五角星

五角星，又稱五芒星，是指一種有五隻尖角，並以五條直線畫成的星星圖形。英文「五角星」（pentagram）一詞出於希臘語「πεντάγραμμος」（pentagrammos）或「πεντέγραμμος」（pentegrammos）的名詞形式「πεντάγραμμον」（pentagrammon），原意大概是「五條直線的」或「五條線」。而中文「五角星」的意義則顯而易見，指有五隻角的星形。然而，中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星。中文「五角星」一詞有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

正五角星
一顆正五角星
類型	星形正多邊形
對偶	自身對偶
邊	5
頂點	5
施萊夫利符號	{5/2}
考克斯特符號
鮑爾斯縮寫	star
對稱群	二面體 (D5)
內角（度）	36°
特性	star, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

一顆五角星

本文以下所讨论的五角星是指「標準」五角星。即正五角星。

几何

含有黄金分割的正五边形

五角星是边数最少多角形。最简单画它的方法是先画一个正五边形，把各角和其對角用直线相连，并擦去原来的五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交，从而得到一个大的五角星。

黄金分割比（golden ratio），$\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2=1.618\cdots$，满足：

$\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\,$

$\varphi =1/(2\sin(\pi /10))=1/(2\sin 18^{\circ })\,$

$\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\,$

在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到$\varphi$。

$\varphi =$	红色	＝	蓝色	＝	绿色
	蓝色		绿色		紫色

大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星的一条对角线与一条绿色线段等长。

如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。

一些相关几何值

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}$

$\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}$

$\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}$

$\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}$

$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}$

$\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$

$\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}$

因此，在一个有一个或两个36°角的等腰三角形里，两边中较长边的长度，是较短边的$\phi$倍，无论是锐角三角形或者钝角三角形。

國旗上的五角星

摩洛哥國旗

埃塞俄比亞國旗

有许多國家的國旗設計都包含五角星：如埃塞俄比亞、摩洛哥、越南、朝鲜、中华人民共和国、美国、馬來西亞等等。很多時候，五角星的中間被填滿，移除了五角形和五個等腰三角形之間的分界。Ivan Sache 指出，摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥國之間的聯繫。

其他方面

晴明紋

• 五角星被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。
• 一直以來，五角星都與对金星和維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中，最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。
• 在古希臘和巴比倫，五角星也有特殊的象徵意義。五角星是魔術的代表符號，是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口，但現在則多代表異教徒和撒但主義者。
• 五角星在魔法中是一種特別的圖形，用正的五角星作魔法陣是白魔法，用倒的五角星則是象徵黑魔法。
• 而在東方陰陽五行裡面，五行相生相剋的連線剛好是五角星。在日本，安倍晴明使用桔梗紋變形的五芒星，被稱為桔梗印，現在是晴明神社的神紋。
• 从最直观的方面看，五角星是最类似人形的多边形。
• 倒五芒星可以是代表魔鬼。

參考

• Libri tres de occulta philosophia (book III, chapter xxxi) by Heinrich Cornelius Agrippa
• Le Imagini degli Dei degli Antichi by Vincenzo Cartari

另见

• 红色五角星

外部連結

• Pentagons & Pentagramsnew facts about pentagons and pentagrams by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Key concept: Menelaus Theorem.
• The PentagramThe Pentagram and Religion
• The Pythagorean Pentacle from the Biblioteca Arcana.
• Miquel's Pentagram - Dynamic Geometry by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• Pentagram -- from MathWorld
• The Pythagorean Pentacle
• The pentagram as geometry
• The Pentagram by DMGould Ireland's Own Myths & Magic:
• The Pentagram and Freemasonry
• Pythagoreanism Web Site
• Signs of the Devil
• In-depth analysis of the Golden Ratio