প্র্যান্ডল সংখ্যা

লুডভিগ প্রান্ডটলের

প্র্যান্ডল সংখ্যা (Pr) বা প্র্যান্ডল গ্রুপ একটি মাত্রাবিহীন সংখ্যা, জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী লুডভিগ প্রান্ডটলের নামানুসারে, গতিবেগের ও তাপীয় বিচ্ছুরণের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত। তা হল:

$\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}}}={\frac {\mu /\rho }{k/(c_{p}\rho )}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}$

যেখানে:

• $\nu$ : গতিবেগীয় বিচ্ছুরণ ( কাইনেমেটিক সান্দ্রতা ), $\nu =\mu /\rho$, ( এসআই ইউনিট: m²/s)
• $\alpha$ : তাপীয় বিচ্ছুরণ, $\alpha =k/(\rho c_{p})$, (এসআই ইউনিট: m²/s)
• $\mu$ : গতিশীল সান্দ্রতা, (এসআই ইউনিট: Pa s = N s/m²)
• $k$ : তাপ পরিবাহিতা, (এসআই ইউনিট: W/(m·K))
• $c_{p}$ : আপেক্ষিক তাপ, (এসআই ইউনিট: J/(kg·K))
• $\rho$ : ঘনত্ব, (এসআই ইউনিট: kg/m³)

রেনল্ড সংখ্যা এবং গ্র্যাশফ সংখ্যা স্কেল ভেরিয়েবলের সাথে সাবস্ক্রিপশন করা হয়েছে, প্র্যান্ডল সংখ্যার সংজ্ঞাতে এ জাতীয় দৈর্ঘ্যের কোনো স্কেল নেই এবং এটি কেবল তরল এবং তরল অবস্থার উপর নির্ভরশীল। প্র্যান্ডল নম্বরটি প্রায়শই অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের পাশাপাশি সান্দ্রতা এবং তাপ পরিবাহিতা হিসাবে প্রোপার্টি টেবিলে পাওয়া যায়।

প্র্যান্ডটল সংখ্যার ভর স্থানান্তর অ্যানালগ হল শ্মিট নম্বর এবং প্র্যান্ডল ও শ্মিট নম্বরের অনুপাত হল লুইস সংখ্যা।

প্র্যান্ডটল নম্বরটি লুডভিগ প্র্যান্ডলের নামে রাখা হয়েছে।

পরীক্ষামূলক মান

সাধারণ মান

বেশিরভাগ গ্যাসের জন্য বিভিন্ন তাপমাত্রা এবং চাপে, প্র্যান্ডল সংখ্যা (Pr) প্রায় ধ্রুবক। অতএব, এটি উচ্চ তাপমাত্রায় গ্যাসের তাপীয় পরিবাহিতা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে পরিচলন স্রোত গঠনের কারণে পরীক্ষামূলকভাবে পরিমাপ করা কঠিন।

Pr এর সাধারণ মানগুলি:

• ৯৭৫ কেলভিনে গলিত পটাশিয়ামের জন্য ০.০০৩
• পারদের জন্য ০.০১৫ এর কাছাকাছি
• ৯৭৫ কেলভিনে গলিত লিথিয়ামের জন্য ০.০৬৫
• নিষ্ক্রিয় গ্যাস বা হাইড্রোজেন সহ নিষ্ক্রিয় গ্যাসের মিশ্রণের জন্য ০.১৬-০.৭ এর কাছাকাছি
• অক্সিজেনের জন্য ০.৬৩
• বায়ু এবং অন্যান্য গ্যাসের জন্য প্রায় ০.৭১
• বায়বীয় অ্য়ামোনিয়ার জন্য ১.৩৮
• আর-১২ রেফ্রিজারেন্টের জন্য ৪ এবং ৫ এর মধ্যে
• পানির জন্য প্রায় ৭.৫৬ (১৮ ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে )
• সমুদ্রের পানির জন্য ১৩.৪ এবং ৭.২ (যথাক্রমে ০ ° সে এবং ২০° সেঃ এ )
• এন- বিউটানলের জন্য ৫০
• ইঞ্জিন তেলের জন্য ১০০ এবং ৪০,০০০ এর মধ্যে
• গ্লিসারলের জন্য ১০০০
• পলিমার গলনের জন্য ১০,০০০
• প্রায় ১ ×১০^২৫ পৃথিবীর ম্যান্টলের জন্য।

বায়ু এবং পানির প্র্যান্ডল সংখ্যার গণনার সূত্র

১ বার চাপযুক্ত বায়ুর জন্য, নীচে প্রদত্ত সূত্রটি ব্যবহার করে -১০০ ° সে. এবং + ৫০০° সে. এর মধ্যে তাপমাত্রার পরিসরে প্র্যান্ডল সংখ্যা গণনা করা যেতে পারে। তাপমাত্রা ইউনিট ডিগ্রি সেলসিয়াসে ব্যবহার করতে হয়। বিচ্যুতি লিটারেচার ভ্যালু থেকে সর্বোচ্চ ০.১%।

$Pr_{\text{air}}={\frac {10^{9}}{1.1\cdot \vartheta ^{3}-1200\cdot \vartheta ^{2}+322000\cdot \vartheta +1.393\cdot 10^{9}}}$

১ বার চাপযুক্ত পানির জন্য, নীচে প্রদত্ত সূত্রটি ব্যবহার করে ০° সে. ও ৯০° সে. এর মধ্যে তাপমাত্রার পরিসীমাতে প্র্যান্ডল সংখ্যা নির্ধারণ করা যেতে পারে। তাপমাত্রা ইউনিট ডিগ্রি সেলসিয়াসে ব্যবহার করতে হয়। বিচ্যুতি লিটারেচার ভ্যালু থেকে সর্বোচ্চ ০.১%।

$Pr_{\text{water}}={\frac {50000}{\vartheta ^{2}+155\cdot \vartheta +3700}}$

ভৌত ব্যাখ্যা

প্র্যান্ডল সংখ্যার ছোট মানের ক্ষেত্রে, Pr << ১, এর অর্থ হল তাপীয় বিচ্ছুরণ প্রাধান্য পায়। বৃহত্তর মানের ক্ষেত্রে, Pr >> ১, গতিবেগীয় বিচ্ছুরণ প্রাধান্য পায়। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, তরল পারদের জন্য তালিকাভুক্ত মান নির্দেশ করে যে তাপ পরিবহন পরিচলনের তুলনায় আরো গুরুত্বপূর্ণ , তাই তাপীয় বিচ্ছুরণ প্রাধান্য পায়। যাইহোক, ইঞ্জিন তেলের জন্য, কোনো অঞ্চল থেকে শক্তি স্থানান্তরিত করতে খাঁটি পরিবহনের তুলনায় উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, তরল পারদের জন্য তালিকাভুক্ত মান নির্দেশ করে যে তাপ পরিবহন পরিচলনের তুলনায় আরো গুরুত্বপূর্ণ , তাই তাপের বিচ্ছুরণ প্রাধান্য পায়।পরিচলন খুব কার্যকর, তাই গতিবেগীয় বিচ্ছুরণ প্রাধান্য পায়।

গ্যাসের প্র্যান্ডল সংখ্যা প্রায় ১, যা ইঙ্গিত দেয় যে গতিবেগ এবং তাপ উভয়ই প্রায় একই হারে তরলের মধ্য দিয়ে বিচ্ছুরিত হয়। গতিবেগের তুলনায় তাপতরল ধাতবে (Pr << ১) খুব দ্রুত এবং তেলে (PR >> ১) খুব ধীরে ছড়িয়ে যায়। ফলস্বরূপ ্থার্মাল বাউন্ডারি লেয়ার (তাপীয় সীমানা স্তর) ভেলোসিটি বাউন্ডারি লেয়ারের (বেগের সীমানা স্তর) তুলনায় তরল ধাতুর জন্য অনেক ঘন এবং তেলের জন্য অনেক চিকন।

কক্ষ তাপমাত্রায় বায়ুর প্র্যান্ডল সংখ্যা ০.৭১ এবং ১৮° সে. এ পানির জন্য ৭.৫৬, যা বুঝায় যে পানির চেয়ে বায়ুতে তাপের বিচ্ছুরণ বেশি প্রাধান্য বিস্তার করে। একক প্র্যান্ডল সংখ্যার জন্য গতিবেগীয় ও তাপীয় বিচ্ছুরণ সমান এবং তাপ স্থানান্তরকরণের (হিট ট্রান্সফার) প্রক্রিয়া এবং হার (রেট) গতিবেগ স্থানান্তরের মতো।

তাপ স্থানান্তর সমস্যাগুলিতে, প্র্যান্ডটেল সংখ্যা গতিবেগের ও তাপীয় সীমানা স্তরের আপেক্ষিক বেধকে নিয়ন্ত্রণ করে। যখন Pr ছোট হয়, এর অর্থ হ'ল বেগ (গতিবেগ) এর তুলনায় তাপ দ্রুত ছড়িয়ে যায়। এর অর্থ হ'ল তরল ধাতুর জন্য তাপ সীমানা স্তরটি বেগের সীমানা স্তরটির চেয়ে অনেক বেশি ঘন হয়।

সমতল প্লেটের উপরে তাপ ও গতিবেগের সীমানা স্তরের অনুপাতঃ

${\frac {\delta _{t}}{\delta }}=\mathrm {Pr} ^{-1/3},\quad 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 50,$

যেখানে $\delta _{t}$ হল তাপ সীমানা স্তর বেধ (বাউন্ডারি লেয়ার থিকনেস) এবং $\delta$ হল গতিবেগ সীমানা স্তর বেধ

সমতল প্লেটের উপর ইনকম্প্রেসিবল প্রবাহের জন্য, দুটি নাসেল্ট সংখ্যার পারস্পরিক সম্পর্ক এ্যাসিম্পোটিক্যালিসঠিকঃ

$\mathrm {Nu} _{x}=0.339\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/3},\quad \mathrm {Pr} \to \infty ,$

$\mathrm {Nu} _{x}=0.565\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/2},\quad \mathrm {Pr} \to 0,$

যেখানে $\mathrm {Re}$ হল রেনল্ডস নম্বর । এই দুটি এ্যাসিম্পোটিক সমাধানকে নর্ম (গণিত) [Norm (mathematics)] এর ধারণা ব্যবহার করে একত্রে মিশ্রিত করা যেতে পারে:

$\mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/3}}{\left[1+\left(0.0468/\mathrm {Pr} \right)^{2/3}\right]^{1/4}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.$

তথ্যসূত্র

 

টীকা

• White, F. M. (২০০৬)। Viscous Fluid Flow (3rd. সংস্করণ)। McGraw-Hill। আইএসবিএন 0-07-240231-8।