Integral de Jacobi
En astrodinàmica, la integral de Jacobi (o la constant de Jacobi) és l'única quantitat invariant coneguda en el problema dels tres cossos restringit circular.[1] Rep el nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi. A diferència del problema dels dos cossos, l'energia i la quantitat de moviment del sistema no es conserven de manera separada i una solució analítica general not pot ser obtinguda . La integral de Jacobi s'ha utilitzat en la derivació de solucions en casos especials.
Definició
[modifica]Sistema sinòdic
[modifica]En un sistema sinòdic o corrotacional, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:
on:
- és el moviment mitjà (T és el període orbital).
- , , per les dues masses m1 i m₂, i la constant gravitacional G.
- són distàncies a la tercera massa des de les dues masses majors.
El primer terme fa referència a l'energia potencial centrífuga, el segon representa el potencial gravitatori i el tercer és l'energia cinètica. En el sistema de referència sinòdic, les forces que actuen sobre la partícula són les dues atraccions gravitatòries, la força centrífuga i la força de Coriolis. Donat que les tres primeres forces són derivades de potencials i la força de Coriolis és perpendicular a la trajectòria, totes les forces són conservatives. Per tant, l'energia mesurada en aquest sistema de referència (i, per tant, l'integral de Jacobi) és una constant de moviment.
Sistema sideral
[modifica]En un sistema inercial sideral (ξ, η, ζ), les masses orbiten el baricentre. En aquest sistema, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:
Derivació
[modifica]En un sistema corrotacional, les acceleracions poden expressar-se com les derivades d'una sola funció escalar
Emprant una representació lagrangiana de les equacions de moviment:
- (equació 1)
- (equació 2)
- (equació 3)
Multiplicant les equacions (1), (2) i (3) per i respectivament, i sumant-les, resulta
La integració d'aquesta expressió és
on CJ és la constant d'integració. El costat esquerre representa el quadrat de la velocitat v de la partícula menor en el sistema corrotacional.
Vegeu també
[modifica]Notes
[modifica]- ↑ Bibliothèque nationale de France. Jacobi, Carl G. J. «Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 3, 1836, pàg. 59–61.
Bibliografia
[modifica]- Carl D. Murray i Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglaterra: Cambridge University Press, 1999], pàgines 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)