测度：修订间差异

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2023年8月23日 (三) 16:56的版本

在数学中，测度是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）廣義化後產生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 $n$ 维欧式空间 ${\mathbb {R} }^{n}$ 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

研究測度的學問被統稱為测度论，因為指定的數值通常是非負实数，所以测度论通常會被視為实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

定义

要正式定義測度之前，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見 $σ$ -代數。

集合 $X$ 有 $σ$ -代數 $\Sigma$ ，函数 $\mu :\Sigma \to [0,\,\infty )$ 若满足：

$\mu (\varnothing )=0$ (空集合的测度为零)

可数可加性( $\sigma$ -可加性)：若 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $\Sigma$ 中两两不相交的集合序列，也就是說，對所有 $i\neq j$ 都有 $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing$ ，則有

\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})

。

那 $\mu$ 被稱為定義在 $\Sigma$ 上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，也可稱 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 为一测度空间。

如果將 $\mu$ 的值域擴展到複數，也就是說 $\mu :\Sigma \to \mathbb {C}$ ，那 $\mu$ 會被進一步稱為複數測度。^[1]

定義的分歧

若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成无穷大（如對 ${\mathbb {R} }^{n}$ 本身取勒贝格测度），所以實際上不存在。但某些書籍^[2]會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限实数值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"形式定義"會與數列收斂等等的基本數學定義產生矛盾，所以嚴格來說，必須把 $σ$ -代數取代成條件比較寬鬆的半集合環（英语：Semiring#Semiring_of_sets）去定義前測度（英语：Pre-measure），來處理這種母集合不可測的一般情況。

但容許測度取值無窮大時，必須額外申明，至少有個 $E\in \Sigma$ 使得 $\mu (E)\geq 0$ （即有子集合的測度是有限實數），否則這樣定義，會容許測度值全為無窮大的病態情況。

更進一步的，如果對測度空間 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 來說，母集合 $X$ 都可以表示為某個 $\Sigma$ 的可測集合序列 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 的并集：

X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}

則有限測度 $\mu$ 會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。

性质

单调性

测度 $\mu \$ 的单调性：若 $E_{1}\$ 和 $E_{2}\$ 为可测集，而且 $E_{1}\subseteq E_{2}$ ，则 $\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$ 。

可数个可测集的并集的测度

若 $E_{1},E_{2},E_{3}\cdots$ 为可测集（不必是两两不交的），则集合 $E_{n}\$ 的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})

如果还满足并且对于所有的 $n\$ ， $E_{n}\$ ⊆ $E_{n+1}\$ ，则如下极限式成立：

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).

可数个可测集的交集的测度

若 $E_{1},E_{2},\cdots$ 为可测集，并且对于所有的 $n\$ ， $E_{n+1}\$ ⊆ $E_{n}\$ ，则 $E_{n}\$ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 $E_{n}\$ 的测度有限，则有极限：

\mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})

如若不假设至少一个 $E_{n}\$ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 $n\in \mathbb {N}$ ，令

E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}

这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性

对于一个可测集 $N$ ，若 $\mu (N)=0\$ 成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑 $X$ 的所有与某个可测集 $E$ 仅差一个可去集的子集 $F$ ，可得到 $E$ 与 $F$ 的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集 $F$ 生成的σ代数，并定义 $\mu (F)=\mu (E)$ ，所得到的测度即为完备测度。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

计数测度　定义为 $\mu (S)=S\$ 的「元素个数」。
一维勒贝格测度是定义在 $\mathbb {R}$ 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 $\mu ([0,1])=1\$ 的唯一测度。
Circular angle测度是旋转不变的。
局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
恆零测度定义为 $\mu (S)=0\$ ，对任意的 $S\$ 。
每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

参考文献

^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.

R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接

Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学）（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.

[2] Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.

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 === 定義的分歧 ===
-若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成[[无穷大]]（如對 <math>{\R}^n</math> 本身取[[勒贝格测度]]），所以實際上不存在。但某些書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限[[实数]]值的測度稱為（非負）'''有限測度'''。但這樣"形式定義"會與[[極限 (數列)|數列收斂]]等等的基本數學定義產生矛盾，所以嚴格來說，必須把[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]取代成條件比較寬鬆的[[集合域]]去定義{{Link-en|前測度|Pre-measure}}，來處理這種母集合不可測的一般情況。
+若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成[[无穷大]]（如對 <math>{\R}^n</math> 本身取[[勒贝格测度]]），所以實際上不存在。但某些書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限[[实数]]值的測度稱為（非負）'''有限測度'''。但這樣"形式定義"會與[[極限 (數列)|數列收斂]]等等的基本數學定義產生矛盾，所以嚴格來說，必須把[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]取代成條件比較寬鬆的{{Link-en|半集合環|Semiring#Semiring_of_sets}}去定義{{Link-en|前測度|Pre-measure}}，來處理這種母集合不可測的一般情況。
 但容許測度取值無窮大時，必須額外申明，至少有個 <math>E \in \Sigma</math> 使得 <math> \mu(E) \geq 0 </math>（即有子集合的測度是有限實數），否則這樣定義，會容許測度值全為無窮大的病態情況。