Kwaternione

ℍ

William Rowan Hamilton

D Kwaternione (vo lat. quaternio „Vierhäit“) oder au d Hamilton-Zaale si e Beriich vo Zaale, wo dr Beriich vo de reelle Zaale $\mathbb {R}$ erwiteret, äänlig wie s die komplexe Zaale $\mathbb {C}$ mache, goot aber über die uuse.

Kwaternione si braktisch für zum dr dreidimensionali euklidischi Ruum und anderi Rüüm z beschriibe.

Konstrukzion

D Kwaternione entstöön us de reelle Zaale, wemm drei nöiji Zaale drzue duet (Adjunkzion), wo mä aagleent an die komplex-imaginäri Äihäit d Nääme $\mathrm {i}$, $\mathrm {j}$ und $\mathrm {k}$ gee het. So bechunnt mä e vierdimensionals Zaalesüsteem (mathematisch: e Wektorruum) mit eme Realdäil, wo us äinere reelle Komponänte bestoot, und eme Imaginärdäil us drei Komponänte, wo au Wektordäil häisst.

Jede Kwaternion cha mä äidütig in dr Form

$x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

mit reelle Zaale $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ schriibe. D Elimänt $1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ si e Basis, d Standardbasis vo de Kwaternione über $\mathbb {R}$. D Addizion isch komponäntewiis und wird vom Wektorruum gerbt. Multiplikativ wärde die nöije Zaale $\mathrm {i}$, $\mathrm {j}$, $\mathrm {k}$ noch de Hamilton-Regle

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1$

verchnüpft. D Skalarmultiplikazioon $\mathbb {R} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H} \,$, wo au vom Wektorruum gerbt wird und wo d Skalar bin ere aagluegt wärde, ass si mit jedem Elimänt chönne usduscht wärde, zämme mit dr Addizioon und de Hamilton-Regle mache s mööglig, ass mä d Multiplikazioon vo dr Basis uf alli Kwaternione cha erwitere. Wil eso au jede Skalar $\lambda \in \mathbb {R}$ as $\lambda +0\mathrm {i} +0\mathrm {j} +0\mathrm {k}$ in $\mathbb {H}$ iibettet wird, cha $\mathbb {R}$ as Underkörper vo $\mathbb {H}$ ufgfasst wärde.

D Multiplikazioon isch assoziativ und erfüllt au s Distributivgsetz, macht also us de Kwaternione e Ring. Si isch allerdings nit kommutativ, d. h. für zwäi Kwaternione $x$ und $y$ si die bäide Brodukt $xy$ und $yx$ im Normalerfall verschiide. S Zentrum vo $\mathbb {H}$, also d Mängi vo de Elimänt, wo mit alle Elimänt kommutiere, isch exakt $\mathbb {R}$.

D Kwaternione bilde e Schiefkörper (Divisionsring), wil s zu jeder Kwaternion $x\neq 0$ e inversi Kwaternion $x^{-1}$ git mit

$xx^{-1}=x^{-1}x=1$ .

Wil d Kommutatividäät feelt, brucht mä Notazione mit Bruchstrich, wie z. B. ${\tfrac {y}{x}}$ nit.

Zämmegfasst: D Kwaternione sin e vierdimensionali Divisionsalgebra über $\mathbb {R}$ – und bis uf d Isomorfii die äinzigi. Historisch si d Kwaternione s erste Bischbil vom ene Divisionsring, wo die zwäiti Verchnüpfig von em nit kommutativ isch.

Litratuur

• Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

• John Horton Conway, Derek A. Smith: On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (änglisch)
• Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (änglisch)
• W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (änglisch)
• Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (änglisch)

• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995

• S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Soc. 50(1944), 246-248.

Weblingg

• Kwaternione in dr Kompiuteranimazioon
• Wo d Kwaternione entdeggt worde si (mit Bilder)
• Eric W. Weisstein „Quaternionen.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource

Fuessnoote

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Quaternion“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.