Aritmetiskt medelvärde

Aritmetiskt medelvärde, ofta bara kallat medelvärde, är det genomsnittliga värdet av en uppsättning tal $\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}$ och definieras som

{\bar {x}}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

Aritmetiskt medelvärde av två tal

Det aritmetiska medelvärdet av två reella tal, $x_{1}$ och $x_{2}$ , är det reella tal, ${\bar {x}}$ , som ligger mitt emellan de två talen:

{\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

Det aritmetiska medelvärdet kan också uppfattas som en tyngdpunkt. Likna den reella tallinjen vid en tunn bräda och placera två vikter på platserna $x_{1}$ och $x_{2}$ där varje vikt väger lika mycket. På platsen ${\bar {x}}$ kan brädan balanseras.

Aritmetiskt medelvärde av fler än två tal

Det aritmetiska medelvärdet av n stycken reella tal $x_{1},\cdots ,x_{n}$ kan tolkas som tyngdpunkten för n stycken lika stora vikter utplacerade på platserna $x_{1},\cdots ,x_{n}$ :

{\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}.

Viktat aritmetiskt medelvärde

Om man istället för att placera ut lika tunga vikter på de n platserna lägger ut olika vikter, får man ett så kallat viktat aritmetiskt medelvärde:

{\bar {x}}_{v}={\frac {v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}}{v_{1}+\cdots +v_{n}}};

På plats $x_{1}$ placerar vi vikten $v_{1}$ ; på plats $x_{2}$ placerar vi vikten $v_{2}$ , och så vidare. Vi kan utgå ifrån att den sammanlagda vikten är lika med en viktenhet:

v_{1}+\cdots +v_{n}=1.

Då blir det viktade aritmetiska medelvärdet en så kallad konvex linjärkombination (även kallad konvex kombination) av talen $x_{1},\cdots ,x_{n}$ :

{\bar {x}}_{v}=v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}.

Det aritmetiska medelvärdet är ett exempel på en konvex linjärkombination.

Samband mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde

Det geometriska medelvärdet av två positiva reella tal, $x_{1}$ och $x_{2}$ , är det reella talet

{\tilde {x}}=(x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2}}

Med hjälp av kvadreringsregeln från algebran går det att visa att det geometriska medelvärdet av två positiva tal aldrig kan vara större än det aritmetiska medelvärdet:

(x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\qquad x_{1},\,x_{2}\geq 0.

Härledning av sambandet för två positiva tal

Tillämpas kvadreringsregeln på uttrycket $(({\sqrt {x_{1}}}-{\sqrt {x_{2}}})/{\sqrt {2}})^{2}$ , vilket alltid är positivt, erhålls

0\leq \left({\frac {{\sqrt {x_{1}}}-{\sqrt {x_{2}}}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {x_{1}-2{\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}+x_{2}}{2}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-(x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2}}

Vi ser också att de aritmetiska och geometriska medelvärdena är lika stora om, och endast om, $x_{1}$ och $x_{2}$ är samma tal.

Utvidgning av sambandet till fler än två positiva tal

Genom att använda matematisk induktion, går det att visa att olikheten för aritmetiskt och geometriskt medelvärde gäller även för fler än två positiva tal:

(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}},\qquad x_{1},\,\cdots ,x_{n}\geq 0

Logaritmfunktionen visar att det geometriska medelvärdet är ett slags aritmetiskt medelvärde:

\log(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n}}={\frac {\log x_{1}+\cdots +\log x_{n}}{n}}

Olikheten mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet följer då från olikheten

\log x\leq x,\quad x>0.

för logaritmfunktionen.

Jämförelse med andra medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet

Q: Kvadratiska medelvärdet

H: Harmoniska medelvärdet

G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

{\bar {a}}_{Q}\geq {\bar {a}}_{A}\geq {\bar {a}}_{G}\geq {\bar {a}}_{H}

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.

Se även