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交換律

交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义[1][2]。

一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子

一般用法

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交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。[3][4][5]

數學定義

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「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中[6][7]：

1. 在集合   的一二元運算   被稱之為「可交換」的，若：

 
  • 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱   在   下和   「可交換」，即表示：

 

3. 一二元函數 被稱之為「可交換」的，若：

 .

歷史

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Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。[8][9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[11][12]，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。[11]

相關性質

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顯示加法函數對稱性的圖

結合律

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主条目：結合律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱

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主条目：對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對   這條線對稱。舉例來說，若設一函數   來表示加法（一可交換運算），所以   ，也因此   會是個如右圖所見的對稱函數。

例子

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日常生活中的可交換運算

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  • 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
  • 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

數學中的可交換運算

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顯現出乘法 (   ) 的交換律的一個例子

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[6]：

 
例如，   ，兩個表示式都等於 9 。
 
例如，   ，兩者都等於 15 。

日常生活中的不可交換運算

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串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。
  • 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
  • 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

數學中的不可交換運算

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一些不可交換二元運算[13]有：

  • 減法：   ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
  • 除法：  ，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
  • 矩陣乘法：
 

數學結構與交換律

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註記

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  1. ^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）. 
  3. ^ Axler, p.2
  4. ^ 4.0 4.1 Gallian, p.34
  5. ^ p. 26,87
  6. ^ 6.0 6.1 Krowne, p.1
  7. ^ Weisstein, Commute, p.1
  8. ^ Lumpkin, p.11
  9. ^ Gay and Shute, p.?
  10. ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  12. ^ O'Conner and Robertson, Servois
  13. ^ Yark, p.1
  14. ^ Gallian p.236
  15. ^ Gallian p.250
  16. ^ Gallian p.65

參考資料

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書籍

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Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章

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Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

線上資源

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另見

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