Једначина

Ово је чланак о математичким једначинама. За израз из хемије, погледати: хемијска једначина.

Једначина је математички исказ, задат симболички, да су две ствари исте (или еквивалентне). Једначине се записују са знаком једнакости, на пример

$2+3=5$.

Једначине се често користе да искажу једнакост два израза која садрже једну или више променљивих. На пример, за сваку дату вредност $x$, увек је тачно да

$x-x=0$.

Две горње једначине су примери идентитета: једначина које су тачне невезано за вредности било које променљиве у њима. Следећа једначина није идентитет:

$x+1=2$.

Горња једначина је нетачна за бесконачно много вредности променљиве $x$, а тачна је за само једно; јединствено решење ове једначине је $x=1$. Стога, ако је познато да је једначина тачна, она даје податак о вредности $x$. Уопштено, вредности променљивих за које је једначина тачна се назвају решењима једначине. Решити једначину значи наћи њена решења.

Неки математичари користе израз једначина за једнакост која није идентитет. Разлика између ова два концепта може бити врло мала; на пример,

$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

је идентитет, док је

$(x+1)^{2}=2x^{2}+x+1$

једначина, чија су решења $x=0$ и $x=1$.

Слова са почетка алфабета, као што су a, b, c, ... се обично узимају да означе константе, а слова са краја алфабета, као што су x, y, z, се обично узимају да означе променљиве.

Својства

Ако је једначина у алгебри тачна, следеће операције се могу спровести да би се добила нова тачна једначина:

1. Било која вредност се може додати са обе стране једнакости.
2. Било која вредност се може одузети са обе стране.
3. Обе стране се могу помножити било којом вредношћу.
4. Обе стране се могу поделити било којом вредношћу различитом од нуле.
5. Начелно, свака функција се може применити на обе стране.

Алгебарска својства (1-4) имплицирају да је једнакост релација конгруенције за поље.

Најпознатији систем бројева који допушта све ове операције су реални бројеви, који су пример поља. Међутим, ако се једначина односи на пример на природне бројеве, неке операције (попут дељења и одузимања) не морају да буду валидне, јер могу да дају негативне бројеве, или бројеве који нису цели.

Ако се на обе стране тачне једнакости примени функција која није инјективна, резултат је опет тачна једнакост, али нова једначина може бити мање информативна. Формално, добија се импликација а не еквиваленција, па скуп решења може бити већи. Функције из тачака (1), (2), и (4) су увек инјективне, као и (3) ако не множимо нулом.

Види још

• Неједначина
• Неједнакост
• Линеарна једначина
• Квадратна једначина
• Кубна једначина
• Диференцијална једначина
• Интегрална једначина
• Функционална једначина
• Диофантска једначина
• Списак једначина
• Теорија једначина
• Параметарска једначина

Спољашње везе

• Плотер математичких једначина: Црта дводимензионе математичке једначине и рачуна интеграле.
• Плотер једначина: Вебсајт на коме могу да се исцртавају опште једначние, не само функције.
• WZGrapher: Бесплатан програм за Виндоуз који црта једначине у правоуглом и поларном систему, уз могућности интеграције и диференцијације.
• Equation Wizard: Аутоматски алгебарски решавач једначина
• EqWorld — садржи податке о решењима много класа математичких једначина.
• EquationSolver: Вебсајт на коме могу да се реше појединачне једначине, као и линеарни системи једначина.