Функціональне рівняння Коші

Функціональне рівняння Коші — функціональне рівняння лінійної незалежності: $f(x+y)=f(x)+f(y).$

Розв'язок, що задовольняє цьому рівнянню, називають адитивними функціями.

З використанням елементарної алгебри можна показати, що в раціональних числах є єдина сім'я розв'язків, а саме $f\colon x\mapsto cx$, де $c$ — довільна раціональна константа. Над полем дійсних чисел $f\colon x\mapsto cx$, де $c$ — довільна дійсна константа, також є сім'єю розв'язків, але можуть бути інші розв'язки, які є надзвичайно складними. Але будь-яка з регулярних умов, деякі з них досить слабкі, виключатиме існування таких особливих розв'язків.

Наприклад, адитивна функція $f\colon x\mapsto cx$ є лінійною, якщо:

• $f$ неперервна (доведено Коші у 1821 році). Ця умова була ослаблена в 1875 році Дарбу, який показав, що неперервність функції необхідна тільки в одній точці;
• $f$ монотонна на деякому інтервалі;
• $f$ обмежена функція на деякому інтервалі;
• $f$ інтегрована (зокрема за Лебегом) на деякому інтервалі;
• $f$ вимірна на деякому інтервалі.

З іншого боку, якщо немає ніяких додаткових обмежень на $f$, тоді (за умови аксіоми вибору) є нескінченно багато інших функцій, які задовольняють це рівняння.

Це було доведено в 1905 році Георгом Гамелем з використанням базису Гамеля. Такі функції інколи називають функціями Гамеля.

П'ята проблема у списку Гільберта є узагальненням цього рівняння. Функції, для яких є дійсне число $c$ таке, що $f(cx)\neq cf(x)$, відомі, як функції Коші-Гамеля і використовуються в інваріантах Дена-Хадвігера, які важливі для узагальнення третьої проблеми Гільберта з розмірності три на більш високі розмірності.

Інші форми функціонального рівняння Коші

• логарифмічне рівняння Коші $f(xy)=f(x)+f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=c\ln |x|=\log _{a}|x|$).
• степеневе рівняння Коші $f(xy)=f(x)+f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=|x|^{a}$).
• експоненціальне рівняння Коші $f(x+y)=f(x)f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=\exp \left(cx\right)=a^{x}$).

Виродженим розв'язком цих рівнянь є функція $f(x)=0$.

Розв'язки в раціональних числах

Простий аргумент на основі елементарного алгебраїчного перетворення показує, що множина адитивних відображень $f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ тотожна множині лінійних відображень.

Теорема: Нехай $f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ є адитивною функцією. Тоді $f$ — лінійна функція.

Доведення: Доведемо, що будь-який розв'язок $f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ функціонального рівняння Коші $f(x+y)=f(x)+f(y)$ має вигляд $f(q)=cq$, $c\in \mathbb {Q}$. Зручно розглядати випадки: $q=0$, $q>0$, $q<0$.

Випадок 1: ($q=0$): Нехай $y=0$, тоді

$f(x)=f(x)+f(0),\quad x\in \mathbb {Q}$ $\Rightarrow f(0)=0$.

Випадок 2: ($q>0$): При повторному застосуванні рівняння Коші до $f(x+\cdots +x)=f(\alpha x)$, отримуємо

$\alpha f\left(x\right)=f\left(\alpha x\right),\quad \alpha \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (*)$

Після заміни $x$ на ${\dfrac {x}{\alpha }}$ у рівнянні $(*)$ та множення результату на ${\dfrac {\beta }{\alpha }}$, де $\beta \in \mathbb {N}$, отримаємо

$\beta f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (**)$.

Скориставшись формулою $(*)$ у лівій частині рівності $(**)$, отримаємо

$f\left({\frac {\beta }{\alpha }}x\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q}$

$\Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),\quad q,x\in \mathbb {Q} ,\ q>0$

$\Rightarrow f\left(q\right)=qf\left(1\right)=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{+}$,

де $c=f(1)\in \mathbb {Q}$ — довільна раціональна константа.

Випадок 3: ($q<0$): Поклавши $y=-x$ у функціональне рівняння і скориставшись, що $f(0)=0$, отримаємо

$f(-x)=-f(x),\quad x\in \mathbb {Q}$.

Поєднання цього з результатом для додатних раціональних чисел (Випадок 2) дає

$f(q)=-f\left(-q\right)=-{\big (}c(-q){\big )}=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{-}$.

Три вищевказані випадки дозволяють зробити висновок, що загальний розв'язок функціонального рівняння Коші над раціональними числами має вигляд:

$f\colon \ \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ,\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in \mathbb {Q} .\quad \quad \blacksquare$.

Властивості лінійних розв'язків над дійсними числами

Доведемо, що будь-які інші розв'язки повинні бути виродженими функціями. Зокрема, покажемо, що будь-який розв'язок повинно мати властивість, що його графік $y=f(x)$ є щільним в $\mathbb {R} ^{2}$, тобто будь-який окіл (достатньо малий) площини містить, хоч одну точку графіку.

На основі цього легко доводяться різноманітні властивості, що наводилися у вступі.

Не обмежуючи загальності можна припустити, що $f(q)=q$ $\forall q\in \mathbb {Q}$, і $f(\alpha )\neq \alpha$ для будь-яких $\alpha \in \mathbb {R}$.

Тоді покладемо $f(\alpha )=\alpha +\delta$, $\delta \neq 0$.

Покажемо, як знайти точку в довільному околі з центром у точці $(x,y)$, радіусом $r$, де $x,y,r\in \mathbb {Q}$, $r>0$, $x\neq y$.

Нехай $\beta ={\dfrac {yx}{\delta }}$ і виберемо раціональне число $b\neq 0$ близьке до $\beta$ таке, що

$\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}.$

Далі вибираємо раціональне число $a$ близьке до $\alpha$ таке, що

$\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}.$

Покладемо

$X=x+b(\alpha -a),$

$Y=f(X).$

Потім, використовуючи функціональне рівняння, отримуємо

${\begin{aligned}Y&=f(x+b(\alpha -a))\\&=x+bf(\alpha )-bf(a)\\&=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\\&=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\\&=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b).\end{aligned}}$

Через наш вибір вище, точка $(X,Y)$ лежить усередині кола.

Існування нелінійних розв'язків над дійсними числами

Доведення лінійності наведене вище також можна застосовувати для функцій $f\colon \alpha \mathbb {Q} \to \mathbb {R}$, де $\alpha \mathbb {Q}$ — масштабована копія раціональних чисел. Це показує, шо допускаються лише лінійні розв'язки, якщо область визначення функції $f$ обмежена такими множинами. Отже, у загальному випадку, маємо $f(\alpha q)=f(\alpha )q$ для всіх $\alpha \in \mathbb {R}$, $q\in \mathbb {Q}$.

Але, як буде показано нижче, виродженні розв'язки можна знайти для функцій $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, опираючись на ці лінійні розв'язки, розглядаючи дійсні числа, як векторний простір над полем раціональних чисел.

Доведення існування нелінійних рішень — не є конструктивним і базується на аксіомі вибору. З її допомогою доводиться існування базису Гамеля в будь-якому векторному просторі, у тому числі нескінченновимірному (твердження доводиться з використанням леми Цорна).

(Насправді, існування базису для кожного векторного простору логічно еквівалентно аксіомі вибору).

Щоби показати, що є інші розв'язки, ніж ті, що визначені $f(x)=f(1)x$, спочатку зазначимо, що оскільки кожен векторний простір має базис, є базис для $\mathbb {R}$ над полем $\mathbb {Q}$, тобто набором ${\mathcal {B}}\subset \mathbb {R}$ із властивістю, що будь-який $x\in \mathbb {R}$ можна виразити однозначно, як ${\textstyle x=\sum _{i\in I}{\lambda _{i}x_{i}}}$ де $\{x_{i}\}_{i\in I}$ — кінцева підмножина ${\mathcal {B}}$ (тобто $|I|<\aleph _{0}$), і кожен $\lambda _{i}\in \mathbb {Q}$.

Обмеження $f$ на $x_{i}\mathbb {Q}$ повинно бути лінійною картою для кожного $x_{i}\in {\mathcal {B}}$.

До того ж оскільки $x_{i}q\mapsto f(x_{i})q$ для $q\in \mathbb {Q}$, зрозуміло, що $f(x_{i}) \over x_{i}$ — константа пропорційності. Іншими словами, $f\colon x_{i}\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ — карта $\xi \mapsto [f(x_{i})x_{i}]\xi$. Оскільки будь-який $x\in \mathbb {R}$ може бути виражений, як унікальна (кінцева) лінійна комбінація $x_{i}$, і $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ є додатковою, $f(x)$ визначений для всіх $x\in \mathbb {R}$ і задається:

$f(x)=f{\Big (}\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}f(x_{i}\lambda _{i})=\sum _{i\in I}{f(x_{i})\lambda _{i}}$.

Неважко перевірити, що $f$ — це розв'язки функціонального рівняння Коші, яке дає визначення $f$ на основі елементів, $f:{\mathcal {B}}\rightarrow \mathbb {R}$. До того ж зрозуміло, що кожні розв'язки має таку форму. Зокрема, розв'язки функціонального рівняння є лінійними тоді й лише тоді, коли$f(x_{i}) \over x_{i}$ є постійною для всіх $x_{i}\in {\mathcal {B}}$. Отже, попри неможливість демонструвати нелінійний розв'язок, більшість (у сенсі кардинальності) розв'язків функціонального рівняння Коші насправді нелінійні та патологічні.

Властивості нелінійних розв'язків

Доведемо, що будь-який нелінійний розв'язок повинний бути досить незвичайною функцією — його графік $y=f(x)$ повинен бути \всюди щільний в $\mathbb {R} ^{2}$. Це означає, що будь-яке, як завгодно мале коло на площині містить принаймні одну точку цього графіка. З цього легко виводяться інші властивості, такі, як немонотонність і необмеженість на будь-якому інтервалі.

Поділивши функцію на $c=f(1)$, можна вважати, що для $\forall a\in \mathbb {Q} \colon f(a)=a$ (Якщо $f(1)=0$, то для $\forall a\in \mathbb {Q} \colon f(a)=0$, і міркування, наведені нижче, зберігають свою силу з мінімальними змінами). Якщо функція $f(x)$ не лінійна, то $f(\alpha )\neq \alpha$. Для деякого $\alpha \in \mathbb {R}$: $f(\alpha )=\alpha +\delta$, $\delta \neq 0$. Покажемо тепер, як знайти точку графіка в довільному колі з центром у точці $(x,y)$, радіуса $r$, де $x,y,r\in \mathbb {Q}$, $r>0$, $x\neq y$.

Нехай $\beta ={\frac {yx}{\delta }}$ і $b\neq 0$ раціональне число, близьке до $\beta$, отже, щоб

$\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}$.

Далі виберемо раціональне число $a$, близьке до $\alpha$, так, щоб

$\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}$.

Покладемо $X=x+b(\alpha -a)$ і, використовуючи функціональне рівняння, отримаємо

${\begin{aligned}Y&=f(X)=f(x+b(\alpha -a))\\&=x+bf(\alpha )-bf(a)\\&=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\\&=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\\&=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b).\end{aligned}}$

Але тоді

$(Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a))^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}<r^{2}.$

Отже, точка $(X, Y)$ усередині кола.

Див. також

• Щільний порядок
• Щільність (теорія решітки)

Література

• Solution to the Cauchy Equation Rutgers University
• The Hunt for Addi(c)tive Monster
• Martin Sleziak та ін. (2013). Overview of basic facts about Cauchy functional equation. StackExchange. Процитовано 20 December 2015.