থেলসের উপপাদ্য

জ্যামিতিতে, থেলসের উপপাদ্য অনুসারে, যদি A, B এবং C বৃত্তের পরিধিস্ত তিনটি বিন্দু এবং AC ব্যাস হয়, তবে কোণ ABC সমকোণ। অন্যভাবে, অর্ধ বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ সমকোণ। থেলসের উপপাদ্য হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণের উপপাদ্যের বিশেষ অনুসিদ্ধান্ত এবং ইউক্লিডের তৃতীয় বইয়ে এটির প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। গ্রীক পণ্ডিত থেলস এটির জনক এবং কখনো কখনো পিথাগোরাসকে এর জনক বলা হয়।

থেলসের উপপাদ্য: যদি AC একটি ব্যাস এবং B বৃত্তের পরিধিস্থ বিন্দু, কোণ ABC তাহলে একটি সমকোণ।

প্রমাণ

প্রথম প্রমাণ

এই তথ্যগুলো প্রমাণে ব্যবহার করা হয়: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোনদ্বয় পরস্পর সমান।

• 
  দেওয়া আছে, AC একটি ব্যাস, কোণ B হলো ধ্রুব সমকোণ (90°).
• 
  প্রমাণটির জন্য চিত্র

যেহেতু OA = OB = OC, ∆OBA এবং ∆OBC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় যেহেতু পরস্পর সমান, ∠OBC = ∠OCB এবং ∠OBA = ∠OAB.

ধরি α = ∠BAO এবং β = ∠OBC। ∆ABC ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণগুলো হলো α, (α + β), এবং β । ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°, সুতরাং

$\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }$

$2\alpha +2\beta =180^{\circ }$

$2(\alpha +\beta )=180^{\circ }$

$\therefore \alpha +\beta =90^{\circ }.$

প্রমাণিত

দ্বিতীয় প্রমাণ

এই উপপাদ্যটি ত্রিকোণমিতি ও সরলরেখা সংক্রান্ত সূত্রাবলীর সাহায্যেও প্রমাণ করা যায়: মনেকরি, $O=(0,0)$, $A=(-1,0)$, এবং $C=(1,0)$। তাহলে B একক বৃত্তে একটি বিন্দু $(\cos \theta ,\sin \theta )$. আমাদেরকে দেখতে হবে যে, ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ। এর জন্য আমরা দেখাব যে AB এবং BC পরস্পর লম্ব — অর্থাৎ, রেখা দুইটির ঢালের গুণফল −1. AB এবং BC রেখার ঢাল মেপে পাই:

$m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}$

এবং

$m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}$

রেখা দুইটির ঢাল গুণ করি।

${\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end{aligned}}$

বিপরীত উপপাদ্য

যেকোন ত্রিভুজ বিশেষত সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে কেবল মাত্র একটি বৃত্ত রয়েছে যা ঐ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়। এই বৃত্তটিকে ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত বলে।

থেলসের উপপাদ্যটি অন্য ভাষায় বলা যায়: যদি কোন ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্রটি ঐ ত্রিভুজের কোন বাহুর উপরস্থ হয়, তবে সেটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং কেন্দ্রটি হলো অতিভূজের মধ্যবিন্দু।

তাহলে, থেলসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য: সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিবৃত্তের কেন্দ্রটি হলো অতিভুজের কেন্দ্র। অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজটি পরিবৃত্তের ব্যাস।

সরলীকরণ এবং সম্পর্কিত ফলাফল

থেলসের উপপাদ্যটি নিম্নের উপপাদ্যের বিশেষ অনুসিদ্ধান্ত:

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে A, B এবং C তিনটি বিন্দু হলে, কোণ ∠AOC কোণ ∠ABC এর দ্বিগুণ।

এছাড়াও নিম্নোক্ত ফলাফলে উপনীত হওয়া যায়:

• ∠ABC এ B বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে হলে ∠ABC সূক্ষকোণ।

• ∠ABC এ B বিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে হলে ∠ABC সূক্ষকোণ।

গ্রন্থপঞ্জি

• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (২০০৮)। Elementary Geometry। AMS। পৃষ্ঠা 50। আইএসবিএন 978-0-8218-4347-5। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) (গুগল বইয়ে restricted online copy, পৃ. 50,)
• Heath, T.L. (১৯২১)। A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid। I। Oxford। পৃষ্ঠা 131ff। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

বহিঃসংযোগ

• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Thales' Theorem"।
• Munching on Inscribed Angles
• Thales's theorem explained, with interactive animation
• Demos of Thales's theorem by Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project.