Перегляд вихідного коду сторінки Правильний ікосаедр

{| border="2" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" width="400" style="margin-left:10px"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Правильний ікосаедр</big></big> </span>[[Файл:3dflags_ukr0001-0002a.gif|50x50пкс]]
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Icosahedron.svg|210x210пкс]]
[[:Файл:Icosahedron.gif|Натисніть тут]], щоб подивитися обертання моделі

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''
|[[Правильний многогранник|Правильний багатогранник]], [[дельтаедр]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''
|[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній,[[Однорідний многогранник|однорідний]], [[Ізогональність|вершинно-транзитивний]], [[Ізоедральне тіло|гране-транзитивний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''
|20 [[Грань (геометрія)|граней]] ({3}); <br/> 30 [[Ребро (геометрія)|ребер]]; <br/> 12 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (5-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]).
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''
|20 [[Правильний п'ятикутник|Правильних трикутників]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''
|<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''
|3.3.3.3.3 = 3<sup>5</sup> <br/> Кожна вершина оточена 5 трикутниками.
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Вершинна фігура]]'''
|[[Правильний п'ятикутник]] [[Файл:Icosahedron_vertfig.png|left|100x100пкс]] <br/> з довжиною сторони  <math>\frac{1 +\sqrt{5}}{2}  </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''
|• I або sT (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|нотації Конвея|en|Conway polyhedron notation}} ) <br/> • I<sub>5</sub> (в [https://polytope.miraheze.org/wiki/Stewart_notation нотації Стюарта]) <br/>• [[Однорідний многогранник|U]]<sub>22</sub> (як [[Однорідний многогранник|однорідний багатогранник]]) <br/>• C<sub>25</sub> (в нотації [[Гарольд Коксетер| Г. Коксетера]]) <br/>• [[Список моделей многогранників Веннінґера|W]]<sub>4</sub> (в нотації [[Маґнус Веннінґер|М. Веннінґера]])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''
|<math> \left \{ 3, 5 \right \} </math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |{{Не перекладено|Символ Вітгоффа|Символ Вітгоффа|en|Wythoff_symbol}} 
| 
5  <big>|</big> 2 3
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]'''
|{{ДКД|node|5|node|3|node_1}} або (o5o3x) 
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграма Шлегеля]]'''
|[[Файл:Icosahedron graph.svg|100x100пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''
|{{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|I<sub>h</sub>|en|Icosahedral symmetry}}, H<sub>3</sub>, [5,3], (*532), порядок 120 <br/> (Повна симетрія правильного ікосаедра)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група обертань]]'''
|I, [5,3]<sup>+</sup>, (532), порядок 60
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''
|[[Правильний додекаедр]] <br/> [[Файл:Dodecahedron.png|94x94пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''
|[[Файл:Icosahedron_flat.svg|200x200пкс]]
|}

'''Правильний ікоса́едр''' (від {{lang-el|εικοσάς}}, «двадцять» і {{lang-el|—εδρον}}, «грань», «лице», «основа»)&nbsp;— [[Правильний многогранник|правильний]] [[Опуклий політоп|опуклий]] [[Ікосаедр|двадцятигранник]], об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з двадцяти [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], є одним з п’яти опуклих [[Правильний многогранник|правильних багатогранників]] (тіл Платона).[[Файл:Ikosaeder-Animation.gif|ліворуч]]
Ікосаедр складений з 20 правильних трикутних граней.

Має 30 ребер однакової довжини та 12 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (у кожній сходяться 5 ребер). 



Його [[символ Шлефлі]]&nbsp;— <math>\left \{ 3,  5 \right \}</math>. Це означає, що кожна вершина оточена п'ятьма [[Правильний трикутник|правильними трикутниками]]; або також це означає для багатогранника, що його грань — [[правильний трикутник]], а [[вершинна фігура]] — [[правильний п'ятикутник]]. {{Sfn|H. S. M. Coxeter|1954}} {{rp|стор.410}}

Оскільки всі грані правильного ікосаедра [[Правильний трикутник|правильні трикутники]], то цей багатогранник є [[Дельтаедр|дельтаедром]].
[[Файл:Правильний ікосаедр, координати вершин.png|ліворуч|міні|258x258пкс|Правильний ікосаедр]]
Правильний ікосаедр має 31 [[Вісь симетрії|вісь]] [[Ортогональна група|обертової симетрії]]:

‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або {{Ндріб|2π|5}},  {{Ндріб|4π|5}}, {{Ндріб|6π|5}}, {{Ндріб|8π|5}} [[радіан]]);

‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 120° і 240° або {{Ндріб|2π|3}} і  {{Ндріб|4π|3}} [[радіан]]);

‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або ''{{Mvar|π}}''  [[радіан]]).

Правильний ікосаедр має 15 площин [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°.

Правильний ікосаедр має 59 [[Ззірчення|зірчастих]] форм.

== Геометрія ==
[[Файл:Правильний ікосаедр як двічі нарощена п'ятикутна антипризма.png|ліворуч|міні|'''Правильний ікосаедр як двічі нарощена п'ятикутна антипризма'''|293x293пкс]]

Правильний ікосаедр з довжиною ребра <big>{{Mvar|a}}</big> можна отримати, наростивши правильну [[П'ятикутна антипризма|п'ятикутну антипризму]] з довжиною ребра <big>{{Mvar|a}}</big> двома правильними [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутними пірамідами]] з довжиною ребра <big>{{Mvar|a}}</big> (що є [[Правильногранний многогранник|багатогранниками Джонсона]] J<sub>2</sub>). При цьому висота нарощених пірамід дорівнює <math>OH = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt{5}}{10}} \cdot a = \tfrac{1}{\sqrt{\varphi + 2}} \cdot a \approx 0.525731 \cdot a</math>
[[Файл:Pentagonal gyroelongated bipyramid.png|центр|безрамки|154x154пкс]]



Таким чином правильний ікосаедр також можна назвати '''скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою'''.<ref name="bendwavy.org">{{Cite web|url=https://bendwavy.org/klitzing/incmats/ike.htm|title=ike|last=Klitzing|first=Richard|website=https://bendwavy.org/klitzing/home.htm|language=англ.}}</ref>  В цьому випадку він має діедричну симетрію [[П'ятикутна антипризма|5-Антипризми]] ([[Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D<sub>5d</sub>]]<sup>[en]</sup>, [2<sup>+</sup>,10], (2*5), порядок 20).

{| class="wikitable"
![[Напівправильний многогранник|Багатогранник Каталана]]
([[Триакісікосаедр]])
![[Зірчастий багатогранник]]
|-
|[[Файл:Polyhedron_truncated_12_dual_big.png|160x160пкс]]
|[[Файл:Polyhedron_great_20_dual_(as_triakis_20).png|160x160пкс]]
|}


Наростивши на всіх гранях правильного ікосаедра з довжиною ребра <big>{{Mvar|a}}</big>  [[Чотиригранник|прямі трикутні піраміди]], висотою <math> \frac{5\sqrt{15}-9\sqrt{3}}{66} \cdot a \approx 0.05721908 \cdot a</math>, отримаємо напівправильний рівнокутний  [[Напівправильний многогранник|багатогранник Каталана]] — [[триакісікосаедр]]. 

Якщо висота нарощених пірамід буде дорівнювати <math> \frac{\sqrt{3}}{6} (3+\sqrt{5}) \cdot a = 
\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}} \cdot a 
\approx 1.5115226 \cdot a</math> <ref name="mathworld" />, то отримаємо [[Зірчастий многогранник|зірчастий багатогранник]], що є топологічно еквівалентним до [[Триакісікосаедр|триакісікосаедра]] і візуально схожий на [[великий зірчастий додекаедр]] (одне з [[Тіло Кеплера — Пуансо|тіл Кеплера — Пуансо]]).

Якщо  на гранях правильного ікосаедра [[Чотиригранник|прямі трикутні піраміди]], висотою  <math> \frac{\sqrt{3}}{6} (3-\sqrt{5}) \cdot a
\approx 0.22052818 \cdot a</math> <ref name="mathworld" />, наростити в тіло багатогранника (тобто фактично видалити з нього), то отримаємо [[Зірчастий многогранник|зірчастий багатогранник]], що є топологічно еквівалентним до [[Триакісікосаедр|триакісікосаедра]] і візуально схожий на [[великий додекаедр]] (одне з [[Тіло Кеплера — Пуансо|тіл Кеплера — Пуансо]]).
== Властивості ==
* Всі 12 вершин правильного ікосаедра лежать в чотирьох паралельних площинах.

* Перерізом ікосаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку ([[Діагональ|діагоналей]] правильного ікосаедра), може бути:

# [[правильний п'ятикутник]] ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин ікосаедра) ділить діагональ ікосаедра у співвідношенні {{Tmath|1=1 : \varphi^2 = 1 : 2.61803399}}
# [[правильний десятикутник]] (якщо площина проходить також через центр правильного ікосаедра; таких перерізів ікосаедр має 6) <ref name="Alan Holden">{{Книга
|автор = Alan Holden
|назва = Shapes, Space, and Symmetry
|заголовок = 
|рік = 1991
|allpages =
|pages = 200
|мова =англ.
|isbn= 0-231-08323-8
|видавництво = Columbia University Press / New York: Dover
|посилання = https://dokumen.pub/qdownload/shapes-space-and-symmetry-9780231890403.html
|ref = Alan Holden
}}</ref> ;
# [[Ізогональність|напівправильний рівнокутний десятикутник]] (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Переріз правильного ікосаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку паралельно до його грані і проходить через три вершини ікосаедра, має форму [[Ізотоксальна фігура|напівправильного рівностороннього]] шестикутника (з чергуванням двох типів вершин); якщо ця площина також проходить через центр ікосаедра, то переріз має форму [[Ізотоксальна фігура|напівправильного рівностороннього]] дванадцятикутника (з чергуванням двох типів вершин).

{{multiple image|align=left|total_width=400|image1=Icosaedro desarrollo.gif|image2=Ikosaedernetz.svg|caption1=Анімація складання розгортки правильного ікосаедра|caption2=Одна з розгорток правильного ікосаедра.|footer=}}

* Правильний ікосаедр має 43 380 різних [[Розгортка многогранника|розгорток]] <ref name="mathworld">{{mathworld|urlname=RegularIcosahedron|title=Regular Icosahedron}}</ref> <ref>{{cite web|url=http://www.gwydir.demon.co.uk/jo/solid/cube.htm|title=Icosahedron|last=Edkins|first=Jo|year=2007|website=Solid shapes and their nets|language=англ.|archive-url=https://web.archive.org/web/20191227075528/http://www.gwydir.demon.co.uk/jo/solid/icosa.htm|archive-date=2019-12-26|url-status=}}</ref>  (так само як і [[правильний додекаедр]]). Це означає, що існує 43380 способів зробити із ікосаедра пласку розгортку,  розрізавши 11 ребер. Інші 19 ребер з'єднують 20 рівносторонніх трикутників розгортки. 

* Для того, щоб зафарбувати правильний ікосаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.

Кількість способів розфарбувати правильний ікосаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює {{Ндріб|20!|60}} = 40 548 366 802 944 000 : група кольорів є групою [[Перестановка|перестановок]] з 20 елементів і має розмір [[Факторіал|20!]], тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного ікосаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів). <ref name="bendwavy.org" />
* Найбільш щільне пакування правильних ікосаедрів в просторі (тобто таке, що має найменші пустоти між ними) має щільність {{Mvar|0.836357}} . {{Sfn|S. Torquato and Y. Jiao.||с=52}}{{rp|Стор.25}}
{{Clear}}

=== Зв'язок з правильним додекаедром ===
[[Файл:Dual_compound_20_max.png|ліворуч|безрамки]]
[[Правильний  ікосаедр]] та [[правильний додекаедр]] є взаємно [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстими]] багатогранниками. Тобто центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра, і навпаки, центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра.

Якщо правильний ікосаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий [[Правильний додекаедр|додекаедр]] (вершини знаходяться в центрах граней початкового ікосаедра) має ребро довжиною <math> \frac{\sqrt{5}+1}{6} \approx 0.53934466 </math>, а канонічно двоїстий додекаедр ([[Напіввписана сфера|напіввписані сфери]] канонічно-двоїстої пари багатогранників збігаються) має ребро довжиною <math>\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.61803399 </math>.


Серед правильних багатогранників як  ікосаедр, так і додекаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший [[двогранний кут]] і найщільніше притискається до своєї [[Вписана сфера|вписаної сфери]]. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший [[тілесний кут]] при вершині і максимально заповнює свою [[Описана сфера|описану сферу]].

Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49% об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54% її об'єму.

Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635% його об'єму порівняно з 75,47% для додекаедра.

Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра  більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:

<math>V_\text{додек.} = 7.663... \cdot a</math> та <math>V_\text{ікос.} = 2.181... \cdot a</math>.

Відношення об'ємів складає:

<math>\frac{V_\text{додек.}}{V_\text{ікос.}} = \frac{3(5+3\sqrt{5})}{10} = \frac{3}{5} \cdot (3\varphi +1) =
1.8 \cdot \varphi + 0.6
\approx 3.51246117975</math>

{{multiple image|align=right|total_width=400
|image1=Dodekaeder im Ikosaeder (render).jpg
|image2=Ikosaeder im Dodekaeder.jpg
|caption1=Додекаедр, вписаний в ікосаедр
|caption2=Ікосаедр, вписаний в додекаедр
}}

* В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра.
* Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.
{{Clear}}
=== Зв'язок з іншими правильними багатогранниками ===
[[Файл:Icosaèdre_cube.jpg|ліворуч|міні|221x221px|[[Правильний ікосаедр]], вписаний в куб.]]
* В правильний ікосаедр може бути вписаний [[правильний тетраедр]], притому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.
* У куб з довжиною ребра <math display="inline">a = 1</math> можна вписати [[правильний ікосаедр]] з довжиною ребра <math display="inline">\frac{1}{\varphi} \approx 0.618</math>, так, що шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба і лежатимуть паралельно (або перпендикулярно) до ребер куба; решта 24 ребра лежатимуть всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба. <ref>{{cite book
 | last = Borovik | first = Alexandre
 | year = 2006
 | title = The Coxeter Legacy
 | chapter = Coxeter Theory: The Cognitive Aspects
 | publisher = American Mathematical Society
 | place = Providence, Rhode Island
 | editor1-last = Davis | editor1-first = Chandler
 | editor2-last = Ellers | editor2-first = Erich
 | pages = 17–43
 | isbn = 978-0821837221
 | url = https://www.academia.edu/26091464
}}</ref> {{rp|Стор.9}}

Існує 5 різних способів вписати ікосаедр в куб.

Якщо в [[Правильний додекаедр|додекаедр]] вписано [[куб]], а в куб вписано ікосаедр, то ці  додекаедр та ікосаедр мають однакову довжину ребра.

* Ікосаедр можна вписати в [[Правильний октаедр|октаедр]], розмістивши його 12 вершин на 12 ребрах октаедра так, щоб вони розділили кожне ребро у відношенні «<nowiki/>[[Золотий перетин|золотого перетину]]<nowiki/>». Оскільки золоті перерізи нерівні, існує п'ять різних способів зробити це послідовно, тому в кожен октаедр можна вписати п'ять різних ікосаедрів.
{{Clear}}
=== Зв'язок з «золотим прямокутником» ===
[[Файл:Icosahedron-golden-rectangles.svg|міні|Золоті прямокутники в ікосаедрі.]]
В правильний ікосаедр ідеально вписуються три взаємно перпендикулярні і відцентровані « [[Золотий прямокутник|золоті прямокутники]] »  з відношенням сторін {{Tmath|1=1 : \varphi = 1 : 1.61803399}}, що мають спільну точку в центрі ікосаедра.

При цьому дві короткі сторони одного такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами ікосаедра. {{Sfn|Peter R. Cromwell|1997|с=71}}{{rp|Стор.71}}{{Clear}}
== Формули ==
У всіх формулах нижче:

<math>\varphi = 2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618034 </math> — відношення пропорції [[Золотий перетин|«золотого перетину»]].

({{OEIS|A001622}})
=== Діагоналі ===
Кількість [[Діагональ|діагоналей]] [[Опуклий політоп|опуклого]] багатогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math>,

де В — кількість [[Вершина (геометрія)|вершин]], Р — кількість [[Ребро (геометрія)|ребер]] багатогранника.

Для правильного ікосаедра:

<math>\binom{12}{2} - 30 = \frac{12}{2} \cdot \frac{11}{1} -30 = 66-30 = 36  </math> діагоналей. 

Всі діагоналі правильного ікосаедра є просторовими; граневих діагоналей він не має.
{| border="2"
! colspan="4" style="background:#C0C0FF" |<big>Діагоналі правильного ікосаедра з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="5" |[[Файл:Правильний ікосаедр, діагоналі.png|безрамки|250x250пкс]]
| rowspan="5" |'''Просторові діагоналі'''
|<math>AB= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a = \varphi \cdot a</math>
|'''≈ 1.6180339887 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math> AC= \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a
= \sqrt{\varphi+2} \cdot a </math>
|'''≈ 1.9021130326 <math>\cdot a</math>'''
|}
{{^|12px}}
=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |<big>Для правильного ікосаедра з довжиною ребра  <math>a</math> {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}</big>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Вписана сфера|вписаної сфери]]''' <br/> (Торкається всіх граней багатогранника)
|<math>r = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \left( 3+\sqrt{5} \right)  \cdot a  = 
\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \varphi^2  \cdot  a =
\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \left( \varphi+1 \right) \cdot  a  </math>
|'''≈ 0.7557613141 <math>\cdot a</math>'''
{{OEIS|A179294}}
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]''' <br/> (Торкається всіх ребер багатогранника)
|<math>\rho  = \frac{1+\sqrt{5}}{4}  \cdot a = \frac{\varphi}{2} \cdot a  </math>
|'''≈ 0.8090169944 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]'''  <br/> (Містить всі вершини багатогранника)
|<math>R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a
= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\varphi+2} \cdot a </math>
|'''≈ 0.9510565163 <math>\cdot a</math>'''
{{OEIS|A179296}}
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H</big>''' <br/> (Відстань між паралельними гранями)
|<math>H = 2 \cdot r = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \left( 3+\sqrt{5} \right)  \cdot a  = 
\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \varphi^2  \cdot  a </math>
|'''≈ 1.5115226281 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S =  5 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 </math> <br/> <math>S = 30 \cdot \sqrt{3} \cdot (7-3\sqrt{5}) \cdot r^2 = \frac{60 \cdot \sqrt{3}}{\varphi^4} \cdot r^2</math> <br/> <math>S = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (5-\sqrt{5}) \cdot R^2 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (3-\varphi)\cdot R^2</math>
|'''≈ 8.6602540378 <math>\cdot a^2</math>''' <br/> '''≈ 15.1621684308 <math>\cdot r^2 </math>''' <br/>'''≈ 9.5745413833 <math>\cdot R^2 </math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{5}{12} \cdot \left( 3+\sqrt{5} \right)  \cdot a^3  = \frac{5}{6} \cdot \varphi^2 \cdot a^3 </math>  

<math> V = 10 \cdot \sqrt{3} \cdot (7-3\sqrt{5}) \cdot r^3 = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\varphi^4} \cdot r^3</math>

<math> V = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}} \cdot R^3 = \frac{4}{3} \cdot  \sqrt{\varphi+2} \cdot R^3</math>
|'''≈ 2.18169499 <math>\cdot a^3</math>''' <br/>'''≈ 5.054056143 <math>\cdot r^3 </math>''' <br/> '''≈ 2.53615071 <math>\cdot R^3 </math>'''
|}
Відношення радіусів <math>\frac{R}{r} = \frac{\sqrt{3\cdot (3-\varphi)}}{\varphi} = \sqrt{15-6\sqrt{5}} \approx 1.25840857  </math>  однакове, як для [[Правильний додекаедр|правильного додекаедра]], так і для [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]]. Таким чином, якщо правильні ''додекаедр'' та ''ікосаедр'' мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в ''[[Начала Евкліда|Началах]]'' [[Евклід|Евкліда]].

[[Центр інерції|Центр масс]] правильного ікосаедра знаходиться в його геометричному центрі.

[[Момент інерції]] суцільного правильного ікосаедра з  [[Маса|масою]] ''<big>{{mvar|m}}</big>'' та довжиною ребра ''<big>{{mvar|a}}</big>'' (вісь обертання проходить через протилежні вершини):<ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=regular+icosahedron+inertia+tensor|title=Regular icosahedron inertia tensor - Wolfram Alpha|website=www.wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>

<math>I = \frac{3+ \sqrt{5}}{20} \cdot m \cdot a^2 = \frac{\varphi^2}{10} \cdot m \cdot a^2 \approx 0.26180339887 \cdot m \cdot a^2</math>
{| class="wikitable"
|+
![[Файл:Правильний ікосаедр,вписана сфера.png|250x250пкс]]
![[Файл:Правильний ікосаедр,напіввписана сфера.png|250x250пкс]]
![[Файл:Правильний ікосаедр,описана сфера.png|250x250пкс]]
|-
|[[Вписана сфера]] правильного ікосаедра
|[[Напіввписана сфера]] правильного ікосаедра
|[[Описана сфера]] правильного ікосаедра
|}

=== Точка в просторі ===
Нехай описана сфера ікосаедра має радіус ''R.'' Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин ікосаедра дорівнюють <big>''d<sub>i</sub>''</big> . Тоді виконується рівність:  <ref name="Mamuka2">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv=2010.12340|doi=10.26713/cma.v11i3.1420}}</ref> {{rp|стор.353, теор.7.2}}

: <math>\frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} d_i^4 + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} d_i^2 + \frac{2R^2}{3}\right)^2. </math>

Якщо точка знаходиться на описаній сфері ікосаедра, то виконується рівність:<ref name="Mamuka2" /> {{rp|стор.354, теор.7.6}}

: <math>\sum_{i=1}^{12} d_i^2 = 9 \cdot \sum_{i=1}^{12} d_i^4 </math>

=== Кути ===

Плоскі кути граней при вершині: 60°.

Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°.
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути багатогранника</big>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Кут, під яким<br/>ребро видно з центру  правильного ікосаедра'''
|<math> \delta= \arccos \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}\right ) =
2 \cdot \arcsin \left ( \frac{1}{\sqrt{\varphi + 2}} \right ) =
2 \cdot \arctan \left ( \frac{1}{\varphi} \right ) </math>
|'''≈ 1.10714871779 [[Радіан|рад]]''' <br/>'''≈ 63°26′ 5.81576′′'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями''' {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.8}}
|<math> \theta= \arccos \left ( - \frac{\sqrt{5}}{3}\right ) = 
2\cdot \arcsin \left ( \frac{\varphi}{\sqrt{3}} \right )=
2\cdot \arctan \left ( \varphi +1\right ) </math>
|'''≈ 2.4118649973 [[Радіан|рад]]''' <br/>'''≈ 138°11′ 22.866375′′'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині'''
|<math> \Omega_1 = 2\pi - 5 \cdot \arcsin \left( \frac{2}{3} \right) = 2\pi -5 \cdot \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)  </math>
|<math> \Omega_1  </math> '''≈ 2.63454702604''' '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
| style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]], під яким''' 
'''грань видно з центру багатогранника'''
|<math> \Omega_2 =  \frac{\pi}{5}   </math>
|<math> \Omega_2 </math> '''≈ 0.6283185307 [[Стерадіан|ср]]'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi =  \frac{1} {\sqrt{3}} \cdot \sqrt [3] {\frac{\pi}{10} \cdot(7+3\sqrt{5})}  </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.93932565 </math>
|}

== Декартові координати вершин ==
[[Файл:Правильний ікосаедр, координати вершин.png|ліворуч|міні|258x258пкс|Правильний ікосаедр в декартовій системі координат]]Декартові координати 12-и вершин правильного ікосаедра з довжиною ребра <math>a=1 </math>, центр якого знаходиться в початку координат

* <math>\left ( 0, 0 , \pm \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \right ) ;
</math>
* <math>\left (-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, 0 , - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ) , 
</math> <math>\left (\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \pm  \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ), 
</math> <math>\left (-\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \pm  \frac{\sqrt{5}+1}{4}, -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ); 
</math>
* <math>\left (\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, 0 , \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ) , 
</math> <math>\left (-\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \pm  \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ), 
</math> <math>\left (\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \pm  \frac{\sqrt{5}+1}{4}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ). 
</math>

При цьому вершини (окрім двох діаметрально протилежних вершин на осі Oz) лежать в двох [[Паралельність|паралельних]] площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини [[Правильний п'ятикутник|правильного п'ятикутника]].

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його [[Центральна симетрія|центром симетрії]] та центром [[Вписана сфера|вписаної]], [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] та [[Описана сфера|описаної сфер]].

Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 5-го порядку, а вісь Oy&nbsp;— з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина Oxz є однією з [[Операція симетрії|площин симетрії]] багатогранника.

Правильний  ікосаедраедр з довжиною ребра <math>a=1</math> в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] має вершини з наступними координатами:

* <math>\left (-\frac{\sqrt{3}}{3} , 0, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}} \right ), 
</math> <math>\left (\frac{\sqrt{3}}{6}, \pm  \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}} \right ); 
</math>

* <math>\left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}, 0 , \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}} \right ) , 
</math> <math>\left (-\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{3+ \sqrt{5}}{6}}, \pm  \frac{1+ \sqrt{5}}{4}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}} \right ); 
</math>
* <math>\left (-\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}, 0 , - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}} \right ) , 
</math> <math>\left (\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{3+ \sqrt{5}}{6}}, \pm  \frac{1+ \sqrt{5}}{4}, - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}} \right ); 
</math>
* <math>\left (\frac{\sqrt{3}}{3} , 0, - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}} \right ), 
</math> <math>\left (-\frac{\sqrt{3}}{6}, \pm  \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}} \right ). 
</math>
{{Clear}}При цьому вершини лежать в чотирьох [[Паралельність|паралельних]] площинах (паралельних до площини ''Oxy''), в кожній з яких розташовані як вершини [[Правильний трикутник|правильного трикутника]].

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його [[Центральна симетрія|центром симетрії]] та центром [[Вписана сфера|вписаної]], [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] та [[Описана сфера|описаної сфер]].

Вісь ''Oz'' збігається з однією з [[Вісь симетрії|осей симетрії]] 3-го порядку, а вісь ''Oy'' — з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина ''Oxz'' збігається з однією з [[Операція симетрії|площин симетрії]] багатогранника.
[[Файл:Icosahedron-golden-rectangles.svg|Золоті прямокутники в ікосаедрі|ліворуч|безрамки|199x199пкс]]

Вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат визначають такі декартові координати:

: {{Tmath|(0, \pm 1, \pm \varphi)}} ; 
: {{Tmath|(\pm 1, \pm \varphi , 0)}} ;
: {{Tmath|(\pm \varphi , 0 , \pm 1)}} .

де <math>\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618034  </math>  — відношення пропорції [[Золотий перетин|«золотого перетину»]]. 

При цьому всі вершини  лежать в трьох координатних площинах, в кожній з яких розташовані як вершини взаємно відцентрованих і взаємно ортогональних [[Золотий прямокутник|«золотих прямокутників»]].Осі координат ''Ox'', ''Oy'' та ''Oz'' збігаються з осями [[Ортогональна група|обертової симетрії]] 2-го порядку, а координатні площини ''Oxz'', ''Oyz'' та ''Oxy'' є площинами [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] правильного ікосаедра.
== Граф правильного ікосаедра ==

{{Граф|name=Граф правильного ікосаедра|vertices=12|edges=30|radius=3|diameter=3|girth=3|chromatic_number=4|properties=[[Регулярний граф| Регулярний]], [[Планарний граф | планарний]], [[Багатогранний граф | багатогранний]], [[Граф (математика) | простий]], [[Зв'язний граф | зв'язний]], [[Двозв'язний граф|двозв'язний]], [[Симетричний граф | симетричний]][[Гамільтонів граф | Гамільтонів]], [[граф Келі]], [[Циклічний граф|циклічний]] , [[Панциклічний граф|панциклічний]],  [[Вершинно-транзитивний граф|вершинно-транзитивний]], [[Реберно-транзитивний граф|реберно-транзитивний]], [[Дистанційно-транзитивний граф|дистанційно-транзитивний]], [[Дистанційно-регулярний граф|дистанційно-регулярний]]|image=[[Файл:Icosahedron graph.svg|240пкс]]|image_caption=3-fold symmetry|automorphisms=120}}
В [[Теорія графів|теорії графів]] '''граф правильного ікосаедра'''  — це граф з 12 вершинами та 30 ребрами, що має [[N-кістяк|кістяк]] правильного ікосаедра.<ref>{{Cite book
|title=An Atlas of Graphs
|last=Read, R. C.; Wilson, R. J.
|year=1998
|publisher=Oxford University Press
|pages=
|language=англ.
}}</ref> 

Також він є одним з 5 [[Платонів граф|платонових графів]], [[N-кістяк|кістяк]] якого є [[Правильний многогранник|багатогранником Платона]]. 

Всі 12 вершин графа мають [[Степінь вершини (теорія графів)|степінь]] 5, а отже, граф є графом 5-го степеня (англ. quintic).

Також граф є [[K-вершинно-зв'язний граф|3-вершинно-зв'язним]], тобто він залишається зв'язним графом навіть після видалення з нього до трьох (включно) вершин.

[[Спектральна теорія графів|Спектр]]  графа : <math>Spec(G)=(-\sqrt{5})^3 \left ( -1 \right )^5  (\sqrt{5})^3 5^1</math> <ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGraph.html|title=Icosahedral Graph|last=Eric Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|language=англ.}}</ref> <ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=icosahedral+graph|title=Icosahedral Graph|website=wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>
==== Гамільтонові цикли ====
[[Файл:01 Icosahedral-Hamiltonkreis.svg|ліворуч|міні|216x216пкс|[[Гамільтонів граф|Гамільтонів цикл]] графа ікосаедра]]
Граф правильного ікосаедра є гамільтоновим, та має 2560 різних[[Гамільтонів граф|гамільтонових]] циклів .

Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз. [[Гамільтонів граф|Гамільтонів шлях]] між вершинами U, V існує [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли ''u'' и ''v'' мають різні кольори в двокольоровому розфарбуванні графа.

Граф правильного ікосаедра не має [[Ейлерів ланцюг|ейлерових циклів]].


Граф правильного ікосаедра повністю еквівалентний до графа [[Великий додекаедр|великого додекаедра]] (одного з правильних [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранників Кеплера — Пуансо]]), оскільки ці багатогранники мають однакове {{Не перекладено|Розташування вершин|розташування вершин|en|Vertex arrangement}} та ребер.
{{multiple image|align=left|total_width=450
|image1=01 Icosahedral graph vertex coloring.svg
|image2=01 Icosahedral graph edge coloring.svg
|caption1=Приклад розфарбовки вершин графа ікосаедра. <br/> Показує хроматичне число графа 4.
|caption2=Приклад розфарбовки ребер графа ікосаедра. <br/> Показує реберне хроматичне число графа 5.
|footer=}}
{{Clear}}
== Симетрія правильного ікосаедра ==
{{main|{{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|Ікосаедрична симетрія|en|Icosahedral symmetry}}
 }}Правильний ікосаедр має повну [[Ікосаедрична симетрія|ікосаедричну симетрію]]<sup>[en]</sup> {{Mvar|I<sub>h</sub>}}, [[Група Коксетера|групу Коксетера]] [5,3], порядку 120, з абстактною структурою групи [[Знакозмінна група|''A''<sub>5</sub>]] × [[Циклічна група|''Z''<sub>2</sub>]].

Обертова [[Групи симетрії|група симетрії]] {{Mvar|I}} правильного ікосаедра має порядок 60 і [[Ізоморфізм|ізоморфна]] до [[Знакозмінна група|знакозмінної групи]] з п'яти елементів (групи чергування парних перестановок п'яти елементів  — {{Mvar|A<sub>5</sub>}}). Ця [[Абелева група|неабелева]] [[проста група]] є єдиною нетривіальною [[Нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] [[Симетрична група|симетричної групи]]  {{Mvar|S<sub>5</sub>}} з п'яти елементів. 

Повна група симетрії ікосаедра (разом з [[Відбиття (геометрія)|відбиттями]])  {{Mvar|I<sub>h</sub>}}  відома як повна {{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|ікосаедрична симетрія|en|Icosahedral symmetry}} має порядок 120. Вона ізоморфна добутку групи обертової симетрії та групи <math>Z_2</math> другого порядку, яка утворюється при відбитті через центр ікосаедра. Повна ікосаедрична група {{Mvar|I<sub>h</sub>}} має обертову [[Групи симетрії|групу симетрії]] {{Mvar|I}}  як нормальну підгрупу [[Індекс підгрупи|індекса]] 2. Отже, {{Mvar|1=I<sub>h</sub> = I × Z<sub>2</sub> =  A<sub>5</sub>× Z<sub>2</sub>}} , що відповідає елементу (тотожний елемент ,‒ 1), де ''Z''<sub>2</sub> записано мультиплікативно (кратно).

Зауважимо. що групи {{Mvar|I<sub>h</sub>}} (повна ікосаедрична група) та {{Mvar|S<sub>5</sub>}} ([[симетрична група]] з 5 елементів) обидві мають порядок 120, але не є ізоморфними. 

Кожен багатогранник з ікосаедричною симетрією має 60 обертових симетрій (або симетрій, що зберігають орієнтацію) і 60 симетрій, що змінюють орієнтацію (які поєднують обертання і відбиття)

Повна група симетрії {{Mvar|I<sub>h</sub>}}  є [[Група Коксетера|групою Коксетера]] типу {{Mvar|H<sub>3</sub>}}. Її можна зобразити в нотації Коксетера як  [5,3] та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера — Динкіна]] {{ДКД|node|5|node|3|node}}.

==== Елементи ікосаедричної групи симетрії ====
{{multiple image|align=left|total_width=450
|image1=Sphere_symmetry_group_ih.png
|image2=01 Ikosaeder-Symmetrie.png
|caption1=Сфера групи повної симетрії {{Mvar|I<sub>h</sub>}} правильного ікосаедра із [[Фундаментальна область|фундаментальною областю]].
|caption2=Елементи симетрії правильного ікосаедра.
}}
1) Правильний ікосаедр має 31 [[Вісь симетрії|вісь]] [[Ортогональна група|обертової симетрії]]:

‒ 6 осей 5-го порядку з кутами поворотів на 72°, 144°, 216° і 288° (або {{Ндріб|2π|5}},  {{Ндріб|4π|5}}, {{Ндріб|6π|5}}та  {{Ндріб|8π|5}} [[радіан]]) — проходять через протилежні вершини; на діаграмі вони показані синім кольором; 

Кожна з них проходить через центр ''O'' симетрії ікосаедра а, отже, є віссю дзеркально-обертової симетрії 10-го порядку з такими ж кутами поворотів.

Повороти на чотири кути  {{Ндріб|2π|5}},  {{Ндріб|4π|5}}, {{Ндріб|6π|5}} та {{Ндріб|8π|5}} [[радіан]] при шести парах протилежних граней, дають 4∙6 = 24 поворотів цього типу.

‒ 10 осей 3-го порядку з кутами поворотів на 120° і 240° (або {{Ндріб|2π|3}} і  {{Ндріб|4π|3}} [[радіан]]) — проходять через центри протилежних граней (червоний колір);

Кожна з цих осей проходить через центр симетрії ікосаедра, а тому є його віссю дзеркально-обертової симетрії 6-го порядку з такими ж кутами поворотів.

Повороти на два кути {{Ндріб|2π|3}} і  {{Ндріб|4π|3}} [[радіан]] при десяти парах протилежних вершин дають 2∙10 = 20 поворотів цього типу.

‒ 15 осей 2-го порядку з кутом повороту на 180° (або ''{{Mvar|π}}''  [[радіан]]) — проходять через середини протилежних паралельних ребер (пурпуровий колір).

Ці повороти також є [[Осьова симетрія|осьовою симетрією]] ікосаедра.

Поворот на кут ''{{Mvar|π}}'' [[радіан]] при п’ятнадцяти парах протилежних ребер, дає 1∙15= 15 поворотів цього типу.


Таким чином 24 + 20 + 15 обертів (+ тотожне перетворення) утворює підгрупу з 60 елементів, ізоморфну до [[Знакозмінна група|знакозмінної групи]] {{Mvar|A<sub>5</sub>}} (групи чергування парних перестановок п'яти елементів). Це і є група {{Mvar|I}} власних рухів (обертів) правильного ікосаедра.


2) Правильний ікосаедр має 15 площин [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані (на цій сфері вони виглядають як блакитні [[Велике коло|великі кола]]), які перетинаються під кутами <math>\pi/5, \pi/3, \pi/2</math> у визначеному порядку, розбиваючи сферу на 120 трикутних [[Фундаментальна область|фундаментальних областей]].

3) Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Вершини правильного ікосаедра знаходяться в точках, що відповідають осям обертання 5-го порядку. 



[[Фелікс Кляйн]] написав книгу, в якій використав теорію ікосаедричних симетрій для виведення аналітичного розв'язку [[Рівняння п'ятого степеня|рівняння 5-го степеня]] в загальному вигляді.<ref>{{harvnb|Klein|1884}}.</ref>

Характерною особливістю правильного ікосаедра (також і правильного додекаедра) є наявність в нього осей [[Обертова симетрія|обертової симетрії]] 5-го порядку, які не дозволені правилами [[Кристалографія|кристалографії]] {{Sfn|І.М. Фодчук, О.О. Ткач.||с=108}}<sup>:Стор.41</sup> , тобто в природі не існує [[Кристал|кристалів]] мінералів, що мають форму правильного ікосаедра.
== Пов'язані та споріднені багатогранники ==

=== Зірчасті форми правильного ікосаедра ===
[[Правильний ікосаедр]] має {{Не перекладено|П'ятдесят дев'ять ікосаедрів|59 зірчастих форм|en|The Fifty-Nine Icosahedra}}, з яких 32 мають повну, а 27&nbsp;— неповну {{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|ікосаедричну симетрію|en|Icosahedral symmetry}}, що довів в 1938 році [[Гарольд Коксетер]] спільно з {{Нп|Патрик дю Валь|дю Валем|en|Patrick du Val}}, Флезером (H.T. Flather) і Петрі (John Flinders Petrie) із застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером.{{Sfn|H. S. M. Coxeter; The Fifty-nine Icosahedra|1938}}

Першою зірчастою формою правильного ікосаедра є він сам. При продовженні (розширені) його грані перетинаються, визначаючи області в просторі (див. діаграму ззірчення) і послідовно утворюють наступні зірчасті форми. 

Однією з зірчастих форм правильного ікосаедра є правильний зірчастий [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранник Кеплера — Пуансо]] ― [[великий ікосаедр]].

Три зірчасті форми правильного ікосаедра є однорідними з'єднаннями багатогранників: однорідне {{Не перекладено|З'єднання п'яти октаедрів|з'єднання п'яти октаедрів|en|Compound of five octahedra}}, однорідне {{Не перекладено|З'єднання десяти тетраедрів|з'єднання десяти тетраедрів|en|Compound of ten tetrahedra}}  та однорідне [[з'єднання п'яти тетраедрів]] (що має дві [[Хіральність (математика)|хіральні]] форми).
{| class="wikitable"
|+21 з 59 зірчастих форм правильного ікосаедра
| rowspan="3" width="200" |[[Файл:Stellation_diagram_of_icosahedron.svg|270x270пкс]]
Діаграма [[ззірчення]] [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]].{{Sfn|H. S. M. Coxeter; The Fifty-nine Icosahedra|1938}}{{rp|стор.19, фіг.4}}.
|[[Файл:Zeroth_stellation_of_icosahedron.svg|90x90пкс]]
|[[Файл:First_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Second_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Third_stellation_of_icosahedron.svg|90x90пкс]]
|[[Файл:Fourth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Fifth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Sixth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|-
|[[Файл:Seventh_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Eighth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Ninth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Tenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Eleventh_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Twelfth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Thirteenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|-
|[[Файл:Fourteenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Fifteenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Sixteenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Seventeenth_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:First_compound_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Second_compound_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|[[Файл:Third_compound_stellation_of_icosahedron.png|90x90пкс]]
|}

=== Гранування ===
{{multiple image|total_width=500|image1=Great dodecahedron.png|image2=Small stellated dodecahedron.png|image3=Great icosahedron.png|footer=[[Великий додекаедр]], [[малий зірчастий додекаедр]] та [[великий ікосаедр]].}}Три правильних зірчастих [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранники Кеплера — Пуансо]] мають [[Гранування (геометрія)|гранування]] правильного ікосаедра.

Зокрема, [[малий зірчастий додекаедр]], [[великий додекаедр]] та [[великий ікосаедр]] мають таке ж {{Не перекладено|Розташування вершин|розташування вершин|en|Vertex arrangement}} як і в правильного ікосаедра. Всі три багатогранники також мають 30 ребер. Окрім того [[великий додекаедр]] має таке ж [[:en:Vertex_arrangement#Edge_arrangement|розташування ребер]], як і в правильного ікосаедра, але відрізняється гранями: у великого додекаедра — [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]], що взаємно перетинаються, а в правильного ікосаедра — [[Правильний трикутник|правильні трикутники]].

=== Відсікання ===
Чотири правильногранних [[Правильногранний многогранник|багатогранники Джонсона]] можуть бути отримані з правильного ікосаедра шляхом відсікання від нього частин. Точніше, термін ''відсікання'' означає видалення однієї або кількох [[Вершина (геометрія)|вершин]], [[Ребро (геометрія)|ребер]], [[Грань (геометрія)|граней]] багатогранника (відсікається у вигляді [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] або [[Купол (геометрія)|купола]]), без порушення інших вершин.

* '''Відсічений ікосаедр''' ([[Скручена подовжена п'ятикутна піраміда]]) (J<sub>11</sub>) — утворюється з [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]] шляхом видалення будь-якої його [[Вершина (геометрія)|вершини]] разом з [[Ребро (геометрія)|ребрами]] та [[Грань (геометрія)|гранями]], що її оточують (відсікається [[п'ятикутна піраміда]]). 
* [[Двічі косо відсічений ікосаедр|'''Двічі косо відсічений ікосаедр''']] (J<sub>62</sub>) — видаляються дві несусідні і не протилежні вершини ікосаедра (відсікаються дві [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутні піраміди]]).
* [[Тричі відсічений ікосаедр|'''Тричі відсічений ікосаедр''']] (J<sub>63</sub>) — видаляються три його [[Вершина (геометрія)|вершини]] разом з [[Ребро (геометрія)|ребрами]] та [[Грань (геометрія)|гранями]], що їх оточують (відсікаються три [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутні піраміди]]).

'''Двічі протилежно відсічений ікосаедр''' (коли видаляються дві протилежні вершини) являє собою однорідну [[П'ятикутна антипризма|п'ятикутну антипризму]].
[[Файл:Dissected regular icosahedron.png|ліворуч|міні|130x130пкс|Розсічений правильний ікосаедр]]
При відсіканні двох сусідніх вершин правильного ікосаедра утворюється багатогранник, що має назву '''розсічений правильний ікосаедр''' (англ.{{iw|Dissected_regular_icosahedron|dissected regular icosahedron|en|Dissected_regular_icosahedron}}).  Він має 10 вершин, 22 ребра та 14 граней (12 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 2 [[Рівнобічна трапеція|рівнобічні трапеції]]). Багатогранник топологічно еквівалентний до {{Не перекладено|Клинокорона|клинокорони|en|Sphenocorona}} (одного з багатогранників Джонсона, J<sub>86</sub>) і є [[Вершинна фігура|вершинною фігурою]]  [[4-політоп|4D політопа]] — {{Не перекладено|Велика антипризма|великої антипризми|en|Grand antiprism}}.<ref>[[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26) The Grand Antiprism</ref>


При відсіканні двох протилежних наборів сусідніх вершин (тобто чотирьох вершин двох протилежних паралельних ребер) утворюється '''двосхилий бікупол''', що має 8 вершин, 14 ребер та 8 граней (4 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 4 [[Рівнобічна трапеція|рівнобічні трапеції]]).

{{Clear}}

=== Зв'язок із 600-комірником та іншими 4-політопами ===
Аналогом правильного ікосаедра в [[Чотиривимірний простір|чотиривимірному просторі]] є [[Шестисоткомірник|600-комірник]], один з шести {{Не перекладено|Правильний чотиривимірний політоп|правильних чотиривимірних політопів|en|Regular 4-polytope}}.

600-комірник має ікосаедричні перерізи двох розмірів, і кожна з його 120 вершин є [[Ікосаедрична піраміда|ікосаедричною пірамідою]]; правильний ікосаедр є [[Вершинна фігура|вершинною фігурою]]  600-комірника.

600-комірник з одиничним радіусом описаної [[Гіперсфера|гіперсфери]] має комірки у вигляді [[Правильний тетраедр|правильного тетраедра]] з довжиною ребра <math display="inline">\frac{1}{\varphi}</math>, 20 з яких зустрічаються у кожній вершині, утворюючи [[Ікосаедрична піраміда|ікосаедричну піраміду]] (4-піраміду з ікосаедром в основі). Таким чином, 600-комірник містить 120 ікосаедрів з довжиною ребра <math display="inline">\frac{1}{\varphi}</math>.

600-комірник також містить куби та октаедри з одиничною довжиною ребра як внутрішні елементи, утворені [[:en:600-cell#Golden_chords|хордами]] з одиничною довжиною ребра. 


[[Стодвадцятикомірник|120-комірник]] з одиничним радіусом описаної [[Гіперсфера|гіперсфери]] (іншій правильній 4-політоп, який є одночасно двоїстим до 600-комірника і з'єднанням з п'яти  600-комірників)  має всі три види вписаних ікосаедрів (у додекаедр, октаедр та куб). 


Правильний ікосаедр є коміркою напівправильного 4-політопа — [[Кирпатий двадцятичотирьохкомірник|кирпатого 24-комірника]].

== Додатково ==
[[Файл:Regular icosahedron.stl|thumb|Тривимірна модель правильного ікосаедра]]
[[Файл:Platonic Solids Stereo 5 - Icosahedron.gif|без|міні|298x298пкс|Будова правильного ікосаедра у [[Стереопара|стереопроєкції]].]]
{| class="wikitable" width="480"
! colspan="5" |{{Не перекладено|Багатокутник Петрі|Багатокутник Петрі|en|Petrie polygon}} правильного ікосаедра
|- valign="top"
|[[Файл:Petrial_icosahedron.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Face_of_petrial_icosahedron.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Skeleton_20,_Petrie,_stick,_size_m.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton_20,_Petrie,_stick,_size_m,_3-fold.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton_20,_Petrie,_stick,_size_m,_5-fold.png|180x180пкс]]
|-
| colspan="5" |Просторовими {{Не перекладено|Багатокутник Петрі|багатокутниками Петрі|en|Petrie polygon}} правильного ікосаедра є 6 [https://polytope.miraheze.org/wiki/Skew_decagon просторових десятикутників].
|}

== Див. також ==
* [[Ікосаедр|Двадцятигранник]]
* [[Напівікосаедр]]
* [[Ікосаедричне число]]
* {{Не перекладено|Dogic|Dogic|en|Dogic}} — головоломка на зразок [[Кубик Рубіка|кубика Рубика]] у формі правильного ікосаедра.
== Примітки ==
{{reflist}}
== Література ==

* {{Стаття|title=''Uniform polyhedra''|url=https://dokumen.tips/documents/uniform-polyhedra-coxeter.html|author=H. S. M. Coxeter|volume=246|year=1954|publisher=The Royal Society|pages=401—450|language=англ.|doi=10.1098/rsta.1954.0003|issn=0080-4614|ref=H. S. M. Coxeter|посилання_на_автора=Гарольд Коксетер|співавтори=M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller|журнал=Philosophical Transactions of the Royal Society of London.     Series A. Mathematical and Physical Sciences|номер=916}}
* {{Книга
|автор = Peter R. Cromwell.
|ref = Peter R. Cromwell
|заголовок = Polyhedra
|рік = 1997
|серія = 
|посилання = https://books.google.com.ua/books?id=OJowej1QWpoC&printsec=copyright&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
|місце = Cambridge, U.K. ; New York, NY, USA
|видавництво = Cambridge University Press
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 451 (англ.)
|ISBN = 9-521-55432-2
|назва = Polyhedra
}}

* {{Стаття|автор=Kenneth J. MacLean.|ref=Kenneth J. MacLean|заголовок=A Mathematical Analysis of the Icosahedron from a Geometric Perspective|url=https://www.academia.edu/19625648/The_Icosahedron|рік=2019|том=|сторінки=15|issn=|doi=|журнал=|видання посилання=|мова=англ.}}

* {{Стаття|автор=S. Torquato and Y. Jiao.|ref=S. Torquato and Y. Jiao.|заголовок=Dense Packings of Polyhedra: Platonic and Archimedean Solids|рік=2009|серія=|посилання=https://www.researchgate.net/publication/38081817_Dense_Packings_of_Polyhedra_Platonic_and_Archimedean_Solids|місце=Princeton University, Princeton New Jersey 08544, USA|видавництво=|том=|тираж=|сторінки=52 (англ.)|doi=10.1103/PhysRevE.80.041104}}

* {{cite book|first=|last=Felix Klein
|authorlink= Фелікс Кляйн
|title=Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade
|publisher=Leipzig, B.G. Teubner
|year=1884
|language=нім.
|url=https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft
|ref=Felix Klein
}}
** {{cite book |last=Felix Klein |first = 
|authorlink= Фелікс Кляйн
|title = Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree 
|date=1888 
|translator= George Gavin Morrice
|pages=294
|id=cu31924059413439
|language=англ.
|location= Cornell University Library
|publisher= London : TRUBNER & CO., LUDGATE HILL.
|isbn=
|url =https://archive.org/details/cu31924059413439/page/n9/mode/2up 
|ref=Felix Klein1
}}
* {{Книга
|автор = І.М. Фодчук, О.О. Ткач.
|ref = І.М. Фодчук, О.О. Ткач.
|заголовок = Основи кристалографії: навчальний посібник
|рік = 2007
|серія = 
|посилання = https://shron1.chtyvo.org.ua/Fodchuk_Ihor/Osnovy_krystalohrafii.pdf
|місце = Чернівці
|видавництво = ЧНУ ім. Юрія Федьковича
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 108
|ISBN = 
}}
* {{Книга
|автор = [[Гарольд Коксетер|H. S. M. Coxeter]], Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie
|заголовок = The Fifty-nine Icosahedra
|рік = 1938
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = mathematical series 6
|allpages = 
|columns = 
|pages = 1-26
|том = 
|видавництво = [[Торонтський університет|University of Toronto]] studies
|частина = 
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|посилання частина = 
|ref = H. S. M. Coxeter; The Fifty-nine Icosahedra
}}
== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=RegularIcosahedron|title=Regular Icosahedron}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Icosahedron|title=Icosahedron}}
* {{Dmccooey|urlname=Icosahedron|title=Icosahedron}}
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/ike.htm "Ike"].
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/icosahedron "The Icosahedron"]
* Nan Ma. [https://www.nan.ma/star/#/polyhedron_3_5 "Icosahedron {3, 5}"]

* Wedd, N. [https://www.weddslist.com/rmdb/map.php?a=R0.3 "The icosahedron"]
* Hi.gher.Space Wiki Contributors. [http://hi.gher.space/wiki/Icosahedron "Icosahedron"]

* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130226042323/http://www.korthalsaltes.com/ |date=26 лютого 2013 }}
** [https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=icosahedron Paper Icosahedron]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra

{{Правильні многогранники}}{{Багатогранники}}{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
[[Категорія:Правильні многогранники]]