Jump to content

Mosbarazimi i Jensenit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Pabarazia e Jensenit përgjithëson pohimin se një vijë sekante e një funksioni të lugët shtrihet mbi grafikun e tij.
Vizualizimi i lugtësisë dhe pabarazisë së Jensen

matematikë, mosbarazimi i Jensenit, e quajtur sipas matematikanit danez Johan Jensen, lidh vlerën e një funksioni të lugët të një integrali me integralin e funksionit të lugët. Ajo u vërtetua nga Jenseni në vitin 1906, [1] duke u mbështetur në një provë të mëparshme të së njëjtës pabarazi për funksionet e dyfishta të diferencueshme nga Otto Hölder në 1889. [2] Duke pasur parasysh përgjithësinë e saj, pabarazia shfaqet në shumë forma në varësi të kontekstit, disa prej të cilave janë paraqitur më poshtë. Në formën e tij më të thjeshtë, pabarazia thotë se transformimi i lugët i një mesatareje është më i vogël ose i barabartë me mesataren e zbatuar pas transformimit të lugët; është një përfundim i thjeshtë se e kundërta është e vërtetë për shndërrimet e mysëta. [3]

Pabarazia e Jensenit përgjithëson pohimin se vija sekante e një funksioni të lugët qëndron mbi grafikun e funksionit, që është pabarazia e Jensenit për dy pika: vija sekante përbëhet nga mesataret e peshuara të funksionit të lugët (për t ∈ [0,1]),

ndërsa grafiku i funksionit është funksioni i lugët i mesatares së peshuar,

Kështu, pabarazia e Jensenit është

Në kontekstin e teorisë së probabilitetit, përgjithësisht shprehet në formën e mëposhtme: nëse X është një ndryshore e rastit dhe φ është një funksion i lugët, atëherë

Zbatime dhe raste të veçanta

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Trajta që përfshin një funksion të dendësisë së probabilitetit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Supozoni se Ω është një nëngrup i matshëm i vijës reale dhe është një funksion jo negativ i tillë që

Në gjuhën probabiliste, është një funksion i dendësisë së probabilitetit .

Atëherë pabarazia e Jensen bëhet pohimi i mëposhtëm në lidhje me integralet e lugëta:

Nëse g është ndonjë funksion i matshëm me vlerë reale dhe është i lugët mbi shtrirjen e g, atëherë

Nëse , atëherë kjo formë e pabarazisë reduktohet në një rast të veçantë të përdorur zakonisht:

Kjo aplikohet në metodat variacionale Bejesiane .

Shembull: momentet çift të një ndryshoreje të rastit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse , dhe X është një ndryshore e rastit, atëherë g është i lugët si

dhe kështu

Fizika statistikore

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Pabarazia e Jensenit ka një rëndësi të veçantë në fizikën statistikore kur funksioni i lugët është një eksponencial, duke dhënë:

ku pritjet matematike janë në lidhje me disa shpërndarje probabiliteti në ndryshoren e rastit X

Teoria e informacionit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse është dendësia e vërtetë e probabilitetit për , dhe është një dendësi tjetër, atëherë duke zbatuar pabarazinë e Jensenit për ndryshoren e rastit dhe funksionin e lugët jep

Prandaj:

një rezultat i quajtur pabarazia e Gibbs-it .

Teorema Rao–Blackwell

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse L është një funksion i lugët dhe një nën-sigma-algjebër, atëherë, nga versioni i kushtëzuar i pabarazisë së Jensenit, marrim

Pra, nëse është një vlerësues i një parametri të pavëzhguar dhënë një vektor të vëzhguesve  ; dhe nëse është një statistikë e mjaftueshme për atëherë një vlerësues i përmirësuar, në kuptimin e të paturit një humbje më të vogël të pritshme L, mund të merret duke llogaritur

pritja matematike e në lidhje me , marrë mbi të gjithë vektorët e mundshëm të vëzhgimeve të përputhshëm me të njëjtën vlerë të si ajo e vëzhguar. Më tej, për shkak se T është një statistikë e mjaftueshme, nuk varet nga , prandaj bëhet statistikë.

  1. ^ Jensen, J. L. W. V. (1906). "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). "Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality". Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. doi:10.1007/s00013-013-0522-3. MR 3069109. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Springer Texts in Statistics. London: Springer. doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)