Залішнія лікі

Залішні лік — станоўчы цэлы лік n, сума станоўчых уласных дзельнікаў (выдатных ад n) якога перавышае n.

Любы натуральны лік адносіцца да аднаго з трох класаў:

• залішнія лікі,
• дасканалыя лікі,
• недастатковыя лікі.

Залішнія лікі (паслядоўнасць A005101 у OEIS):

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Лік 48, напрыклад, з’яўляецца залішнім, паколькі 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Найменшым залішнім лікам з’яўляецца 12. Найменшым няцотным залішнім лікам з’яўляецца 945.

Існуе бясконца шмат як цотных, так і няцотных залішніх лікаў. Больш таго, амаль кожны чацвёрты натуральны лік з’яўляецца залішнім. Больш дакладна, адвольна узяты натуральны лік з’яўляецца залішнім з верагоднасцю (гл. асімптатычная шчыльнасць), якая ляжыць паміж 0,2474 і 0,2480.

Індэксам залішнасці называецца велічыня $I(N)=\sigma (N)/N$, дзе $\sigma (N)$ — сума дзельнікаў ліку (для дасканалых лікаў $I(N)=2$ .

Існуюць лікі з калі заўгодна вялікім індэксам залішнасці. Паслядоўнасць $\{a_{k}\}$ мінімальных лікаў $N$, такіх што $I(N)>k$ — паслядоўнасць A134716 у OEIS.

Савецкі матэматык Леў Шнірэльман даказаў, што любы натуральны лік, большы 28 123, можа быць прадстаўлена ў выглядзе сумы двух залішніх лікаў.