coth(x) Hyperbolický kotangens je hyperbolická funkce . Značí se coth(x).
Hyperbolický kotangens je definován pomocí hyperbolického kosinu a hyperbolického sinu , přičemž
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Eulerovo číslo .
Tedy
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
=
1
+
e
−
2
x
1
−
e
−
2
x
{\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}
Hyperbolický kotangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
i
2
{\displaystyle i^{2}}
Inverzní funkcí k hyperbolickému kotangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického kotangens
Hyperbolický kotangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka:
coth
(
−
x
)
=
−
coth
(
x
)
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth(x)}
R
−
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}}
(
−
∞
;
−
1
)
∪
(
1
;
∞
)
{\displaystyle (-\infty ;-1)\cup (1;\infty )}
coth
2
x
=
1
+
csch
2
x
{\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}
coth
(
2
x
)
=
1
+
coth
2
(
x
)
2
coth
(
x
)
{\displaystyle \coth(2x)={\frac {1+\coth ^{2}(x)}{2\coth(x)}}}
coth
(
x
+
y
)
=
coth
(
x
)
.
coth
(
y
)
+
1
coth
(
y
)
+
coth
(
x
)
{\displaystyle \coth(x+y)={\frac {\coth(x).\coth(y)+1}{\coth(y)+\coth(x)}}}
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
/
sinh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
∫
coth
x
d
x
=
ln
(
sinh
x
)
;
x
>
0
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln(\sinh x);x>0}
∫
coth
x
d
x
=
ln
(
−
sinh
x
)
;
x
<
0
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln(-\sinh x);x<0}
