删除的内容添加的内容

行内

2011年9月3日 (六) 02:44的版本

贝尔纲定理是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。

该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。^[1]

定理的陈述

一个贝尔空间是一个拓扑空间，具有以下性质：对于任意可数个开稠密集U_n，它们的交集∩ U_n都是稠密的。

（BCT1）每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个同胚于某个完备伪度量空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。
（BCT2）每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。

注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间（带有定义如下的度量的无理数），也存在一个不可度量化的局部紧豪斯多夫空间（不可数福特空间）。参见以下文献中的Steen and Seebach。

这个表述是BCT1的一个结果，有时更加有用。另外，如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集，那么其中一个闭集具有非空的内部。

BCT1和BCT2的证明需要选择公理的某种形式；实际上，BCT1与选择公理的一个较弱的版本——相依选择公理等价。^[2]

BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。（如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在X中每一个单元素集合都是无处稠密的，因此X在它本身内是第一纲）。特别地，这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。

BCT1表明以下每一个都是贝尔空间：

根据BCT2，每一个流形都是贝尔空间，因为它是局部紧空间，也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧（因此不可度量化）的流形如长直线也是成立的。

以下是完备度量空间 $X$ 是贝尔空间的一个标准的证明。

设 $U_{n}$ 为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集 $\bigcap U_{n}$ 是稠密的。为此，设 $W\subset X$ 为一个开子集。根据稠密性，存在 $x_{1}$ 和 $r_{1}>0$ ，使得：

{\overline {B}}(x_{1},r_{1})\subset W\cap U_{1}

。

递归地，我们求出 $x_{n}$ 和 $r_{n}>0$ ，使得：

{\overline {B}}(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap U_{n}

而且

r_{n}<n^{-1}

。

由于当 $n>m$ 时， $x_{n}\in B(x_{m},r_{m})$ ，因此 $x_{n}$ 是柯西序列，且 $x_{n}$ 收敛于某个极限 $x$ 。对于任何 $n$ ，根据封闭性，有：

x\in {\overline {B}}(x_{n+1},r_{n+1})\subset B(x_{n},r_{n})

。

因此，对于所有 $n$ ，都有 $x\in W$ 且 $x\in U_{n}$ 。 $\square$

R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934.
Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).

泛函分析中的定理

@@ 第42行： / 第42行： @@
 因此，对于所有<math>n</math>，都有<math>x \in W</math>且<math>x \in U_n</math>。<math>\square</math>
+=註釋==
-==参考文献==
 {{reflist}}
+==參考文獻==
+{{refbegin}}
+*R. Baire. [http://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ Sur les fonctions de variables réelles.] Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
+* Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", ''Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.'', v. 25 n. 10, pp.&nbsp;933&ndash;934.
+* [[Azriel Levy|Levy, Azriel]] (1979), ''Basic Set Theory''. Reprinted by Dover, 2002.  ISBN 0-486-42079-5
 *Schechter, Eric, ''Handbook of Analysis and its Foundations'', Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
 *[[Lynn Steen|Lynn Arthur Steen]] and [[J. Arthur Seebach, Jr.]], ''[[Counterexamples in Topology]]'', Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
+{{refend}}
 {{点集拓扑}}