通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。 测度 （英語：Measure ）是種對特定一群子集 指定數值的函数 ，直觀上相当於体积 ，也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的黎曼积分 是在区间 上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度 ，它從
n
{\displaystyle n}
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
研究測度的學門被統稱為测度论 ，因為指定的數通常是实数 ，所以测度论通常會被視為实分析 的一个分支，它在数学分析 和概率论 有重要的地位。
要正式定義測度之前，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ
集合
X
{\displaystyle X}
σ
Σ
{\displaystyle \Sigma }
函数
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
可数可加性 (
σ
{\displaystyle \sigma }
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
不相交 的集合序列 ，也就是說，對所有
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
E
i
∩
E
j
=
∅
{\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }
μ
(
⋃
n
∈
N
E
n
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
E
n
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}
那
μ
{\displaystyle \mu }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
非負測度 ，或簡稱為測度 。為了敘述簡便起見，有時會直接稱
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
测度空间 。
如果將
μ
{\displaystyle \mu }
複數 ，也就是說
μ
:
Σ
→
C
{\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }
μ
{\displaystyle \mu }
複數測度 。[ 1]
不少書籍[ 2] 无穷大 視為一個數，而容許測度取值為無窮大；容許這樣定義的書籍會將方才定義的測度稱為（非負）有限測度 。但這樣定義的須額外申明，至少有個可測集合
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
μ
(
E
)
≥
0
{\displaystyle \mu (E)\geq 0}
更進一步的，如果對測度空間
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
X
{\displaystyle X}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
并集 ：
X
=
⋃
n
∈
N
E
n
{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}
則
μ
{\displaystyle \mu }
σ-有限测度 。
测度
μ
{\displaystyle \mu \ }
单调性 ：
若
E
1
{\displaystyle E_{1}\ }
E
2
{\displaystyle E_{2}\ }
E
1
⊆
E
2
{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
若
E
1
,
E
2
,
E
3
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
次可列可加性 」）：
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}
如果还满足并且对于所有的
n
{\displaystyle n\ }
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
极限式 成立：
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
.
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}
若
E
1
,
E
2
,
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }
n
{\displaystyle n\ }
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
交集 是可测的。进一步说，如果至少一个
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
有限 ，则有极限：
μ
(
⋂
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}
如若不假设至少一个
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
E
n
=
[
n
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
对于一个可测集
N
{\displaystyle N}
μ
(
N
)
=
0
{\displaystyle \mu (N)=0\ }
零测集 ，其子集称为可去集 。
一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。
如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度 。
一个测度可以按如下的方式延拓 为完备测度：
考虑
X
{\displaystyle X}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
对称差 包含于一个零测集中。
由这些子集
F
{\displaystyle F}
σ代数 ，并定义
μ
(
F
)
=
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (F)=\mu (E)}
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
计数测度
μ
(
S
)
=
S
{\displaystyle \mu (S)=S\ }
元素个数 」。一维勒贝格测度 是定义在
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
平移 不变的、满足
μ
(
[
0
,
1
]
)
=
1
{\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }
Circular angle测度 是旋转 不变的。局部紧拓扑群 上的哈尔测度 恆零测度 定义为
μ
(
S
)
=
0
{\displaystyle \mu (S)=0\ }
S
{\displaystyle S\ }
每一个概率空间 都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度 概率论公理 。 其它例子，包括：狄拉克测度 、波莱尔测度 、若尔当测度 、遍历测度 、欧拉测度 、高斯测度 、贝尔测度 、拉东测度 。
^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability . Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory
Paul Halmos , 1950. Measure theory . Van Nostrand and Co.M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration . Addison Wesley.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . Emphasizes the Daniell integral .
![{\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585179716417be6cf5a170cb3d9654dfe6d3039e)
