Gaan na inhoud

Gebruiker:Martinvl/Fibonaccireeks

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie

User talk:DangerousPanda

Spiraal

[wysig | wysig bron]

'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies

[wysig | wysig bron]

In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:

(waar 'n monototiese toenemende funksie is)

of in kartesiese koördinate deur

Die bekendste spirale sluit in:

Eineskappe

[wysig | wysig bron]

The following considerations are dealing with spirals, which can be described by a polar equation , especially for the cases (Archimedean, hyperbolic, Fermat's, lituus spirals) and the logarithmic spiral .

Definition of sector (light blue) and polar slope angle

Polêre hellinghoek

[wysig | wysig bron]

Die hoek tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en die poolhelling. Die formule vir die poolhelling , wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

waar is

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van , maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiral spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant:

Kromming

[wysig | wysig bron]

Die kromming van 'n kurwe met poolvergelyking is[1]

Sektor oppervlak

[wysig | wysig bron]

The area of a sector of a curve (see diagram) with polar equation is

For a spiral with equation one gets

Booglengte

[wysig | wysig bron]

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking is:

Spirale in drie dimensies

[wysig | wysig bron]

In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:



met die vereiste dat óf óf 'n monototiese toenemende funksie is.
Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel

Silindriese spiraal

[wysig | wysig bron]

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

waar is die radius van die spoel en is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal

[wysig | wysig bron]
Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

dan kan 'n derde koördinaat sodanig ingebring word met die beperking:

:

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld

[wysig | wysig bron]

As iemand met 'n archimedean spiral kry hy 'n koniese spiraal van [2] (sien beeld regs):

Spherical spiral with

Sferiese spirale

[wysig | wysig bron]

Die oppervlak van 'n sfeer, radius , kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:[3]:

Waneer voorgestel is deur die vergelyking , kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. [4] met die parametriese voorstelling ( is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

Spherical spirals were known to Pappus, too.

Verwysings

[wysig | wysig bron]
  1. Svirin, Alex. "Curvature and Radius of Curvature" (in English). Math24. Besoek op 23 Maart 2021.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  2. Ferréol, Robert (2018). "Conical spiral of Pappus" (in English). mathcurve.com.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  3. Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques (2018). "Clelia" (in English). mathcurve.com.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  4. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 132

Saved Spiral text

[wysig | wysig bron]

Eineskappe

[wysig | wysig bron]

The following considerations are dealing with spirals, which can be described by a polar equation , especially for the cases (Archimedean, hyperbolic, Fermat's, lituus spirals) and the logarithmic spiral .

Definition of sector (light blue) and polar slope angle

Polêre hellinghoek

[wysig | wysig bron]

Die hoek tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en die poolhelling.

Vektoranalise in poolkoördinate gee die formule

Dus is die helling van die spiraal is

In die geval van 'n Archimedeanspiraal () is die poolhelling

The logarithmic spiral is a special case, because of constant !

Kromming

[wysig | wysig bron]

Die kromming van 'n kurwe met poolvergelyking is

In die geval van 'n spiraal wat deur gedefinieer is, is die krommingvergelyking

Waneer (Archimedean spiral) .

Die kroming van 'n logarithmic spiral is

Sector area

The area of a sector of a curve (see diagram) with polar equation is

For a spiral with equation one gets

The formula for a logarithmic spiral is

Arc length

The length of an arc of a curve with polar equation is

For the spiral the length is

Not all these integrals can be solved by a suitable table. In case of a Fermat's spiral the integral can be expressed by elliptic integrals only.

The arc length of a logarithmic spiral is

Fibonaccireeks

[wysig | wysig bron]
'n Teëlwerk met vierkante waarvan die sylengte opeenvolgende Fibonacci-getalle is: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 en 21.

In wiskunde vorm die Fibonacci-getalle, wat gewoonlik aangedui word, 'n ry, wat as die Fibonacci-reeks bekend is, waar elke getal die som van die twee voorafgaande getalle is. Die erste twee getalle is 0 en 1.[1]:2 Die wiskundige notasie is

waar

en

n > 1.

Die begin van die reeks is dus:

Geskiedenis

[wysig | wysig bron]
Illustrasie van die Fibonacci-konynvoorstel

Die reeks wat die Fibonacci-reeks genoem word, is eers deur Hindoe-wiskundiges baie jare voor Fibonacci se geboorte beskryf. Skrywers wat na so 'n reeks of 'n meer algemene weergawe van die reeks beskryf, sluit in Virahanka (tussen 600 en 800 n.C.), Gopala (voor 1135 n.C.) en Hemacandra (ongeveer 1150 n.C.).[2]

In 1202 beskryf Fibonacci sy konkynvoorstel. Veronderstel dat daar is 'n konynkolonie. Gedurende die eerste maand is daar net een paar baba-konyne - een mannetjie en een wyfie. Gedurende die tweede maand twee is hierdie hase was adolessente en nie in staat om te teel nie. In die derde maand is hierdie hase volwasse en het hulle 'n paar baba-konyne voortgebring wat altesaam twee pare konyne maak. In die vierde maand produseer die eerste paar konyne nog 'n paar baba-konyne, terwyl die tweede paar tot tieners gegroei het, wat altesaam drie pare konyne maak. Dit het so voortgegaan. Toe hulle een maand oud is, word elke paar baba-konyne adolessent en die volgende maand, nadat hulle volwassen is, produseer hulle elke maand nog 'n paar baba-konyne. (Sien die beeld regs).

Eineskappe

[wysig | wysig bron]

Die Fibonacci-reeks het heelwat wiskundige eienskappe waarvan die "goue getal" oplossing en die Fibonacci-spiraal die twee mees bekende is.

Goue getal oplossing

[wysig | wysig bron]

As ons namatige Fibonacci-getalle toeneem, neig die verhouding tussen opeenvolgende getalle na 'n konstante naamlik die "goue getal".

Goue getal is die oplosing van

Bewys

)

As ons deur deel, kry ons

Veronderstel dat dan kry ons

Die "goue getal" is deur gedefineer (Sien regs).

Vereenvoudiging gee ons .

Van die definisie van die "gouwe getal" kry on .

Dus is .

Die oplossing van hierdie vergelyking is .

Algemene eienskappe

[wysig | wysig bron]

Die Fibonacci-reeks het heelwat eienskappe.

  • 'n Ewe getal is 'n Fibonacci getal waneer of is 'n perfekte vierkantige getal.
  • Daar is 'n familie van identiteite wat die som van die Fibonacci-getalle insluit. Hulle sluit in

Logaritmiese spirale

[wysig | wysig bron]
Konstrukie van die Fibonacci-spiraal

'n Logaritmiese spiraalvorm is 'n geometriese vorm wat in poolkoördinate beskryf is deur die vergelyking:

( is in radiale.)

of in kartesiese koördinate deur

Die goue spiraal is 'n spesiale logaritmiese spiraal wat na buite groei met 'n faktor van die goue verhouding vir elke 90 grade rotasie. Dit kan benader word deur 'n "Fibonacci-spiraal" (sien regs), gemaak van 'n reeks kwartsirkels met radiusse eweredig aan Fibonacci-getalle. Die voorwaarde dat 'n logaritmiese spiraal 'n goue spiraal word, is:

waar die goue verhouding (ongeveer 1,618...) is.

Rotating the spiral by angle yields the spiral

,

which is the original spiral uniformly scaled (at the origin) by . If is chosen such that ),then each of the curves is identical

Scaling by {\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}{\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;} gives the same curve.

See en:Logarithmic_spiral

In die natuur

[wysig | wysig bron]
8 spirial in a Aeonium
13 spirals
dual spirals
Aloe with 5 spirals
Pineapple
Pineapple - clockwise spiral
Pineapple - anti-clockwise spiral

Verwysings

[wysig | wysig bron]
  1. Lucas, Edouard (1891). Théorie des nombres (in Frans).
  2. Singh, Parmandand (1985). "The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India". Historia Mathematica (in English) (12): 229–244. Besoek op 6 Maart 2021.{{cite journal}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)