Eyler üsulu

Ardıcıl yaxınlaşma üsulunda hər bir yaxınlaşmada müəyyən inteqrallar hesablanır. Əksər hallarda müəyyən inteqralları dəqiq üsullarla hesablamaq mümkün olmur və təqribi üsullardan istifadə olunur. Tutaq ki,

$y^{\prime }(x)=f(x,y)$

diferensial tənliyinin $y(x_{0})=y_{0}$ başlanğıc şərtini ödəyən həllini $[a,b]$ parçasında tapmaq tələb olunur $[a,b]$ parçasını $h$ addımı ilə $n$ bərabər hissəyə bölək:

$h={\frac {b-a}{n}},x_{i}=x_{0}+ih,(i=0,1,2,\ldots )$

$[x_{k},x_{k+1}]$ parçasında tənliyini inteqrallayaq.

$\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}y^{\prime }(x)\,dx=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx$ $y(x)|_{x_{k}}^{x_{k+1}}=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx\Rightarrow y(x_{k+1})=y(x_{k})+\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx$ (1)

$[x_{k},x_{k+1}]$ parçasında $f(x,y)$ funksiyasının qiymətini sabit, $(x_{k},y_{k})$ nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürsək (1) aşağıdakı kimi yazılar:

$y(x_{k+1})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})(x_{k+1}-x_{k})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})h$(2)

(2) $(x_{k},y_{k})$ nöqtəsində tənliyin $y(x)$ həllinə çəkilmiş toxunanın tənliyidir. Sanki $[x_{k},x_{k+1}]$ parçasında tənliyin həlli abisisi $x_{k}$ olan nöqtədə çəkilmiş toxunana paralel və $(x_{k},y_{k})$ nöqtəsindən keçən düz xətt parçası ilə əvəz olunur. Nəticədə həllə yaxın sınıq xətləri alırıq ki, bu sınıq xəttə Eyler sınıq xətti deyilir. $x_{k+1}-x_{k}=h$ olduğunu nəzərə alsaq və sadə işarələmələrdən istifadə etsək, hesabat düsturlarını aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

$y_{k+1}=y_{k}+f(x_{k},y_{k})h$