Лінейнае ўраўненне

Лінейнае ўраўненне — гэта алгебраічнае ўраўненне першай ступені па сукупнасці невядомых, г. зн. ураўненне выгляду:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b,$

дзе

a₁, a₂, ..., a_n, b — вызначаныя лікі,

x₁, x₂, ..., x_n — невядомыя велічыні.

Пры гэтым лікі a₁, a₂, ..., a_n называюцца каэфіцыентамі ўраўнення, а b — свабодным членам.

У выпадку, калі свабодны член b = 0, лінейнае ўраўненне называецца аднародным.

Лінейнае ўраўненне можна прадставіць:

• у агульнай форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0;$
• у кананічнай форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b.$

Лінейнае ўраўненне адной зменнай

Лінейнае ўраўненне ад адной зменнай можна прывесці да выгляду:

$ax+b=0.$

Колькасць рашэнняў залежыць ад параметраў a і b.

• Калі $~a=b=0,$ то ўраўненне мае бясконцае мноства рашэнняў, бо $\forall x\in \mathbb {R} :x\cdot 0=0.$
• Калі $a=0,b\neq 0,$ то ўраўненне не мае рашэнняў, бо не існуе такіх лікаў x, для якіх $0\cdot x=-b\neq 0.$
• Калі $a\neq 0,$ то ўраўненне мае адзінае рашэнне $x=-{\frac {b}{a}}.$

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных

Геаметрычнае месца кропак лінейнага ўраўнення ад дзвюх зменных выгляду:
y = ax + b.

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных можна прадставіць

• у агульнай форме: $ax+by+c=0;$
• у кананічнай форме: $ax+by=-c;$
• у выглядзе лінейнай функцыі: $y=kx+m,$ дзе $k=-{\frac {a}{b}};\ m=-{\frac {c}{b}}.$

Рашэннем або коранем такога ўраўнення называюць такую пару значэнняў зменных $(x;y),$ якая пры падстаноўцы ператварае яго ў тоеснасць. Такіх рашэнняў (каранёў) лінейнае ўраўненне з двума зменнымі мае бясконцае мноства. Геаметрычнай мадэллю (графікам) такога ўраўнення з'яўляецца прамая

$y=kx+m.$

Гл. таксама

• Лінейная функцыя
• Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў

Літаратура

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3 (Координаты — Одночлен).

Спасылкі

• Решение линейных уравнений Архівавана 5 чэрвеня 2018. на сайце «Рекомендации учащимся»