Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici . Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje .
b
+
b
+
⋯
+
b
⏟
a
=
∑
i
=
1
a
b
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {b+b+\cdots +b} \\{a}\\[-4ex]\end{matrix}}=\sum _{i=1}^{a}b=a\cdot b}
a
{\displaystyle a}
i
b
{\displaystyle b}
se nazivaju faktori . Rezultat, „a puta b“, se naziva proizvod .
Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :
3
⋅
5
⋅
7
⋅
9
⋅
11
=
∏
i
=
1
5
(
2
i
+
1
)
=
10
395
{\displaystyle 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^{5}(2i+1)=10\ 395}
ili
3
1
⋅
4
2
⋅
5
3
⋅
…
⋅
n
+
2
n
=
∏
i
=
1
n
i
+
2
i
=
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
{\displaystyle {\frac {3}{1}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot \;\dots \;\cdot {\frac {n+2}{n}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+2}{i}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel
1
⋅
2
⋅
3
⋅
⋯
⋅
n
=
∏
i
=
1
n
i
=
n
!
{\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=n!}
Primjeri
∏
i
=
1
4
i
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
=
24
{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}
∏
i
=
1
6
i
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
=
720
{\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}
Odnosno imamo da je
∏
i
=
m
n
x
i
=
x
m
⋅
x
m
+
1
⋅
x
m
+
2
⋅
⋯
⋅
x
n
−
1
⋅
x
n
{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}
Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem
2
⋅
2
⋅
2
⋅
2
⋅
2
⋅
2
=
2
6
=
64
{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{6}=64}
malo
Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.
Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5x , xy ).
Suprotna operacija je dijeljenje .
U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.
∀
a
∃
1
b
:
a
⋅
b
=
1
{\displaystyle \forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1}
Inverzan broj broja
a
{\displaystyle a}
je
1
a
{\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}
. Inverzan broj inverznog broja
a
{\displaystyle a}
je broj
a
{\displaystyle a}
1
1
a
=
a
{\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a}
Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.
(
−
1
)
∗
a
=
a
∗
(
−
1
)
=
−
a
{\displaystyle (-1)*a=a*(-1)=-a}
(
−
1
)
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle (-1)(-1)=1}
Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora
a
=
p
1
q
1
∧
b
=
p
2
q
2
⇒
a
⋅
b
=
p
1
⋅
p
2
q
1
⋅
q
2
{\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}
Neka je
b
∈
R
∖
Q
{\displaystyle b\in R\smallsetminus Q}
iracionalan broj, tada je proizvod
a
b
{\displaystyle ab}
granična vrednost
a
⋅
b
=
lim
p
q
→
b
a
⋅
p
q
{\displaystyle a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}}
gdje je
p
q
{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}
racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja
b
{\displaystyle b}
.
kompleksan broj
Kompleksan broj
z
{\displaystyle z}
možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:
Zbog
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
je
(
a
1
,
b
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
,
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}
.
ρ
1
(
cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
⋅
ρ
2
(
cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
=
ρ
1
ρ
2
(
cos
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
+
i
sin
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
)
{\displaystyle \rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))}
k
∈
R
,
a
∈
R
3
⇒
k
a
=
(
k
a
x
,
k
a
y
,
k
a
z
)
{\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})}
(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)
a
,
b
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
⋅
:
R
3
×
R
3
→
R
{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
a
⋅
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}
(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)
×
:
R
3
×
R
3
→
R
3
{\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
a
,
b
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
a
×
b
=
|
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}
gdje su
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
,
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
i
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
jedinični vektori duž x, y i z ose
(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)
[
]
:
R
3
×
R
3
×
R
3
→
R
{\displaystyle []:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
a
,
b
,
c
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}
[
a
,
b
,
c
]
=
|
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
|
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}}
(Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao
[
a
,
b
,
c
]
{\displaystyle [a,b,c]}
)
Neka su date matrice A i B veličine mA ×nA i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je nA = mB , a dobijena matrica ima dimenzije mA ×nB . Elementi matrice-proizvoda su
(
A
B
)
i
,
j
=
∑
k
=
1
n
A
A
i
,
k
B
k
,
j
{\displaystyle (AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}}
Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator
[
A
,
B
]
=
A
×
B
−
B
×
A
{\displaystyle [A,B]=A\times B-B\times A}
Multiplication