测度:修订间差异
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[[File:Measure illustration.png|thumb|通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。]] |
[[File:Measure illustration.png|thumb|通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。]] |
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'''测度'''({{lang-en|Measure}})是種對特定一群[[子集]]指定數值的[[函数]],直觀上相当於[[体积]],也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的[[黎曼积分]]是在[[区间]]上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是[[勒贝格测度]],它從 <math>n</math> 维欧式空间 <math>{\R}^n</math>出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。 |
'''测度'''({{lang-en|Measure}})是種對特定一群[[子集]]指定數值的[[函数]],直觀上相当於[[体积]],也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的[[黎曼积分]]是在[[区间]]上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是[[勒贝格测度]],它從 <math>n</math> 维欧式空间 <math>{\R}^n</math> 出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。 |
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研究測度的學問被統稱為'''测度论''',因為指定的數值通常是非負[[实数]],所以测度论通常會被視為[[实分析]]的一个分支,它在[[数学分析]]和[[概率论]]有重要的地位。 |
研究測度的學問被統稱為'''测度论''',因為指定的數值通常是非負[[实数]],所以测度论通常會被視為[[实分析]]的一个分支,它在[[数学分析]]和[[概率论]]有重要的地位。 |
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=== 定義的分歧 === |
=== 定義的分歧 === |
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不少書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數,而容許測度取值為無窮大;容許這樣定義的書籍會將方才定義的測度稱為(非負)'''有限測度'''。但這樣定義的須額外申明,至少有個[[Σ-代数#定义|可測集合]] <math>E \in \Sigma</math> 使得 <math> \mu(E) \geq 0 </math> ,否則這樣的定義,會容許測度全取值無窮大的病態情況。 |
因照著可数可加性去推論,會讓不少母集合(如 <math>{\R}^n</math> )本身的測度會趨近於[[无穷大]]而實際上不存在。為了避免讓定義更加繁瑣,不少書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數,而容許測度取值為無窮大;容許這樣定義的書籍會將方才定義的測度稱為(非負)'''有限測度'''。但這樣定義的須額外申明,至少有個[[Σ-代数#定义|可測集合]] <math>E \in \Sigma</math> 使得 <math> \mu(E) \geq 0 </math> ,否則這樣的定義,會容許測度全取值無窮大的病態情況。 |
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更進一步的,如果對測度空間 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 來說,母集合 <math>X</math> 都可以表示為某個 <math>\Sigma</math> 的可測集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的[[并集]]: |
更進一步的,如果對測度空間 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 來說,母集合 <math>X</math> 都可以表示為某個 <math>\Sigma</math> 的可測集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的[[并集]]: |
2023年4月11日 (二) 12:29的版本
测度(英語:Measure)是種對特定一群子集指定數值的函数,直觀上相当於体积,也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的黎曼积分是在区间上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度,它從 维欧式空间 出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。
研究測度的學問被統稱為测度论,因為指定的數值通常是非負实数,所以测度论通常會被視為实分析的一个分支,它在数学分析和概率论有重要的地位。
定义
要正式定義測度之前,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ-代數。
- (空集合的测度为零)
- 。
那 被稱為定義在 上的一個非負測度,或簡稱為測度。為了敘述簡便起見,有時會直接稱 为一测度空间。
如果將 的值域擴展到複數,也就是說 ,那 會被進一步稱為複數測度。[1]
定義的分歧
因照著可数可加性去推論,會讓不少母集合(如 )本身的測度會趨近於无穷大而實際上不存在。為了避免讓定義更加繁瑣,不少書籍[2]會形式上將无穷大視為一個數,而容許測度取值為無窮大;容許這樣定義的書籍會將方才定義的測度稱為(非負)有限測度。但這樣定義的須額外申明,至少有個可測集合 使得 ,否則這樣的定義,會容許測度全取值無窮大的病態情況。
更進一步的,如果對測度空間 來說,母集合 都可以表示為某個 的可測集合序列 的并集:
則 會被這些書籍進一步的稱為(非負)σ-有限测度。
性质
单调性
测度的单调性: 若和为可测集,而且,则。
可数个可测集的并集的测度
若为可测集(不必是两两不交的),则集合的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):
如果还满足并且对于所有的,⊆,则如下极限式成立:
可数个可测集的交集的测度
若为可测集,并且对于所有的,⊆,则的交集是可测的。进一步说,如果至少一个的测度有限,则有极限:
如若不假设至少一个的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个,令
这裡,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。
完备性
对于一个可测集,若成立,则称为零测集,其子集称为可去集。
一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。
如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:
考虑的所有与某个可测集仅差一个可去集的子集,可得到与的对称差包含于一个零测集中。
由这些子集生成的σ代数,并定义,所得到的测度即为完备测度。
例子
下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。
- 计数测度 定义为的「元素个数」。
- 一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
- Circular angle测度是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
- 恆零测度定义为,对任意的。
- 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理。
其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
相关条目
- 外测度(Outer measure)
- 幾乎處處(Almost everywhere)
- 勒贝格测度(Lebesgue measure)
- 勒貝格積分
- 法圖引理(Fatou's lemma)
- 富比尼定理(Fubini's theorem)
- 可測基數
参考文献
- R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
- D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
- Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
- M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Tutorial: Measure Theory for Dummies(为初学者准备的测度论教学) (页面存档备份,存于互联网档案馆)