Operátor nabla

Operátor nabla (iné názvy: nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla $\nabla$ alebo ${\vec {\nabla }}$ (v anglosaských krajinách ${\underline {\nabla }}$), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rⁿ vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rⁿ podľa R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar: ${\nabla }\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R³ s pravouhlými súradnicami x, y a z.

• Aplikáciou na skalárne pole ${\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}$ dostávame gradient tohto skalárneho poľa:

$\operatorname {grad\ } \Phi =\nabla \Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$

kde $\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$ sú jednotkové vektory priestoru R³.

• Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom ${\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}$ dostávame divergenciu tohto poľa:

$\operatorname {div\ } \mathbf {V} ={\nabla }\cdot \mathbf {V} ={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}.$

• Rotáciu vektorového poľa ${\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}$ potom získame vektorovým súčinom $\nabla$ s týmto poľom.

$\operatorname {rot\ } \mathbf {V} ={\nabla }\times \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}.$

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operácie:

$\nabla (\psi \varphi )=\psi \nabla \varphi +\varphi \nabla \psi$

$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

$\nabla f(r)={\frac {df}{dr}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}$

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {A} )=\varphi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \varphi$

$\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$

$\nabla \cdot \nabla \varphi \equiv \Delta \varphi$ (pozri aj Laplaceov operátor)

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=\mathbf {0}$

$\nabla \times \varphi \mathbf {A} =\varphi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times \nabla \varphi$

$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \nabla )\mathbf {A} -\mathbf {B} (\nabla \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \nabla )\mathbf {B}$

$\nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0}$

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A}$