Једначина — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м r2.5.2) (Бот Додаје: ur:مساوات |
Словне грешке |
||
| (Није приказано 48 међуизмена 24 корисника) | |||
Ред 1:
:''Ово је чланак о математичким једначинама. За израз из хемије, погледати: [[хемијске једначине|хемијска једначина]].''
[[Датотека:First Equation Ever.png|мини|десно|300px|Прва употреба знака једнакости, која је еквивалентна са 14''x'' + 15 = 71 у модерној нотацији. Из -{''[[The Whetstone of Witte]]''}- аутора [[Robert Recorde|Роберта Рекорда]] од Велса (1557).<ref>{{cite book| url=https://archive.org/download/TheWhetstoneOfWitte/TheWhetstoneOfWitte_text.pdf |last=Recorde|first=Robert| title=The whetstone of witte, whiche is the seconde parte of Arithmetike: containyng thextraction of Rootes: The Coßike practise, with the rule of Equation: and the woorkes of Surde Nombers | location=London | publisher=Jhon Kyngstone | year=1557 }}</ref>]]
'''Једначина''' је [[математика|математички]] појам који изражава везу између познатих и непознатих величина посредством знака једнакости који изједначава леву и десну страну једначине. У том смислу разликује се математички идентитет (једнакост), где се само установљава једнакост леве и десне стране, од једначине, где се у основи тражи вредност непознате величине тако да она удовољава постављену једначину. Непознате величине, непознанице, често се означавају са ''x'', ''y'', -{''z''}- или било којом другом ознаком, премда непозната величина у ширем смислу може генерално бити и [[Функција (математика)|функција]]. Једначине се решавају по правилу неким од већ стандардних поступака, одн. метода, где се једначине разликују према особеностима и начину решавања.
''Решавање'' једначине се састоји од одређивања које вредности променљивих чине једнакост тачном. Променљиве се исто тако називају ''непознатима'' и вредности непознатих које задовољавају једначину се називају [[решење (једначина)|решењима]] једначине. Постоје два типа једначина: идентитетне једначине и условне једначине. Једна једначина идентитета је тачна за све вредности променљиве. Условна једначина је тачна само за одређене вредности променљиве.<ref>{{cite book|chapterurl=http://www.universalis.fr/encyclopedie/NT01240/EQUATION_mathematique.htm |chapter=Équation, mathématique |last=Lachaud|first=Gilles|title=Encyclopædia Universalis |language=French }}</ref><ref>"A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, '''identities''' and '''conditional equations''' (or usually simply "equations")". ''Equation'', in ''{{Lang|en|Mathematics Dictionary}}'', Glenn James, Robert C. James (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, {{p.|131}}</ref>
Свака страна једначине се назива изразом. Сваки израз садржати један или више чланова. Једначина,
:<math> Ax^2 +Bx + C = y </math>
има два израза: <math> Ax^2 +Bx + C </math> и <math> y </math>. Леви израз има три члана, а десни један члан. Променљиве су ''x'' и ''y'', а параметри су -{''A''}-, -{''B''}-, и -{''C''}-.
Једначина је аналогна ваги на коју се стављају терети. Кад се једнаке тежине нечег (зрна на пример) налазе на обе стране, два терета узрокују да вага буде у равнотежи. Ако се нека количина зрна уклони из једне посуде ваге, једнака количина зрна мора бити уклоњена из друге посуде да би се равнотежа одржала. Исто тако, да би се одржала равнотежа, исте операције додавања, одузимања, множења и дељења се морају обавити на обе стране једначине да би остала у равнотежи.
У [[геометрија|геометрији]], једначине се користе за описивање геометријских фигура. Како једначине које се разматрају, попут [[имплицитна једначина|имплицитне]] или [[параметарска једначина|параметарске једначине]], имају бесконачно много решења, циљ је сада различит: уместо да се експлицитно дају решења или да се пребројавају, што је немогуће, једначине се користе за проучавање особина фигура. То је почетна идеја [[Алгебарска геометрија|алгебарске геометрије]], једне важне области математике.
[[Алгебра]] студира две главне фамилије једначина: [[Алгебарска једначина|полиномске једначине]] и, међу њима специјални случај [[линеарне једначине|линеарних једначина]]. Полиномске једначине имају облик -{''P''(''x'') = 0}-, где је -{''P''}- [[полином]]. Линеарне једначине имају облик -{''ax'' + ''b'' = 0}-, где су -{''a''}- и -{''b''}- [[Параметар#Математичке функције|параметри]]. Да би се решиле једначине из било које од ових фамилија, користе се алгоритамске или геометријске технике, које потичу из [[линеарна алгебра|линеарне алгебре]] или [[математичка анализа|математичке анализе]]. Алгебра исто тако студира [[Диофантска једначина|диофантске једначине]] где су коефицијенти и решења [[Цео број|цели бројеви]]. Технике које се користе су различите и потичу из [[Теорија бројева|теорије бројева]]. Те једначине су генерално тешке; обично је циљ само да се пронађе постојање или одсуство решења, и, ако постоје, да се преброје решења.
[[Диференцијалне једначине]] су једначине које садрже једну или више функција и њихове деривате. Оне се ''решавају'' налажењем израза за функцију који не укључује деривате. Диференцијалне једначине се користе за моделовање процеса који обухватају брзине промене варијабли, и налазе примену у областима као што су физика, хемија, биологија, и економија.
Симбол „[[Знак једнакости|=]]“, који се јавља у свакој једначини, је изумео [[Robert Recorde|Роберт Рекорд]] 1557. године, који је извео закључак да ништа не може да буде у већој мери једнако него паралелне праве линије исте дужине.
== Увод ==
=== Аналогна илустрација ===
[[Датотека:Equation illustration colour.svg|250п|мини|Илустрација једноставне једначине; ''x'', ''y'', -{''z''}- су реални бројеви, аналогно са тежинама.]]
Једначина је аналогна са [[Вага (инструмент)|вагом]], балансом, или [[Клацкалица|клацкалицом]].
Свака страна једначине одговара једној страни ваге. Различити квантитетом се могу ставити на сваку страну: ако су тежине на обе стране једнаке, вага је у балансу, и по аналогији једначина је исто тако балансирана (ако није, тада одсуство равнотеже одговара [[неједнакост]]и која се представља [[неједначина|неједначином]]).
На илустрацији, ''x'', ''y'' и -{''z''}- су различити квантитети (у овом случају [[реални број]]еви) представљени кружним теговима, и сваки ''x'', ''y'', и -{''z''}- има различиту тежину. Додавање кореспондира додавању тегова, док одузимање одговара уклањању тегова који су већ тамо. Кад је једначина уравнотежена, тотална тежина обе стране је иста.
=== Параметри и непознате ===
{{see also|Израз (математика))}}
[[Датотека:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|250п|десно|мини|Декартов координатни систем са кругом полупречника 2. Једначина круга је -{''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}- = 4.]]
Једначине често садрже чланове који нису непознати. Ти други чланови, за које се подразумева да су познати се називају ''константама'', ''коефицијентима'' или ''параметрима''.
Једначина која обухвата x и y као непознате и параметар -{R}- може да буде:
:<math> x^2 +y^2 = R^2 </math>
Кад је -{R}- изабрано да има вредност два (-{R}- = 2), ова једначина би била препозната, кад је приказана у [[Декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]], као једначина круга са полупречником два. Једначина са ненаведеним -{R}- је општа једначина круга.
Обично се непознате обележавају словима са краја алфабета, ''x'', ''y'', -{''z''}-, ''w'', …, док се коефицијенти (параметри) обележавају словима са почетка, -{''a''}-, -{''b''}-, -{''c''}-, -{''d''}-, … . На пример, општа [[квадратна једначина]] се обично пише са ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0. Процес налажења решења, или у случају параметара, изражавања непознатих у смислу познатих параметара се зове [[решавање једначине]]. Такви изрази решења у смислу параметара се исто тако називају ''решењима''.
[[Систем једначина]] је сет ''симултаних једначина'', обично са неколико непознатих, за који се траже заједничка решења. Стога је ''решење система'' set вредности за сваку непознату, које заједно формирају решење сваке једначине система. На пример, систем
:<math>\begin{align}
3x+5y&=2\\
5x+8y&=3
\end{align}
</math>
има јединствено решење -{''x'' = −1, ''y'' = 1}-.
=== Идентитети ===
{{main|Идентитет (математика)|Тригонометријски идентитети}}
'''Идентитет''' је једначина која је тачна за све могуће вредности променљивих које садржи. Многи идентитети су познати у алгебри и рачуну. У процесу решавања једначине, идентитет се често користи да се поједностави једначина, чинећи је лакше решивом.
У алгебри, један пример идентитета је [[разлика квадрата]]:
:<math>x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) </math>
који је тачан за свако ''x'' и ''y''.
[[Тригонометрија]] је област где постоји мноштво идентитета, и они су корисни у манипулисању или решавању [[тригонометријска једначина|тригонометријских једначина]]. Два од њих који обухватају [[Синус (тригонометрија)|синусне]] и [[косинус]]не функције су:
:<math>\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1 </math>
и
:<math>\sin(2\theta)=2\sin(\theta) \cos(\theta) </math>
које су тачне за све вредности ''θ''.
На пример, да би се решила вредност ''θ'' која задовољава једначину:
:<math>3\sin(\theta) \cos(\theta)= 1\,, </math>
где је за ''θ'' познато да је у интервалу 0 и 45 степени, може се користити горњи идентитет за производ из чега следи:
:<math>\frac{3}{2}\sin(2 \theta) = 1\,,</math>
што даје решење за ''θ''
:<math>\theta = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 20.9^\circ.</math>
Пошто је синусна функција [[Периодичност функције|периодична функција]], постоји бесконачно много решења ако нема ограничења на вредности ''θ''. У овом примеру, ограничење да је ''θ'' између 0 и 45 степени резултира у само једном решењу.
== Својства ==
Једначина је [[математика|математички]] исказ, задат симболички, да су две ''ствари'' [[једнакост (математика)|исте]] (или еквивалентне). Једначине се записују са [[знак једнакости|знаком једнакости]], на пример
:<math>2 + 3 = 5</math>.
Једначине се често користе да искажу једнакост два [[израз (математика)|израза]] која садрже једну или више [[
:<math>x - x = 0</math>.
Линија 10 ⟶ 90:
:<math>x + 1 = 2</math>.
Горња једначина је нетачна за бесконачно много вредности променљиве <math>x</math>, а тачна је за само једно; јединствено решење ове једначине је '''<math>x=1</math>'''. Стога, ако је познато да је једначина тачна, она даје податак о вредности <math>x</math>. Уопштено, вредности променљивих за које је једначина тачна се
Неки математичари користе израз '''једначина''' за једнакост која није идентитет. Разлика између ова два концепта може бити врло мала; на пример,
Линија 20 ⟶ 100:
Слова са почетка алфабета, као што су ''-{a}-'', ''-{b}-'', ''-{c}-'', ... се обично узимају да означе [[константа|константе]], а слова са краја алфабета, као што су ''-{x}-'', ''-{y}-'', ''-{z}-'', се обично узимају да означе променљиве.
Ако је једначина у [[елементарна алгебра|алгебри]] тачна, следеће операције се могу спровести да би се добила нова тачна једначина:
# Било која вредност се може [[сабирање|додати]] са обе стране једнакости.
# Било која вредност се може [[одузимање|одузети]] са обе стране.
Линија 33 ⟶ 111:
Најпознатији систем бројева који допушта све ове операције су [[реалан број|реални бројеви]], који су пример поља. Међутим, ако се једначина односи на пример на [[природан број|природне бројеве]], неке операције (попут дељења и одузимања) не морају да буду валидне, јер могу да дају негативне бројеве, или бројеве који нису цели.
Ако се на обе стране тачне једнакости примени функција која није [[
== Типови једначина ==
{{div col}}
=== Линеарна једначина ===
[[Линеарна функција|Линеарна једначина]] је најједноставнија једначина облика:
:<math> ax+b=0 \,</math>
где решење линеарне једначине по непознатој величини представља [[Нула функције|нулту тачку]] [[линеарна функција|линеарне функције]]:<ref name="Foerster">{{cite book|last=Foerster| first = Paul A. | title = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition | edition = Classics |year=2006| publisher = [[Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ | url = http://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 |isbn=978-0-13-165711-3|pages=535}}</ref>
:<math> y= ax+b \,</math>
чији је графички приказ правац те следи и назив линеарна једначина. Уз појам линеарне једначине везан је и појам [[Систем линеарних једначина|система линеарних једначина]] са две, три или по вољи више непознатих и исто толико једначина које нису у колинеарном односу.<ref>{{Citation | last = Axler | first = Sheldon Jay | year =1997
| title = Linear Algebra Done Right | publisher = Springer-Verlag
| edition = 2nd
|isbn=978-0-387-98259-5|pages=}}</ref><ref>{{Citation | last = Lay | first = David C.
| date = 22. 8. 2005.
| title = Linear Algebra and Its Applications | publisher = Addison Wesley
| edition = 3rd
|isbn=978-0-321-28713-7
}}</ref> Систем једначина од две, три, евентуално и четири непознате решава се класичном методом супституције или неком другом сличном методом, док се систем с већим бројем непознатих решава методом [[детерминанта|детерминанти]] или уз помоћ [[Матрица (математика)|матрица]].<ref name="Linear Matrices">{{cite book|isbn=978-0-486-66328-9|url= http://www.amazon.com/Matrices-Linear-Transformations-Edition-Mathematics/dp/0486663280/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1400776703&sr=8-1&keywords=cullen+matrices |title=Matrices and Linear Transformations |last=Cullen|first=Charles G. |location= MA |publisher=Dover|year=1990|pages=3}}</ref><ref>{{Citation |last = Meyer
|first = Carl D.
|date = 15. 2. 2001.
|title = Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
|publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
|isbn = 978-0-89871-454-8
|url = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
|accessdate = 04. 09. 2017
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20010301161440/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
|archivedate = 01. 03. 2001
|url-status=dead
|df =
}}</ref>
=== Диофантска једначина ===
[[Диофантска једначина|Диофантска]] је линеарна једначина је једначина облика:<ref>{{Cite book| first=L. J.|last=Mordell| authorlink=Louis Mordell | title=Diophantine equations | publisher=[[Academic Press]] |year=1969|isbn=978-0-12-506250-3| zbl=0188.34503 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=30 }}</ref><ref>{{Cite book |last=Schmidt| first=Wolfgang M. | authorlink=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1991|isbn=978-3-540-54058-8| volume=1467 | location=Berlin | zbl=0754.11020 }}</ref>
: <math> ax+by=c \,</math>,
где су -{a}-, -{b}- и -{c}- неки конкретни бројеви. За пример нелинеарне диофантске једначине може се навести једначина облика:
:<math> x^2+y^2 =z^2 \,</math>.
Диофантска једначина има у домену [[реални број|реалних бројева]] генерално [[бесконачност|бесконачан]] број решења, али у домену [[цели бројеви|целих бројева]] може постојати један или више бројева (-{''x,y''}-), одн. (-{''x,y,z''}-) који испуњавају услов дат у једначини.
=== Квадратна једначина ===
[[Квадратна једначина]] има општи облик:
:<math> ax^2+bx+c=0 \,</math>.
Решава се уобичајеним поступком решавања квадратне једначине, а зависно од предзнака дискриминанте има два реална или два конјуговано [[комплексни број|комплексна решења]].
Разматрајући квадратне једначине ваља споменути и [[биквадратна и симетрична једначина|биквадратну и симетричну једначину]], где се једначине виших потенција у посебним случајевима своде на квадратне, што се може учинити на пример за следеће једначине:
:<math> 2x^4+8x^2-4=0 \,</math>
и
:<math> x^4+2x^3-6x^2+2x+1=0 \,</math>
=== Кубна једначина ===
[[Кубна једначина]] има општи облик:
:<math> ax^3+bx^2+cx+d=0 \,</math>.
Поступак решавања кубне једначине је знатно сложенији, а зависно од вредности чланова -{a}-, -{b}-, -{c}- и -{d}- једначине, једначина може имати једно реално и два конјугована комплексна решења, три различита реална решења или два једнака реална решења и треће њима различито исто тако реално решење.
=== Полиномна једначина ===
[[Полином|Полиномна једначина]]:
: <math> a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 =0\, </math>
дефинисана је за све вредности непознате величине ''x'', где је -{''n''}- позитивни цели број и -{''a''<sub>0</sub>}-, -{''a''<sub>1</sub>}-, -{''a''<sub>2</sub>}-, ..., -{''a<sub>n</sub>''}- су коефицијенти једначине. Једначина има -{''n''}- решења, где се решења једначине налазе генерално у целој [[комплексна раван|комплексној равни]]. Квадратна једначина представља посебан случај полиномне једначине где је -{''n''}-=2.
=== Једначине с апсолутном вредности ===
Када се непозната величина појављује под знаком [[апсолутна вредност броја|апсолутне вредности]] говори се о [[једначина с апсолутном вредности|једначинама с апсолутном вредности]], где на пример једначина може бити задана као:
:<math> ||2x+6|-2|= 4\, </math>
=== Ирационална једначина ===
[[Ирационалан број|Ирационална једначина]] је једначина где се непозната величина појављује под кореном, као на пример:
:<math> \sqrt{3x+1} = \sqrt{x+4} +1 \,</math>
=== Експоненцијална једначина ===
[[Експоненцијална функција|Експоненцијална једначина]] је једначина где се непозната величина појављује у експоненту потенције, као на пример:
:<math> 3^{2x}-27 = 0 \,</math>
или
:<math> 10^{3x+3} = 100^{x+3} . \,</math>
=== Логаритамска једначина ===
[[Логаритам|Логаритамска једначина]] је једначина где је непозната величина садржана унутар [[логаритам|логаритма]] или чини базу логаритма:
:<math> log2x- \frac{1}{2}logx =0\, </math>
или
:<math> log_x{64} = \frac{x}{4} \, </math>
=== Тригонометријска једначина ===
[[Тригонометријска једначина|Тригонометријске једначине]] чине целу једну породицу једначина где је непозната величина аргумент тригонометријске функције, као на пример:
:<math> sin^2x+sinx=0 \, </math>
или
:<math> tg2x=3tgx \, </math>
=== Диференцијална једначина ===
[[Диференцијална једначина]] изражава непознату функцију једне или више променљивих и њихових [[деривација|деривата]] као што је то, на пример, диференцијална једначина која описује [[Rezonancija (fizika)|хармонички осцилатор]]:
: <math> \frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2y(t) = 0 </math>.
=== Интегрална једначина ===
[[Интегрална једначина]] је генерално једначина у којој се непозната функција појављује под знаком [[интеграл]]а као што је то, на пример, једначина карактеристична за серијско -{RC}- електрично коло:
:<math> R i(t) + \frac{1}{C}\int i(t) dt = u(t) \, </math>
=== Неодређене једначине ===
Неодређене једначине имају генерално бесконачно решења. Међутим, то су врло често једначине геометријских кривих или закривљених површина где једначина даје услов карактеристичан за сваку тачку криве, одн. површине као што је то, на пример једначина [[елипса|елипсе]] , односно [[сфера|сфере]]:
:<math> {b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2} \,</math>
односно
:<math> {x^2}+{y^2} + {z^2}=R^2 \,</math>
=== Функционална једначина ===
[[Функционална једначина|Функцијске једначине]]<ref name="rassias">
{{cite book
|title=Functional Equations and Inequalities | last =Rassias | first =Themistocles M.
|authorlink= | year =2000 | publisher =[[Kluwer Academic Publishers]]
|location=3300 AA Dordrecht, The Netherlands
|isbn=978-0-7923-6484-9 |url=https://archive.org/details/isbn_9780792364849|accessdate=| pages = [https://archive.org/details/isbn_9780792364849/page/335 335]}}</ref><ref name="rassias2">
{{cite book
|title=Stability of Functional Equations in Several Variables |last=Hyers|first=D. H. |authorlink=
|author2=Isac, G. |author3=Rassias, Th. M. | year =1998 | publisher =[[Birkhäuser Verlag]]
|location=Boston
|isbn=978-0-8176-4024-8 |url=https://archive.org/details/stabilityfunctio00hyer|accessdate=| pages = [https://archive.org/details/stabilityfunctio00hyer/page/n316 313]}}</ref><ref name="rassias3">
{{cite book
|title=Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Mathematical Analysis | last =Jung | first =Soon-Mo
|authorlink= | year =2001 | publisher =[[Hadronic Press, Inc.]]
|location=35246 US 19 North # 115, Palm Harbor, FL 34684 USA
|isbn=978-1-57485-051-2 |url=|accessdate=| pages = 256}}</ref><ref name="rassias4">
{{cite book
|title=Functional Equations and Inequalities in Several Variables | last =Czerwik | first =Stephan
|authorlink= | year =2002 | publisher =[[World Scientific Publishing Co.]]
|location=P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805
|isbn=978-981-02-4837-6 |url=https://archive.org/details/functionalequati00czer_941|accessdate=| pages = [https://archive.org/details/functionalequati00czer_941/page/n419 410]}}</ref> су посебна врста једначина где се тражи непозната функција која удовољава неком траженом услову,<ref name="cheng">
{{cite book
|title=Analytic solutions of Functional equations | last =Cheng | first =Sui Sun
|authorlink=
| last2 = Li | first2 = Wendrong | year =2008 | publisher =World Scientific Publishing Co.
|location=5 Toh Tuck Link, Singapore 596224
|isbn=978-981-279-334-8 |pages=
|url=
|accessdate=}}</ref> као што је то, на пример, услов да је:
:<math>f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2\ \,</math>
=== Параметарске једначине ===
Једноставан пример [[параметарска једначина|параметарске једначине]] је приказ једначине [[кружница|кружнице]] полупречника -{r}-:
:<math>x ^2+y^2= r^2 \,</math>
параметром -{t}-, где је:
:<math>x = r \cos(t)\,</math>
:<math>y = r \sin(t).\,</math>
=== Једначине назване по знаменитим математичарима и физичарима ===
Посебну категорију једначина на извјестан начин чине важне једначине које су добиле назив према истакнутим личностима из подручја математике и физике, где су неке таквих једначина:
* [[Ојлерова формула|Ојлерова једначина]],<ref>{{cite book| first=Martin A. |last=Moskowitz| title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. |year=2002|isbn=978-981-02-4780-5|pages=7}}</ref>
* [[Лапласова једначина]],<ref>{{Cite book |first=L. C. |last=Evans|title=Partial Differential Equations |url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998|isbn=978-0-8218-0772-9|pages=}}</ref>
* [[Бернулијева једначина]],<ref>{{cite web | url =http://www.britannica.com/EBchecked/topic/658890/Hydrodynamica#tab=active~checked%2Citems~checked&title=Hydrodynamica%20–%20Britannica%20Online%20Encyclopedia | title=Hydrodynamica | accessdate = 30. 10. 2008. |publisher= Britannica Online Encyclopedia }}</ref>
* [[Хелмхолцова једначина]],<ref>{{cite book|title=Introduction to Fourier Optics |edition=2nd |last=Goodman|first=J. W.|pages=61–62}}</ref>
* [[Поисонова једначина]],<ref>Michael Kazhdan, Matthew Bolitho, and Hugues Hoppe. 2006. Poisson surface reconstruction. In Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06). Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland, 61-70.</ref>
* [[Шредингерова једначина]].<ref name = sch>{{Cite journal | last =Schrödinger| first = E.
| title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules
| url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
| archiveurl = https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
| archivedate = 17. 12. 2008.
| journal = Physical Review
| volume = 28 | issue = 6 |pages=1049–1070|year=1926| doi = 10.1103/PhysRev.28.1049
|bibcode = 1926PhRv...28.1049S}}</ref>
=== Једначине назване у складу темељним физикалним процесима и појавама ===
Посебну категорију такође чине једначине карактеристичне за поједине физичке или хемијске процесе и појаве. Премда се у основи такве једначине могу сврстати у неку од већ изнетих једначина, велико физичко значење таквих једначина доделило им је посебне називе. Неке од њих су:
* [[једначина кретања]]
* [[топлотна једначина]]
* [[релативистичка таласна једначина]]
* [[једначина еквивалентности масе и енергије]]
* [[термохемијска једначина]]
{{div col end}}
== Види још ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Неједначина]]
* [[Неједнакост]]
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[Параметарска једначина]]
{{div col end}}
== Референце ==
{{reflist|30em}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Equations}}
* [http://www.wessa.net/math.wasp Плотер математичких једначина]: Црта дводимензионе математичке једначине и рачуна интеграле.
* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Плотер једначина]:
* [https://web.archive.org/web/20080515111313/http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_app.htm ''-{WZGrapher}-'']: Бесплатан програм за Виндоуз који црта једначине у правоуглом и поларном систему, уз могућности [[интеграл|интеграције]] и [[извод|диференцијације]].
* [http://www.equationwizard.com/ ''-{Equation Wizard}-'']: Аутоматски алгебарски решавач једначина
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ ''-{EqWorld}-'']
* [http://www.numberz.co.uk/ES.html ''-{EquationSolver}-''] {{Wayback|url=http://www.numberz.co.uk/ES.html |date=20071028140036 }}:
* [https://web.archive.org/web/20090816161008/http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html -{Winplot}-]: Алат опште намене који може да приказује и анимира 2Д и 3Д математичке једначине.
* [http://www.fxsolver.com -{fxSolver}-]: Онлајн база података формула и графички калкулатор за математику, природне науке и инжењеринг.
* [https://www.vcalc.com/app/ -{vCalc}-]: Веб страница са колекцијом једначина које које корисници могу да модификују.
{{Нормативна контрола}}
{{Порталбар|Математика}}
[[Категорија:Елементарна алгебра]]
[[Категорија:Једначине| ]]
| |||