Axoma d'eleición

En teoría de conxuntos, el axoma d'eleición (o axoma de escogencia), ye un axoma que postula que pa cada familia de conxuntos non vacíos, esiste otru conxuntu que contién un elementu de cada unu d'aquellos. De manera informal, afirma que dada una coleición de «caxes» con oxetos dientro d'elles, ye posible escoyer un oxetu de cada caxa. Qu'esti procedimientu puede llevase a cabu ye trivialmente ciertu siempres que dicha familia seya finita, o cuando esiste una regla bien determinada que dexa «escoyer» un únicu elementu de cada conxuntu d'ella. Sicasí, l'axoma ye indispensable nel casu más xeneral d'una familia infinita arbitraria.

Foi formuláu en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que tou conxuntu puede ser bien ordenáu. Anque orixinalmente foi revesosu, anguaño ye usáu ensin reserves pola mayoría de los matemáticos. Hai entá, sicasí, especialmente na teoría de conxuntos, corrientes d'opinión que refuguen l'axoma o qu'investiguen consecuencies d'otros axomes inconsistentes con él.

Enunciáu

L'enunciáu del axoma d'eleición afirma qu'esiste una función d'eleición pa cada familia de conxuntos non vacíos, esto ye, una función f tal que pa cada conxuntu b del so dominiu, f(b) ∈ b. Na teoría de Zermelo-Fraenkel o similares, el so enunciáu formal ye:

Axoma d'eleición $\forall a:\forall b\in a,b\neq \varnothing \Rightarrow \exists f:{\text{Fun}}\,f\wedge {\mathcal {D}}f=a\wedge \forall b\in a,f(b)\in b$

onde Fun f y Df denotan «f ye una función» y el dominiu de f» en dicha teoría. L'axoma d'eleición tamién s'enuncia de maneres similares, nes que'l siginificado de «función d'eleición» varia llixeramente:

Los enunciaos siguientes son equivalentes: Toa familia de conxuntos non vacíos F tien una función d'eleición. Pa toa familia de conxuntos non vacíos F, el so productu cartesianu ye non vacíu. Pa tou conxuntu A, esiste una función d'eleición sobre la coleición de les sos subconxuntos non vacíos. Pa toa familia de conxuntos non vacíos dixuntos dos a dos, F, esiste un conxuntu D que contién esautamente un elementu de cada conxuntu de F: |D ∩ A | = 1, pa cada A ∈ F.

Otra manera, la negación del axoma d'eleición afirma qu'esiste una familia de conxuntos —non vacíos— que nun tener nenguna función d'eleición.

Usu

Hasta finales del sieglu XIX, l'axoma d'eleición usábase cuasi siempres implícitamente. Por casu, dempués de demostrar que'l conxuntu X contenía namái conxuntos non vacíos, un matemáticu diría "sía F(S) un elementu de S pa tou S en X". Ye polo xeneral imposible demostrar que F esiste ensin l'axoma d'eleición, pero esto nun foi notáu antes de Zermelo.

Non siempres se riquir l'axoma d'eleición. Si X ye finito, el "axoma" necesariu deducir de los otros axomes de la teoría de conxuntos. En tal casu ye equivalente a dicir que si se tien un númberu finito de caxes, caúna con siquier un oxetu, puede escoyese esautamente un oxetu de cada caxa. Esto rescampla: empezar na primer caxa, escuéyese un oxetu; dir a la segunda, escuéyese un oxetu; y asina socesivamente. Como namái hai finitas caxes, esti procedimientu d'eleición va concluyise finalmente. La resultancia ye una función d'eleición esplícita: una qu'a la primer caxa asígnalu'l primer oxetu escoyíu, a la segunda'l segundu, etcétera. Una prueba formal pa tou conxuntu finito riquiría'l principiu d'inducción matemática.

La dificultá apaez cuando nun hai una eleición natural d'elementos de cada conxuntu. Si non pueden faese eleiciones esplícites, ¿cómo saber qu'esiste'l conxuntu deseyáu? Por casu, supóngase que X ye'l conxuntu de tolos subconxuntos non vacíos de los reales. Primero podría intentase proceder como si X fuera finito; pero si inténtase escoyer un elementu de cada conxuntu, como X ye infinitu, el procedimientu d'eleición nun va terminar nunca y nunca podrá producise una función d'eleición pa X. Depués puede intentase el trucu de tomar l'elementu mínimu de cada conxuntu; pero dalgunos subconxuntos de los reales, como'l intervalu abiertu (0,1), nun tienen mínimu, asina que esta táctica nun funcionar tampoco.

La razón pola que podíen escoyese elementos mínimos de los subconxuntos de los naturales ye qu'éstos vienen yá bien ordenaos: tou subconxuntu de los naturales tien un únicu elementu mínimu respectu al orde natural. Seique a esti puntu unu siéntase tentáu a pensar: "anque l'orde avezáu de los númberos reales nun funcionar, ten de ser posible atopar un orde distintu que sía, esti sí, un bon orde; entós la función d'eleición puede ser tomar l'elementu mínimu de cada conxuntu respectu al nuevu orde". El problema entós se "amenorga" al d'atopar un bon orde nos reales, lo que rique del axoma d'eleición pa la so realización: tou conxuntu puede ser bienordenado si y namái si val l'axoma d'eleición.

Una demostración que faiga usu de AE nunca ye constructiva: entá si dicha demostración produz un oxetu, va ser imposible determinar esautamente qué oxetu ye. Arriendes d'ello, anque l'axoma d'eleición implica qu'hai un bon orde nos reales, nun da un exemplu. Sicasí, la razón pola que se queríen bien ordenar los reales yera que pa cada conxuntu de X pudiera escoyese explícitamente un elementu; pero si nun puede determinase el bon orde usáu, tal eleición tampoco ye esplícita. Esta ye una de les razones poles qu'a dellos matemáticos ofiéndelos l'axoma d'eleición; los constructivistas, por casu, afirmen que toles pruebes d'esistencia tendríen de ser dafechu esplícites, pos si esiste daqué, ten de ser posible topalo; refuguen asina l'axoma d'eleición, pos afirma la esistencia d'un oxetu ensin dicir qué ye. Per otru llau, el solu fechu de que s'usara AE pa demostrar la esistencia d'un conxuntu nun significa que nun pueda ser construyíu por otros métodos.

Independencia

Del trabayu de Kurt Gödel y Paul Cohen deduzse que l'axoma d'eleición ye lóxicamente independiente de los otros axomes de la teoría axomática de conxuntos. Esto significa que nin AE nin la so negación pueden demostrase ciertos dientro de los axomes de Zermelo-Fraenkel (ZF), si esa teoría ye consistente. Arriendes d'ello, asumir AE o la so negación nunca va llevar a una contradicción que nun se pudiera llograr ensin tal supuestu.

La decisión, entós, de si ye o non apropiáu faer usu d'él nuna demostración nun puede tomase basándose namái n'otros axomes de la teoría de conxuntos; hai que buscar otres razones. Un argumentu dau a favor d'usar l'axoma d'eleición ye a cencielles que ye conveniente: usalo nun puede faer dañu (resultar en contradicciones) y fai posible demostrar delles proposiciones qu'otra manera non se podríen probar.

L'axoma d'eleición nun ye la única afirmación significativa ya independiente de ZF; la hipótesis del continuu xeneralizada (HCG), por casu, non yá ye independiente de ZF, amás ser de ZF col axoma d'eleición (ZFE, o ZFC n'inglés). Sicasí, ZF más HCG necesariamente implica AE, colo cual HCG ye puramente más fuerte que AE, anque dambos sían independientes de ZF.

Una razón pola qu'a los matemáticos nun los presta l'axoma ye que tien por consecuencia la esistencia de dellos oxetos contraintuitivos. Un exemplu d'ello ye la paradoxa de Banach-Tarski, que diz básicamente que ye posible cortar una bola tridimensional en finitas partes, y usando namái rotación y tresllación, reensamblarlas en dos boles del mesmu volume que la orixinal. La prueba, como toles pruebes qu'arreyen l'axoma d'eleición, ye namái d'esistencia: nun diz cómo se debe cortar la esfera, namái diz que puede faese.

Per otru llau, la negación de AE ye tamién estraña. Por casu, l'afirmación de que daos dos conxuntos cualesquier S y T, la cardinalidad de S ye menor, igual, o mayor que la de T ye equivalente al axoma d'eleición; n'otres pallabres, si asume la negación d'ésti, hai dos conxuntos S y T de tamañu incomparable: nengún puédese inyectar nel otru.

Una tercer posibilidá ye probar teoremas ensin usar nin l'axoma nin la so negación, la táctica preferida en matemátiques constructives. Tales afirmaciones van ser ciertes en cualesquier modelu de ZF, independientemente de la certidume o falsedá del axoma d'eleición en dichu modelu. Esto fai que cualquier proposición que rica AE o la so negación seya indecidible: la paradoxa de Banach-Tarski, por casu, nun puede demostrase como cierta (pos nun puede descomponese la esfera de la manera indicada) nin como falsa (pos nun puede demostrase que tal descomposición nun esista); ésta, sicasí, puede reformulase como una afirmación sobre los modelos de ZF: "en tou modelu de ZF nel que valga AE, vale tamién la paradoxa de Banach-Tarski". Coles mesmes, toles afirmaciones llistaes embaxo que riquen eleición o dalguna versión más débil son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE, hai modelos de ZF nos que son ciertes.

Axomes más fuertes

El axoma de constructibilidad, igual que la hipótesis del continuu xeneralizada, implica l'axoma d'eleición, pero ye puramente más fuerte.

En teoríes de clases, tales como la teoría de conxuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel o la de Morse-Kelley, hai un posible axoma llamáu axoma d'eleición global, que ye más fuerte que l'axoma d'eleición pa conxuntos pos aplica tamién a clases propies.

Equivalentes

Esiste un gran númberu de proposiciones importantes que, asumiendo los axomes de ZF (ensin AE nin la so negación), son equivalentes al axoma d'eleición, nel sentíu de que de cualesquier d'elles puede demostrase dichu axoma y viceversa. Ente los más importantes tán el principiu de bona ordenación de Zermelo y el lema de Zorn.

Les siguientes proposiciones son equivalentes al axoma d'eleición: Teoría de conxuntos Principiu de bona ordenación de Zermelo: tou conxuntu puede ser bien ordenáu. Si un conxuntu A ye infinitu, entós A tien la mesma cardinalidad que A × A. Tricotomía: daos dos conxuntos, éstos tienen la mesma cardinalidad, o bien unu tien una cardinalidad menor que l'otru. Toa función sobreyectiva tien una inversa por derecha. Teorema de König: la suma d'una familia de cardinales ye puramente menor que'l productu d'una familia de cardinales mayores. Teoría del orde Lema de Zorn: Si nun conxuntu parcialmente ordenáu non vacíu tou subconxuntu totalmente ordenáu —toa cadena— ten cota cimera, entós esiste siquier un elementu maximal. Principiu maximal de Hausdorff: Tou conxuntu parcialmente ordenáu contién una cadena maximal. Álxebra Tou espaciu vectorial tien una base. Tou aniellu unitariu distintu del trivial contién un ideal maximal. Topoloxía Teorema de Tychonoff: tou productu d'espacios compautos ye compactu. Na topoloxía productu, la clausura d'un productu de subconxuntos ye igual al productu de les sos respeutives clausures.[ensin referencies] Tou productu d'espacios uniformes completos ye coles mesmes completu.[ensin referencies]

Formes más débiles

Hai delles proposiciones más débiles que, anque non equivalentes al axoma d'eleición, tán fuertemente rellacionaes como, por casu:

• El axoma d'eleición numerable, que diz que toa coleición numerable de conxuntos non vacíos tien función d'eleición. Esto de normal basta pa probar afirmaciones sobre los reales, por casu, pos los númberos racionales, que son numerables, formen un subconxuntu trupu de los reales.
• El axoma d'eleición dependiente.

Resultaos que riquen AE pero son más débiles

Unu de los aspeutos más interesantes del axoma d'eleición ye'l gran númberu de llugares na matemática nos qu'apaez. He equí delles afirmaciones que riquen l'axoma d'eleición nel sentíu de que nun son demostrables en ZF pero sí en ZFE. De forma equivalente, éstes son ciertes en tolos modelos de ZFE y falses en dellos modelos de ZF.

• Teoría de conxuntos
  • Toa unión de numerables conxuntos numerables ye coles mesmes numerable.
  • Si'l conxuntu A ye infinitu, esiste una función inyectiva del conxuntu de los naturales N a A.
• Teoría de la midida
  • Esisten subconxuntos de los reales que nun tienen midida de Lebesgue (el conxuntu de Vitali).
  • La paradoxa de Hausdorff.
  • La paradoxa de Banach-Tarski.
• Álxebra
  • Tou cuerpu tien clausura alxebraica.
  • Tou subgrupu d'un grupu llibre ye tamién llibre (teorema de Nielsen-Schreier).
  • Los grupos aditivos R y C son isomorfos.
• Teoría del orde:
  • Tou conxuntu pue ser linealmente ordenáu.
• Álxebra de Boole
  • Tou filtru nun álxebra de Boole pue ser estendíu a un ultrafiltro.
• Analís funcional
  • El teorema de Hahn-Banach n'analís funcional, que dexa la estensión de funcionales lliniales.
  • Tou espaciu de Hilbert tien una base ortonormal.
  • El teorema de la categoría de Baire sobre espacios métricos completos, y les sos consecuencies.
  • En tou espaciu vectorial topolóxicu de dimensión infinita hai una función llinial discontinua.
• Topoloxía
  • Un espaciu uniforme ye compactu si y namái si ye completu y totalmente acutáu.
  • Tou espaciu de Tychonoff tien una compactificación de Stone-Čech.

Formes más fuertes de AE

Agora, van considerase formes más fuertes de la negación de AE. Por casu, l'afirmación de que tou conxuntu de númberos reales tien la propiedá de Baire ye más fuerte que ¬AE, que niega la esistencia d'una función d'eleición en seique una sola coleición de conxuntos non vacíos.

Resultaos que riquen AE

Hai modelos de la teoría de Zermelo-Fraenkel nos que l'axoma d'eleición ye falsu; d'equí p'arriba va embrivise "teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axoma d'eleición" por ZF¬Y. En dellos modelos de ZF¬Y ye posible probar la negación de delles propiedaes comunes. Y yá que un modelu de ZF¬Y ye tamién modelu de ZF, caúna de les siguientes afirmaciones ye válida en dalgún modelu de ZF (suponiendo, como siempres, que ZF ye consistente):

• Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai una función f de los reales nos reales que nun ye continua en a, pero pa toa secuencia {x_n} que converxa a a, f(x_n) converxe a f(a).
• Esiste un modelu de ZF¬Y en el que'l conxuntu de los reales ye una unión numerable de conxuntos numerables.
• Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai un cuerpu ensin clausura alxebraica.
• En tolos modelos de ZF¬Y hai un espaciu vectorial ensin base.
• Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai un espaciu vectorial con dos bases de cardinalidad distintu.
• Esiste un modelu de ZF¬Y en el que tou subconxuntu de Rⁿ ye medible. Con esto ye posible esaniciar resultaos contraintuitivos como la paradoxa de Banach-Tarski, que son demostrables en ZFE.
• En nengún modelu de ZF¬Y vale la hipótesis del continuu xeneralizada.

Bibliografía

• Felgner, Ulrich (1971). Models of ZF-Set Theory (n'inglés). Heidelberg: Springer.

• Gödel, Kurt (1938). «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis» (n'inglés). Proceedings of the National Academy of Sciences, U.S.A. 24:  páxs. 556−557. 

• Herrlich, Horst (2006). Axiom of choice (n'inglés). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5.

• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory, 3a. (n'inglés), New York: Marcel Dekker.

• Jech, Thomas (1973). The Axiom of Choice (n'inglés). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-7204-2275-2.

• Jech, Thomas (2006). Set theory, 3a. (n'inglés), Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2.

• Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (n'inglés). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

• Levy, Azriel (2002). Basic set theory (n'inglés). Mineola, New York: Dover.

• Rubin, H.; Rubin, J.Y. (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II (n'inglés). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-87708-8.

• Van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (n'inglés). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 978−0674324503.

• Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). Reimpreso con traducción al inglés en Zermelo 2010, pp. 114-119, y traducción al inglés en van Heijernoort 1967, pp. 139-141.

• Zermelo, Ernst (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I» (n'alemán). Mathematische Annalen 65 (2):  páxs. 261−281.  Reimpreso con traducción al inglés en Zermelo 2010, pp. 188-229, y traducción al inglés en van Heijernoort 1967, pp. 199-215.

• Zermelo, Ernst (2010). Collected Works — Gesammelte Werke, Heinz-Dieter Ebbinghaus (ed.) I (n'alemán ya inglés), Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-79383-0.

• Datos: Q179692
• Multimedia: Axiom of choice