́зская пробле́ма) — одна из нерешённых проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки. Названа по имени немецкого математика Лотара Коллатца, сформулировавшего похожую задачу 1 июля 1932 года[1].

Формулировка

[править | править код]
Последовательности для всех нечётных чисел от 1 до 49 включительно (кроме чисел 27, 31, 41, 47). Чётные числа в последовательности опущены

Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сираку́зской после́довательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.

Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу[2].

Примеры

[править | править код]

Например, для числа 3 получаем:

3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10:2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16:2 = 8
8 — чётное, 8:2 = 4
4 — чётное, 4:2 = 2
2 — чётное, 2:2 = 1
1 — нечётное.

Последовательность, начинающаяся числом 19, приходит к единице уже за двадцать шагов:

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Для числа 27 получаем:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Жирным выделены нечётные числа.

Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.

Чи́сла-гра́дины — также распространённое название для совокупности рассмотренных последовательностей. Такое название возникло из-за того, что графики последовательностей (см. иллюстрацию) похожи на траектории движения градин в атмосфере.

Последовательность первых чисел

[править | править код]
Числа до 16: последовательность 3n+1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 10 2 16 3 22 4 28 5 34 6 40 7 46 8
5 1 8 10 11 2 14 16 17 3 20 22 23 4
16 4 5 34 1 7 8 52 10 10 11 70 2
8 2 16 17 22 4 26 5 5 34 35 1
4 1 8 52 11 2 13 16 16 17 106
2 4 26 34 1 40 8 8 52 53
1 2 13 17 20 4 4 26 160
1 40 52 10 2 2 13 80
20 26 5 1 1 40 40
10 13 16 20 20
5 40 8 10 10
16 20 4 5 5
8 10 2 16 16
4 5 1 8 8
2 16 4 4
1 8 2 2
4 1 1
2
1

Проект «Collatz Conjecture»

[править | править код]

В августе 2009 года на платформе BOINC был запущен проект добровольных распределённых вычислений «Collatz Conjecture»[3], целью которого является проверка гипотезы Коллатца на больших числах. Вычислительный модуль проекта может использовать вычислительные мощности современных видеокарт.

Кроме проекта Collatz Conjecture, с августа 2017 года поиском решения этой проблемы стал также заниматься проект распределённых вычислений yoyo@home[4].

В последние годы проверены все натуральные числа до 3×1020, и каждое из них продемонстрировало соответствие гипотезе Коллатца.

Реализация на языках программирования

[править | править код]

Python: 

maxnum = 0
num = int(input("Введите число: "))

while num != 1:
    
	if num % 2 == 0:
		num //= 2
		
	else:
	    
		num = num*3 + 1
		
	print(num)
	maxnum = max(maxnum, num)
	
print("Пик:", maxnum)

C# 

int n;
int i = 0;
Console.WriteLine("Введите число n: ");
n = int.Parse(Console.ReadLine());
while (n != 1) {
    if (n % 2 == 0) {
        n /= 2;
        i += 1;
    }
    else {
        n = 3 * n + 1;
        i += 1;
    }
}
Console.WriteLine($"{n} {i}");

C++: 

#include <iostream>

int main() {
	int maxnum = 0;
	int num = 0;
	int count = 0;
	std::cin >> num;
	while (num != 1) {
		if (num % 2 == 0) {
			num = num / 2;
		} else {
			num = num * 3 + 1;
		}
		std::cout << num << std::endl;
		maxnum = std::max(maxnum, num);
		count++;
	}
	std::cout << "Пик: " << maxnum << std::endl;
	std::cout << "Шагов: " << count << std::endl;
}

См. также

[править | править код]
  • Открытые математические проблемы
  • FRACTRAN — эзотерический язык программирования, полный по Тьюрингу, со схожими инструкциями. Показывает, что подобные задачи не имеют алгоритмического решения.

Примечания

[править | править код]
  1. ↑ Уинклер П. Математические головоломки. Коллекция гурмана. — МЦНМО, 2024. — 176 с. — ISBN 978-5-4439-1819-8.
  2. ↑ Стюарт, 2015, с. 405.
  3. ↑ Официальный сайт проекта «Collatz Conjecture» Архивная копия от 4 декабря 2017 на Wayback Machine.
  4. ↑ Сайт проекта «yoyo@home» Архивная копия от 22 сентября 2017 на Wayback Machine.

Литература

[править | править код]

Ссылки

[править | править код]
Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Гипотеза_Коллатца&oldid=140443622