自然對數

自然對數（Natural logarithm）係以e為基嘅對數函數（$\ln x\!$），佢嘅逆函數—自然指數$e^{x}\!$—係以e為基嘅指數函數。

數學表示方法

自然對數嘅一般以$\ln x\!$表示，如果唔想同以10做基嘅常用對數$\log _{10}x\!$混淆，可以用「全寫」$\log _{e}x\!$。

而自然指數表示方法係$e^{x}=\exp(x)\!$。其中$x\!$可以係任意複數。

自然對數嘅級數展開

$\ln(x+1)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\ |x|<1$

以下係另外一條展開式： $\ln {x}=\sum _{N=0}^{+\infty }{\frac {2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}}}$

自然對數同佢逆函數嘅微積分關係

${\begin{aligned}&{\frac {{\rm {d}}e^{x}}{{\rm {d}}x}}&=&e^{x}\\&{\frac {{\rm {d}}\ln \!|x|}{{\rm {d}}x}}&=&{\frac {1}{x}}\\&\int \ln x\ {\rm {d}}x&=&x\ln x-x+C\end{aligned}}$

常見科學應用

自然指數有應用響表達放射衰變（放射性）之類關於衰減嘅過程，例如放射性原子數目N隨時間變化率${\frac {dN}{dt}}=-pN$，常數p係原子衰變概率，積分得到$N(t)=N(0)e^{-pt}$。

響Logistic人口模型入面，人口N隨時間嘅變化率${\frac {dN}{dt}}=rN(K-N)$，其中r係增長率，K係環境承載力，解呢個微分方程，得到$N(t)={\frac {K}{1+({\frac {K}{N(0)}}-1)e^{-Krt}}}$，呢個函數亦都同自然指數有關。