经典力学

经典力学，又称古典力学或牛顿力學，是力学的一种。经典力学以三条牛顿运动定律为基础，是在宏观世界和低速状态下研究物体运动的基要學术。在物理學上，经典力学是最早被接受为作用於物体上的力學的一个物理模型。经典力学又分为静力学（描述静止物体）、 运动学（描述物体运动）、和动力学（描述物体受力作用下的运动）。在十六世纪，伽利略就已采用科学实验和数学分析的方法研究力学。他为后来的科学家提供了许多豁然开朗的启示。艾萨克·牛顿则是最早用数学语言正确地描述出这些定律的英国科学家。以下分别列出这三条牛顿运动定律：

1. 第一定律：如果物体处于静止状态或作等速直线运动，只要没有外力作用，物体将保持静止状态或等速直线运动状态。这定律又称为惯性定律；
2. 第二定律：物体的加速度与所受的净外力成正比，与物体的质量成反比。加速度的方向与净外力的方向相同。即 $\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}\,$ ；
3. 第三定律：两个物体的相互作用力总是大小相等，方向相反，同时出现或消失。强版第三定律还另外要求两支作用力的方向都在同一直线上。

经典力学推翻了绝对空间的概念：即在不同空间发生的事件是绝然不同的。例如，静挂在移动的火车车厢内的时钟，对于站在车厢外的观察者来说是呈移动状态的。但是，经典力学仍然确认时间是绝对不变的。

由伽利略和牛顿等人发展出来的力学，着重于分析位移、速度、加速度、力等等矢量间的关系，又称为矢量力学。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但并不是唯一的表述方式：拉格朗日、哈密顿、卡爾·雅可比等发展了经典力学的新的表述形式，即所谓分析力学。分析力学所建立的框架是近代物理的基础，如量子场论、广义相对论、量子引力等。

微分几何的发展为经典力学注入了蒸蒸日盛的生命力，是研究现代经典力学的主要数学工具。在日常经验范围中，采用经典力学可以计算出精确的结果。但是，在接近光速的高速度或強大重力場的系统中，经典力学已被相对论力学取代；在小距离尺度系统中又被量子力學取代；在同时具有上述两种特性的系统中则被相对论性量子场论取代。虽然如此，经典力学仍旧是非常有用的。因为：

1. 它比上述理论简单且易于应用。
2. 它在许多场合非常准确。经典力学可用于描述人体尺寸物体的运动（例如陀螺和棒球），许多天体（如行星和星系）的运动，以及一些微尺度物体（如有机分子）。

雖然經典力學和其他“经典”理论（如经典电磁学和热力学）大致相容，在十九世纪末，还是发现出有些只有现代物理才能解释的不一致性。特别是，经典非相对论电动力学预言光速在以太内是常数，经典力学无法解释这预测，并导致了狭义相对论的发展。经典力学和经典热力学的结合又导出吉布斯佯谬（熵无定义）和紫外灾难（黑体发射无穷能量）。为解决这些问题的努力造成了量子力學的發展。

理论的表述

经典力学有许多不同的理论表述方式：

• 牛顿力学（矢量力学）的表述方式。
• 拉格朗日力学的表述方式。
• 哈密顿力学的表述方式。

以下介绍經典力學的几个基本概念。为简单起见，經典力學常使用质点来模拟实际物体。质点的尺寸大小可以被忽略。质点的运动可以用一些参数描述：位移、質量、和作用在其上的力。

实际而言，經典力學可以描述的物体总是具有非零的尺寸。（真正的质点，例如電子, 必须用量子力學才能正确描述）。非零尺寸的物体比虚构的质点有更复杂的行为，这是因为自由度的增加 - 例如，棒球在移动的时候可以旋转。虽然如此，质点的概念也可以用来研究这种物体，因为这种物体可以被认知为由大量质点组成的复合物。如果复合物的尺寸极小于所研究问题的距离尺寸，则可以推断复合物的质心与质点的行为相似。因此，使用质点也适合于研究这类问题。

位移及其导数

国际单位制之導出單位
位移	m
速度	m s-1
加速度	m s-2
轉动惯量	kg m2
动量	kg m s-1
角动量	kg m2 s-1
力	kg m s-2
力矩	kg m2 s-2
能量	kg m2 s-2
功率	kg m2 s-3
压力	kg m-1 s-2
表面張力	kg s-2
輻照度	kg s-3
动粘性	kg m-1 s

质点在某一坐标系的位移，是相对于空间的任意固定点 A 而定义的。定义位移为从固定点 A 指向粒子的向量 $\mathbf {r} \,$ 。如果，固定点是坐标系的原点 O ，则此位移乃质点的位置。如果，质点在空间内移动，位移随时间而变化，则 $\mathbf {r} \,$ 可以是 $t\,$（从任意的初始时刻开始的时间）的函数。在前爱因斯坦相对性理论中（伽利略相对性原理），时间被认为在所有参考系中是绝对的。也就是说，不同的观察者在各自的参考系中所测量的时间间隔乃等值的。并且，經典力學假设空间为欧几里得几何空间。

速度

速度, 或者说位移对于时间的变化率，定义为位移对于时间的导数，也就是

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\qquad \,$ 。

在经典力学中，速度是直接可加可减的。例如，假设一辆车以向东 60 km/h 的速度超过另一辆以 50 km/h 向东的车，从较慢车的角度来看，它的速度是向东 60 − 50 = 10 km/h. 从较快车的角度来看，较慢车以 10 km/h 向西行驶。如果车是向北行驶呢？速度依照向量值直接可加；但必须用向量分析的方法来处理。

用向量表示，第一辆车的速度为 $\mathbf {u} =u\mathbf {d} \,$ ，第二辆车的速度为 $\mathbf {v} =v\mathbf {e} \,$ 。在这里， $u\,$ 是第一辆车的速率, $v\,$ 是第二辆车的速率，而 $\mathbf {d} \,$ 和 $\mathbf {e} \,$ 分别是两辆车运动方向上的单位向量。那末，从第二辆车来看，第一辆车的速度为

$\mathbf {u'} =\mathbf {u} -\mathbf {v} \,$ 。

同样地，从第一辆车来看，第二辆车的速度为

$\mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,$ 。

当这两辆车在同一个方向运动，这个方程简化为

$\mathbf {u'} =(u-v)\mathbf {d} \,$ 。

也可以忽略方向，只用速率表达

$u'=u-v\,$ 。

加速度

加速度, 或是说速度对于时间的变化率，是速度对于时间的导数， 可以表示为

$\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,$ 。

加速度向量可以改变速度大小，改变速度方向，或同时改变速度的大小与方向。 如果只有速度的大小（速率）减小， 则可以特称为减速或变慢。 但通常来说，速度上的任何改变，包括减速，都可以称为加速度。

参考系

相对于任何固定点，依照其陪同之坐标系（参考系），一个质点的位移、速度、和加速度都可以被测得。虽然如此，经典力学假定有一组特别的参考系。在这组特别的参考系内，大自然的力学定律呈现出非常简易的形式。称这些特别的参考系为惯性参考系。惯性参考系有个特性：一个惯性参考系相对于另一个惯性参考系的速度是常数；相对于一个惯性参考系，任何非惯性参考系的运动必定是加速度的。所以，一个净外力是零的质点在任何惯性参考系内测量出的速度必定是常数；只有在净外力非零的状况下，才能造成质点加速度运动。问题是，因为万有引力的存在，并无任何方法能够保证找到净外力为零的惯性参考系。实际而言，相对于遥远星体呈现常速度运动的参考系应是很好的选择。

思考同一事件在两个惯性参考系 $S\,$ 和 $S\,'\,$ 的测量，$S\,'\,$ 相对于 $S$ 以相对速度 $\mathbf {u} \,$ 运动。分别在这两个参考系的关查者可以测量到以下结果；

• $\mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,$（同一质点的运动，在 $S\,'\,$ 测量的速度比在 $S\,$ 测量的速度慢 $\mathbf {u} \,$）。
• $\mathbf {a'}$ = $\mathbf {a} \,$（质点的加速度和惯性参考系无关）。
• $\mathbf {F'}$ = $\mathbf {F} \,$（因为 $\mathbf {F}$ = $m\mathbf {a} \,$ ）（施于质点上的力和惯性参考系无关; 见牛顿运动定律）。
• 光速不是常数！
• 麦克斯韦方程组的形式不是独立于惯性参考系的！

力；牛顿第二定律

牛顿第二定律把质点的质量和速度用一个称为力的向量联系起来。如果 $m\,$ 是质点的质量，而 $\mathbf {F} \,$ 是所有作用在其上的力的向量总合（就是，净作用力），牛顿第二定律说

$\mathbf {F} ={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}\,$ ，

称 $m\mathbf {v} \,$ 为動量。一般而言，質量 $m\,$ 是时间的常数，牛顿定律可以简化为

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,$ 。

这里，$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\,$ 是加速度。但 $m\,$ 并不总是独立于 $t\,$ 的。例如，火箭的質量在推进剂喷出的时候减少。在这种情况下，以上的方程式并不正确，必须使用牛顿第二定律的完整形式。

牛顿第二定律不足以独立表述粒子的运动。必需知道 $\mathbf {F} \,$ 的值，这要经过计算质点的特定物理实体作用来设定。例如，一个典型的摩擦力可以用质点速度的函数来表示:

$\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,$ 。

其中，$\lambda$ 是一个正常数。当每个作用在质点上的力的独立关系都被设定後，它们可以被代入到牛顿第二定律中来得到一个微分方程，称为运动方程。继续上面的例子，假設摩擦力是唯一作用在质点上的力，则运动方程为

$-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,$ 。

积分这个运动方程，可以得到

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{-\lambda t/m}\,$ ，

在这里，$\mathbf {v} _{0}\,$ 是初速度。此方程式表示出這粒子的速度是随着时间指数式递减到 0 。这个方程式可以进一步积分来得到位移 $\mathbf {r} \,$ 作为的时间的函数

重力和电磁学中的洛伦兹力是几种常用的力。

牛顿第三定律可以用来推论作用在质点上的力：如果已知粒子 A 作用对另一粒子 B 上的力是 $\mathbf {F} \,$ ，则粒子 B 对粒子 A 有一个相等的但相反的反作用 $-\mathbf {F} \,$ 。

能量

若施力 $\mathbf {F} \,$ 在某粒子上产生了位移 $\Delta \mathbf {s} \,$ ，该力所做的功是一个标量

$\Delta W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {s} \,$ 。

若粒子的質量不變，而 $\Delta W_{\rm {total}}\,$ 是质点上所有的功，通过把每个力所作的功加起来得到，从牛顿第二定律:

$\Delta W_{\rm {total}}=\Delta E_{k}\,$ 。

在这里，$E_{k}\,$ 被称为動能。对于一个质点，它被定义为

$E_{k}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}\,$ 。

对于很多粒子组成的复合物体，合成体的動能是粒子的動能總和。

有一类特殊的力，称为保守力，可以被表达为一个标量函数的梯度，该函数被称为势能，记为 $E_{p}\,$ ：

$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{p}\,$。

如果所有总用在粒子上的力是保守的，而 $E_{p}\,$ 是所有势能加起来得到的总势能，

$\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {s} =-\mathbf {\nabla } E_{p}\cdot \Delta \mathbf {s} =-\Delta E_{p}\Rightarrow -\Delta E_{p}=\Delta E_{k}\Rightarrow \Delta (E_{k}+E_{p})=0\,$ 。

这个结果被称为能量守恒定律；表明

$\sum E=E_{k}+E_{p}\,$ ，

总能量是时间的常数。这结果非常有用。因为，很多常见的力是保守的。

進一步的結果

牛頓的定律为复合物体提供了很多重要的结果。例如，角動量。

经典力学有两个重要的表述：拉格朗日力学和哈密顿力学。它们都是和牛顿力学相等价的。但是，在解决问题上，它们经常有更大的倍率。这些和其他的现代表述通常都绕过"力"的概念，而使用其他物理量，例如能量，来描述力学系统。

伽利略变换

思考两个参考系 $S\,$ 与 $S\,'\,$ 。观察者设定同一个事件在 $S\,$ 参考系中的时空坐标为（$x,\ y,\ z,\ t\,$ ），而在 $S\,'\,$ 参考系中为（$x\,',\ y\,',\ z\,',\ t\,'\,$ ）。假设時間是有绝对性的（時間在两个参考坐标系的测量值相等）。并且，要求当 $t=0\,$ 时，令 $x\,'=x\,$ 。如果 $S\,'\,$ 在 $x\,$ 方向以 $u\,$ 的速度相对于 $S\,$ 运动。那末，同一事件在两个参考系 $S\,$ 与 $S\,'\,$ 内的时空坐标关系乃如下：

$x\,'=x-ut\,$ ，

$y\,'=y\,$ ，

$z\,'=z\,$ ，

$t\,'=t\,$ 。

这一套公式定义了称为伽利略变换的群变换。在狭义相对论的极限状况，当相对速度 $u\,$ 极小于光速時，这一类变换是正确的。

歷史

古希腊的哲学家，包括亞里士多德在内，可能是最早提出“万有之本，必涵其因”论点，以及用抽象的哲理尝试敲解大自然奥秘的思想家。当然，对于现代读者而言，许多仍旧存留下来的思想是蛮有道理的，但并没有无懈可击的数学理论与對照實驗来阐明跟证实。而这些方法乃现代科学，如经典力学，能形成的最基本因素。

开普勒是第一位要求用因果關係来诠释星体运动的科学家。他从第谷·布拉赫对火星的天文观测资料里发现了火星公转的轨道是椭圆形的。这与中世纪思维的切割大约发生在西元1600年。差不多于同时，伽利略用抽象的数学定律来解释质点运动。传说他曾经做过一个著名的實驗：从比萨斜塔扔下两个不同质量的球来试验它们是否同时落地。虽然这传说很可能不实，但他确实做过斜面上滚球的数量实验；他的加速运动论显然是由这些结果推导出的，而且成为了经典力学上的基石。

牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》裡发表了三条牛顿运动定律；慣性定律，加速度定律，和作用与反作用定律。他示范了这些定律能支配着普通物体与天体的运动。特别值得一提的是，他研究出开普勒定律在理论方面的详解。牛頓先前已创发的微积分是研究经典力学所必备的数学工具。

牛頓和大多数那个年代的同仁，除了惠更斯著名的例外，都认为经典力学应可以诠释所有大自然显示的现象，包括用其分支，几何光学，来解释光波。甚至于当他发现了牛頓環（一个光波干涉现象），牛頓仍然使用自己的光微粒学说来解释。

十九世纪后期，尖端的理论与实验挖掘出许多扑硕迷离的难题。经典力学与热力学的连结导至出经典统计力学的吉布斯佯谬（熵混合不连续特性）。在原子物理的领域，原子輻射呈现線狀光譜，而不是連續光譜。眾位大师尽心竭力研究这些难题，引导发展出现代的量子力学。同样的，因为经典电磁学和经典力学在座标变换时的互相矛盾，终就创发出惊世的相对论。

自二十世纪末後，不再能虎山独行的经典力学，已与经典电磁学被牢牢的嵌入相对论和量子力学里面，成为在非相对论性和非量子力学性的極限，研究质点的学问。

有效范围

许多经典力学的分支乃更精准理论的简化或近似。两个最精准的例子是广义相对论和相对论性统计力学。几何光学乃量子光学的近似，并没有比它更优秀的理论了。

狭义相对论的近似

牛顿力学，或非相对论性经典力学用非相对论性动量项 $m_{0}v\,$ 来近似相对论性动量項 ${\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,$ 。非相对论性动量项只有在速度超小于光速时才有效。举例而言，回旋加速器，磁旋管，或高电压磁控管的相对论性回旋頻率乃是 $f=f_{c}{\frac {m_{0}}{m_{0}+T/c^{2}}}\,$ ，在这里，回旋于电磁场内的电子的经典頻率是 $f_{c}\,$ ，动能是 $T\,$ ，靜質量是 $m_{0}\,$ 。由于电子的靜質量是 511KeV ，所以，5.11KeV 直流加电压的电磁真空管的頻率修正是 1% 。

量子力学的近似

当德布罗意波长不极小于系统的尺寸时，经典力学的射线近似不成立，粒子具有波的性质。非相对论性質点的波长是

$\lambda ={\frac {h}{p}}\,$ ，

在这里，$h\,$ 是普朗克常数，$p\,$ 是动量。

电子比较重粒子先发生这种状况。克林顿·戴维孙与 Lester Germer 在 1927 年在实验中用 54V 加速電子束。然后，瞄准射于镍晶体上。经过测量电子的反射强度的角相关性，他们发现衍射图案相關性与布拉格公式对X射线的預測相符合。穿隧二極體和超窄閘电晶体的量子隧道效应乃是经典力学失败更实际的例子。