Перегляд вихідного коду сторінки Гіпергеометричний розподіл

<noinclude>{{Поліпшити|16 квітня 2022}}</noinclude>
{{Розподіл ймовірностей 
| name       =Гіпергеометричний розподіл
| type       =pmf
| pdf_image  = [[File:HypergeometricPDF.png|300px|Hypergeometric PDF plot]]
| cdf_image  = [[File:HypergeometricCDF.png|300px|Hypergeometric CDF plot]]
|  parameters =<math>\begin{align}N&\in 0,1,2,\dots \\
                                 m&\in 0,1,2,\dots,N \\
                                 n&\in 0,1,2,\dots,N\end{align}\,</math>|
  support    =<math>\scriptstyle{k\, \in\, \max{(0,\, n+m-N)},\, \dots,\, \min{(m,\, n )}}\,</math>|
  pdf        =<math>{{{m \choose k} {{N-m} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}</math>|
  cdf        =|
  mean       =<math>n m\over N</math>|
  median     =|
  mode       =<math>\left \lfloor \frac{(n+1)(m+1)}{N+2} \right \rfloor</math>|
  variance   =<math>n(m/N)(1-m/N)(N-n)\over (N-1)</math>|
  skewness   =<math>\frac{(N-2m)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}</math>|
  kurtosis   =<math> \left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]</math>
<math>\cdot\left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}\right.</math>
<math>+\left.\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]</math>|
  entropy    =|
  mgf        =<math>\frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{t}) } }
                         {{N \choose n}}  \,\!</math>|
  char       =<math>\frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{it}) }}
{{N \choose n}} </math>
}}

'''Гіпергеометричний розподіл''' в [[теорія імовірності|теорії імовірності]] моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.
{| class="wikitable"
|-
! !! витягнуті !! не витягнуті !! всього
|-
|align="right"| '''з дефектом'''
| align="right"|''k'' ||align="right"| ''D − k'' ||align="right"| ''D''
|-
|align="right"| '''без дефекта'''
| align="right"|''n − k'' ||align="right"| ''N + k − n − D'' ||align="right"| ''N − D''
|-
|align="right"| '''всього'''
| align="right"|''n'' ||align="right"| ''N − n'' ||align="right"| ''N''
|}
Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність ''N'' об'єктів, з яких ''D'' мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у [[вибірка|вибірці]] з ''n'' різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно ''k'' об'єктів є бракованими.
Загалом, якщо [[випадкова величина]] ''X'' відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами ''N'', ''D'' та ''n'', то [[ймовірність]] отримання рівно ''k'' успіхів визначається формулою:
: <math> f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}</math>

Ця ймовірність додатна, коли ''k'' лежить на проміжку між max{ 0, ''D'' + ''n'' − ''N'' } та min{ ''n'', ''D'' }.
Наведену формулу можна трактувати так: існує <math> N \choose n </math> способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є <math> D \choose k </math> способів вибрати ''k'' бракованих об'єктів та <math> {N-D} \choose {n-k} </math> способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів.
У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується [[Біноміальний розподіл|біноміальним розподілом]] з параметрами ''n'' (кількість випробувань) та ''p'' = ''D'' / ''N'' (ймовірність успіху в одному випробуванні).

== Визначення ==

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з <math>N</math> елементів. Припустимо, що <math>n</math> із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з <math>D</math> елементів. Нехай <math>Y</math>&nbsp;— [[випадкова величина]], що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді [[функція ймовірностей]] <math>Y</math> має вигляд:
: <math>p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \frac{C_D^k\, C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}</math>,
де <math>C_n^k \equiv {n \choose k} \equiv \frac{n!}{k!\, (n-k)!}</math> позначає [[біноміальний коефіцієнт]]. Пишемо: <math>Y \sim \mathrm{HG}(D,N,n)</math>.

== Моменти ==
: [[Математичне сподівання]] <math>\mathbb{E}[Y] = \frac{nD}{N}</math>,
: [[Дисперсія]] <math>\mathrm{D}[Y] = {n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)}</math>.

== Приклади застосування ==
Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є [[вибірка]] без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо ''N'' є числом всіх кульок в урні, а ''D'' - число білих кульок, то ''N''&nbsp;−&nbsp;''D'' число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка [[ймовірність]] того, що витягнуто рівно 4 білі кульки?
Задача описується в наступній таблиці:

<table class="wikitable">
<tr>
<th></th>
<th>витягнуті</th>
<th>не витягнуті</th>
<th>завжди</th>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''білі кульки '''</td>
<td align="right">'''4''' (''k'')</td>
<td align="right">'''1''' = 5 − 4 (''D'' − ''k'')</td>

<td align="right">'''''5''' (D)''</td>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''чорні кульки'''</td>
<td align="right">'''6''' = 10 − 4 (''n'' − ''k'')</td>
<td align="right">'''39 ''' = 50 + 4 − 10 − 5 (''N + k − n − D'')</td>
<td align="right">'''45''' (''N − D'')</td>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''всього'''</td>
<td align="right">'''10''' (''n'')</td>

<td align="right">'''40''' (''N − n'')</td>
<td align="right">'''50''' (''N'')</td>
</tr>
</table>
Ймовірність <math>\mathbb{P} (k = x)</math> того, що будуть витягнені рівно ''x'' білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

: <math> \mathbb{P}(k=x) = f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}.</math>
Звідси в нашому прикладі (''x'' = 4), отримаємо:

: <math> \mathbb{P}(k=4) = f(4;50,5,10) = {{{5 \choose 4} {{45} \choose {6}}}\over {50 \choose 10}} = 0.003964583\dots. </math>
Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази.
Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

<table class="wikitable">
<tr>
<th></th>
<th>витягнуті</th>
<th>не витягнуті</th>
<th>всього</th>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''білі кульки'''</td>
<td align="right">'''5''' (''k'')</td>
<td align="right">'''0''' = 5 − 5 (''D − k'')</td>

<td align="right">'''''5''' (D)''</td>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''чорні кульки'''</td>
<td align="right">'''5''' = 10 − 5 (''n − k'')</td>
<td align="right">'''40 ''' = 50 + 5 − 10 − 5 (''N + k − n − D'')</td>
<td align="right">'''45''' (''N − D'')</td>
</tr>
<tr>
<td align="right">'''всього'''</td>
<td align="right">'''10''' (''n'')</td>

<td align="right">'''40''' (''N − n'')</td>
<td align="right">'''50''' (''N'')</td>
</tr>
</table>
Таким чином, ми отримуємо ймовірність:
: <math> \mathbb{P}(k=5) = f(5;50,5,10) = {{{5 \choose 5} {{45} \choose {5}}}\over {50 \choose 10}} = 0.0001189375\dots, </math>

== Симетричність ==

: <math> f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}} = f(n-k;N,N-D,n)</math>
Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

:<math> f(k;N,D,n) = f(k;N,n,D) </math>
Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно <math>k</math> кульок чорні й позначені як вийняті.


== Зв'язок з іншими розподілами ==

Нехай <math>X \sim \mathrm{HG}(m,N,n)</math> та <math>p=m/N</math>.

* Якщо <math>n=1</math>, то <math>X</math> має [[розподіл Бернуллі]] з параметром <math>p</math>.

* Нехай [[випадкова величина]] <math>Y</math> має [[біноміальний розподіл]] з параметрами <math>n</math> та <math>p</math>; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі ''з поверненням''. Коли <math>N</math> та <math>m</math> досить великі порівняно з <math>n</math>, а також <math>p</math> не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді <math>X</math> та <math>Y</math> мають подібні розподіли, тобто <math>\mathbb{P}(X \le k) \approx \mathbb{P}(Y \le k)</math>.

* Якщо <math>n</math> велике, <math>N</math> та <math>m</math> великі порівняно з <math>n</math>, а <math>p</math> не є близьким до 0 чи 1, то
<math>\mathbb{P}(X \le k) \approx \Phi \left( \frac{k-n p}{\sqrt{n p (1-p)}} \right),</math>

де <math>\Phi</math> - [[функція розподілу ймовірностей|функція розподілу]] стандартного [[нормальний розподіл|нормального розподілу]]. 
* Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то <math>X</math> має [[нецентральний гіпергеометричний розподіл]].

== Джерела ==
{{Портал|Математика}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

{{Математика-доробити}}

{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Дискретні розподіли]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]