في الرياضيات ، التكاملات المثلثية (بالإنجليزية : Trigonometric integrals ) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية . هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية .
رسم بياني لتكامل الجيب Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π . هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:
S
i
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
s
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
sin
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
حيث
S
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)}
sin
x
/
x
{\displaystyle \sin x/x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
s
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {si}}(x)}
sin
x
/
x
{\displaystyle \sin x/x}
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
s
i
(
x
)
=
S
i
(
x
)
−
π
2
{\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}
لاحظ بأن
sin
t
t
{\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}
دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.
عندما يكون
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
تكامل ديريكليه [الإنجليزية]
في معالجة الإشارة ، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية [الإنجليزية] مرشح جيبي جوهري [الإنجليزية] مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).
إن ظاهرة غيبس [الإنجليزية] مرشحاً للترددات المنخفضة ، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه ، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.
رسم بياني لتكامل جيب التمام Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π . هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}
c
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}
C
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
حيث
c
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)}
cos
x
/
x
{\displaystyle \cos x/x}
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
c
i
(
x
)
=
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}
C
i
n
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}
يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:
S
h
i
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
t
t
d
t
=
s
h
i
(
x
)
.
{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}
[ عدل ] يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:
C
h
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
=
c
h
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}
حيث أن
γ
{\displaystyle \gamma }
ثابتة أويلر-ماسكيروني .
رسم مجسم نيلسن اللولبي في الرياضيات , لولب نيلسن (بالإنجليزية : Nielsen's spiral ), و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية : sici spiral )، هو لولب معادلاته الوسيطية :
x
=
a
ci
t
{\displaystyle x=a\,{\mbox{ci}}\,t\,}
y
=
a
si
t
{\displaystyle y=a\,{\mbox{si}}\,t\,}
حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.
هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.
هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.
[ عدل ]
S
i
(
x
)
=
π
2
−
cos
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
.
.
.
)
−
sin
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
.
.
.
)
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
C
i
(
x
)
=
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
.
.
.
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
.
.
.
)
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون
R
e
(
x
)
≫
1
{\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~}
S
i
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
±
⋯
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
∓
⋯
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم
x
{\displaystyle ~x~}
|
x
|
≫
1
{\displaystyle |x|\gg 1}
تُسمى الدالة
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
(
R
e
(
z
)
≥
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)}
بالتكامل الأسي . لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
S
i
(
x
)
)
−
C
i
(
x
)
=
i
s
i
(
x
)
−
c
i
(
x
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}
بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة,
ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى
R
e
(
x
)
>
0
{\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0}
π
{\displaystyle \pi }
