並矢張量

在雙線性代數裏，並矢張量是個第二階張量的特別標記，是由一對向量並列形成的。稱每一個並矢張量的分量為並矢量。並矢量是由一對基向量與一純量係數形成的。

例如，設定兩個二維向量 $\mathbf {A}$ ， $\mathbf {X}$ ：

$\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}$ ，

$\mathbf {X} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$ 。

那麼，$\mathbf {A}$ 與 $\mathbf {X}$ 並列成為

$\mathbf {AX} =ax\mathbf {ii} +ay\mathbf {ij} +bx\mathbf {ji} +by\mathbf {jj}$ 。

二維單位並矢張量是

$\mathbb {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj}$ 。

並矢張量 $\mathbf {ji} -\mathbf {ij}$ 是一個二維空間的 90°旋轉算子（rotation operator）。它可以從左邊 與一個向量 點積來造成一個旋轉：

$(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j}$ 。

讨论

• 上面的讲述有含混之处：

(D1) 上面的一开始称，“并矢张量是个第二阶张量的特别标记，是由一对向量并列形成的。”我们姑且把这句话看作并矢张量的定义。到了后面又举了二维单位并矢张量 $\mathbb {I}$ 的例子。这之间就有问题：可以用反证法证明，不可能找到两个二维矢量 $\mathbf {A}$ 和 $\mathbf {B}$ 使得 $\mathbb {I} =\mathbf {AB}$ 成立。按照上面所说的“定义”，这就不该是个并矢张量；既然作为例子已经承认 $\mathbb {I}$ 是一个并矢张量了，则一开始关于并矢张量的“定义”就有漏洞。

(D2) 接下来的“并矢量是由一对基向量与一标量系数形成的”这句话有些令人费解，即使看完了例子也不太清楚其中的准确含义。也许把“一标量系数”改为“一些标量系数”就正确了，但是这句话里的“形成的”仍然太笼统。

(D3) 总之，在上面的表述中，“二阶张量”、“并矢张量”、“并矢量”这三个概念之间的相互关系我仍然看不清楚。如果略去一开始的一段话而只看例子，我猜测作者的意思是，“二阶张量”和“并矢张量”是同义词，而“并矢量”则专门指形如 $\mathbf {AX}$ 的那些张量。从语言习惯上来说，人们很容易把“并矢量”当作“并矢张量”的简称，所以，如果作者的意思确实如我所说，我觉得不太妥当。

• 建议方案：以下，我们把域 $F$ 上的某个线性空间 $V$ 中的向量用黑斜体字母来标记，把张量用正黑体字母来标记。

二阶张量这个概念可以按照下述规则来建立：

(1) “并矢量”和“并矢张量”应当作为同义词来用，因为从用词习惯上这是很自然的。应当把并矢张量定义为两个矢量 ${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {w}}$ 并列摆放所形成的量 ${\boldsymbol {vw}}$。实质上， ${\boldsymbol {vw}}$ 就是矢量 ${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {w}}$ 的张量积 ${\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}$。

(2) 对于任意的 $\alpha \in F$ 和任意的 ${\boldsymbol {v}}$、${\boldsymbol {w}}\in V$，规定

$(\alpha {\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {v}}(\alpha {\boldsymbol {b}})=\alpha ({\boldsymbol {vw}})$

并把上述结果不加区分地记作 $\alpha {\boldsymbol {vw}}$。

(3) 把二阶张量定义为有限个并矢张量的线性组合，组合系数必须是 $V$ 的系数域 $F$。准确地说，应当把二阶张量叫做线性空间 $V$ 上的二阶逆变张量，或者 (2,0) 型张量。特别是，并矢张量本身就是二阶张量。

(4) ${\boldsymbol {vw}}=0$ 的充分必要条件是 ${\boldsymbol {v}}=0$ 或 ${\boldsymbol {w}}=0$。

(5) 对任意的 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$、${\boldsymbol {w}}\in V$，规定分配律

${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {uv}}+{\boldsymbol {uw}}\,,\qquad ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {uw}}+{\boldsymbol {vw}}\,.$

以上规定使 $V$ 上所有的 (2,0) 型张量构成一个线性空间，这就是代数学中的张量积空间 $V\otimes V$。在此基础上，如果 $V$ 是一个内积空间，则定义二阶张量 $\mathbf {T}$ 和矢量 ${\boldsymbol {v}}$ 的缩并 $\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T}$ 都是 $V$ 中的矢量，满足下述运算律：

(6) 对于任意的 $\alpha \in F$、$\mathbf {T} \in V\otimes V$ 以及 ${\boldsymbol {v}}\in V$，

$(\alpha \mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {T} \cdot ({\bar {\alpha }}{\boldsymbol {v}})=\alpha (\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}})\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\alpha \mathbf {T} )=({\bar {\alpha }}{\boldsymbol {v}})\cdot \mathbf {T} =\alpha ({\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} )\,,$

从而可以把上述两个结果分别记为 $\alpha \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}$ 和 $\alpha {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T}$。在上述公式中，${\bar {\alpha }}$ 表示 $\alpha$ 的复共轭（如果 $F=\mathbb {C}$）。

(7) 对于任意的 $\mathbf {S}$、$\mathbf {T} \in V\otimes V$ 以及 ${\boldsymbol {v}}\in V$，总有

$(\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {S} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {S} +{\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,.$

(8) 对于任意的 $\mathbf {T} \in V\otimes V$ 以及 ${\boldsymbol {v}}$、${\boldsymbol {w}}\in V$，总有

$\mathbf {T} \cdot ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {w}}\,,\qquad ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} +{\boldsymbol {w}}\cdot \mathbf {T} \,.$

(9) 对任意的 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$、${\boldsymbol {w}}\in V$，总有

$({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {w}}=({\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {u}}\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}})=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,.$

• 几个例子。

例 1：量子力学中的例子。设 $V$ 是量子力学中所有的角动量本征态所张成的希尔伯特空间（囊括了所有可能的总角动量量子数 $0$，${\frac {1}{2}}$，$1$，${\frac {3}{2}}$，$\ldots$），则 $F=\mathbb {C}$。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到态矢量的并矢张量 $|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle$，而且时常把它记作 $|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle$ 或 $|j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}\rangle$ 等等。任取一些复数 $C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}$（但是其中只能有有限个非零），则

$\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle$

就是一个二阶张量。不妨把这个二阶张量记作 $\mathbf {T}$，则它和 $|jm\rangle$ 的缩并就是

$\mathbf {T} \cdot |jm\rangle =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{2}m_{2}\rangle \,|j_{1}m_{1}\rangle \,,\qquad |jm\rangle \cdot \mathbf {T} =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{1}m_{1}\rangle \,|j_{2}m_{2}\rangle \,.$

在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过 C-G 系数所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群 $SU(2)$及其李代数 ${\mathfrak {su}}(2)$ 的表示（参看李群的表示及李代数的表示）的另外一个话题，在这里就不再深入探讨了。

实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的二阶张量可以用来描述二维谐振子系统。

例 2：经典力学中的例子。 三维欧几里得空间上的二阶张量的例子非常多，例如转动惯量、应力张量、应变等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。

• 下面我们要说明，前面建议的规则 (1) 到 (9) 足以讲清楚二阶张量的运算和性质。

考虑 $V$ 为欧几里得空间的情形，则 $V$ 是实数域 $\mathbb {R}$ 上的有限维线性空间（设 $\dim V=n$）而且带有正定的内积。设 $({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})$ 是 $V$ 的一个基，则任意 ${\boldsymbol {v}}$、${\boldsymbol {w}}\in V$ 都可以作线性展开 ${\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$，${\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{n}w^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$。在这里，为了充分演示规则 (1) 到 (9) 的使用，我们明显地写出了求和号而不使用爱因斯坦求和约定。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。

以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。

首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 展开。重复地利用规则 (5) 可得

${\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big [}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big ]}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,.$

接下来重复地利用规则 (2) 可得

${\boldsymbol {vw}}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}v^{i}(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{i}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}\,.$

这样，我们就证明了所有的并矢，即形如 ${\boldsymbol {vw}}$ 的张量都能够写成 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 的线性组合。

反之，由规则 (1) 和 (3)，每一个 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 都是一个二阶张量，再由规则 (3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 的线性组合。

然后，从规则 (4) 可以证明，全部的 ${\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$ 是线性无关的，因此构成了 $V\otimes V$ 的线性基。

最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩并最终归结为计算 $({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})\,{\boldsymbol {e}}_{k}$。特别是，如果所给的线性基是标准正交基，那么结果就非常简单了。

• 对于 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 而言，由于 $F=\mathbb {R}$，规则 (6) 和 (8) 表明，给定任意一个二阶张量 $\mathbf {T}$ 之后，从矢量 ${\boldsymbol {v}}$ 到 $\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}$（或者 ${\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T}$）的映射是线性映射，所以，欧几里得空间上的二阶张量总是对应着它自身上的一个线性变换。下面要证明，从二阶张量到线性变换的这种对应是一个满射，即，欧几里得空间 $V$ 上的一个线性变换总是存在着 $V$ 上的一个二阶张量与之对应。

证明：令

$g_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}\,,$

则内积的正定性导致 $g_{ij}$ 所构成的 $n\times n$ 矩阵 $G$ 为正定矩阵。给了 $V$ 上的一个线性变换 ${\hat {T}}:V\rightarrow V$ 之后，我们可以借助于线性基得到一个矩阵 $T=(T_{\ j}^{i})$，其中上标号是行标号，下标号是列标号：

${\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ j}^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.$

在这里我们使用了爱因斯坦求和约定。现在我们利用 $G$ 的逆矩阵

$G^{-1}=(g^{ij})\,,\qquad g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}\,,$

构造一个二阶张量

$\mathbf {T} =T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\,,$

则

$\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}({\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}\,g_{kj}=T_{\ l}^{i}\delta _{j}^{l}\,{\boldsymbol {e}}_{i}=T_{\ j}^{i}\,{\boldsymbol {e}}_{i}={\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}\,,$

可见由 ${\hat {T}}$ 所构造的二阶张量 $\mathbf {T}$ 确实对应于 ${\hat {T}}$。结论证毕。

根据线性代数理论，$n$ 维欧几里得空间 $V$ 上的所有的线性映射构成一个 $n^{2}$ 维线性空间 ${\mathfrak {gl}}(V)$，而前面已经分析过，

$\dim(V\otimes V)=n^{2}\,.$

根据规则 (6) 和 (7) 可以进一步推断，从二阶张量 $\mathbf {T}$ 到线性变换 ${\hat {T}}$ 的对应 $R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)$ 是一个线性映射，再加上刚刚证明过 $R_{\flat }$ 为满射这一点，我们就得到了

定理 映射 $R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto {\hat {T}}$ 是一个线性同构。

这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的二阶张量和线性变换可以互相等同。用爱因斯坦的说法，$R_{\flat }$ 就是用度规降指标的运算（具体说是降右边的逆变指标），它把一个二阶逆变张量 $\mathbf {T}$ 变为一个与之等价的一阶协变一阶逆变的张量 ${\hat {T}}$。特别是，当 ${\hat {T}}$ 为恒等映射时，$T_{\ j}^{i}=\delta _{j}^{i}$，从而得到

推论 把 $V$ 上的单位张量（经典力学中的叫法，在相对论中则常常被称为度规张量的逆）定义为与恒等映射相对应的那个二阶张量，则它可以借助于线性基展开为 $g^{ij}{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}$。

參見條目

• 並矢積
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 线性空间