Орієнтований граф

Орієнтований граф (коротко орграф) — (мульти)граф, ребрам якого присвоєно напрямок. Орієнтовані ребра називаються також дугами, а в деяких джерелах (Оре) і просто ребрами.

Основні поняття

Формально, орграф D = (V, E) є множина E впорядкованих пар вершин $v\in V$ .

Дуга {u, v} інцидентна до вершин u і v. При цьому говорять, що u — початкова вершина дуги, а v — кінцева вершина.

Орграф, отриманий з простого графу орієнтацією ребер, називається орієнтованим. На відміну від останнього, у довільного простого орграфу дві вершини можуть з'єднуватися двома різноорієнтованими дугами.

Орієнтований повний граф називається турніром.

Зв'язність

Маршрутом орграфу називають послідовність вершин і дуг, виду $v_{0}\{v_{0},v_{1}\}v_{1}\{v_{1},v_{2}\}v_{2}...v_{n}$ (вершини можуть повторюватися). Довжина маршруту — кількість дуг у ньому.

Шлях — маршрут орграфу без повторюваних дуг, простий шлях — без повторюваних вершин. Якщо існує шлях з однієї вершини в іншу, то друга вершина досяжна з першої.

Контур — замкнений шлях.

Для напівмаршруту знімається обмеження на напрямок дуг, аналогічно визначаються напівшлях і напівконтур.

Орграф сильно зв'язний, або просто сильний, якщо всі його вершини взаємно досяжні; Односторонньо зв'язний, або просто односторонній якщо для будь-яких двох вершин, принаймні одна досяжна з іншою; Слабо зв'язний, або просто слабкий, якщо при ігноруванні напрямів дуг виходить зв'язний (мульти)граф;

Максимальний сильний підграф називається сильною компонентою; одностороння компонента і слабка компонента визначаються аналогічно .

Конденсацією орграфу D називають орграф D*, вершинами якого служать сильні компоненти D, а дуга в D* показує наявність хоча б однієї дуги між вершинами, що входять у відповідні компоненти.

Додаткові визначення

Орієнтований ациклічний граф або «гамак» є безконтурним орграфом.

Орієнтований граф, що отриманий із заданого зміною напрямку ребер на протилежні, називається зворотним.

Зображення і властивості всіх орграфів з трьома вузлами

Легенда: С — слабкий, ОС — односторонній, СС — сильний, Н — орієнтований граф, Г — гамак, Т — турніром.

порожній, Н, Г	Н, Г		ОС	CC	CC	повний, CC
0 дуг	1 дуга	2 дуги	3 дуги	4 дуги	5 дуг	6 дуг
		ОС, Н, Г	CC, Н, Т	CC
		C, Н, Г	ОС, Н, Г, Т	ОС
		C, Н, Г	ОС	ОС

Застосування орграфів

Орграф широко застосовуються в програмуванні як спосіб опису систем зі складними зв'язками. Наприклад, одна з основних структур, що використовуються при розробці компіляторів і взагалі для подання комп'ютерних програм — граф потоків даних.

Бінарні відношення

Орграф відношення подільності

Бінарне відношення над скінченним носієм може бути представлене у вигляді орграфу. Простим орграфом можна представити антирефлексивні відношення, в загальному випадку потрібен орграф з петлями. Якщо відношення симетричне, то його можна представити неорієнтованим графом, а якщо антисиметричне, то орієнтованим графом.

Див. також

Примітки

Література

Харари Ф. Теория графов — М.: УРСС, 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
Оре, Ойстин Теория графов — М.: УРСС, 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
Альфред В. Ахо, Моника С. Лам, Рави Сети, Джеффри Д. Ульман Компиляторы: принципы, технологии и инструменты, 2 издание = Compilers: Principles, Techniques, and Tools — 2 изд. — М.: «Вильямс», 2008. — ISBN 978-5-8459-1349-4.