Z-transformace

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Funkce komplexní proměnné

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti $x(k)$ je definována

X(z)=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)z^{-k}

,

kde $z$ je komplexní proměnná. Množina hodnot $z$ , pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě $z_{0}$ , pak konverguje v každém bodě $z$ , pro který platí $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$ . Oblast konvergence Z-transformace je tedy $\left|z\right|>R$ , kde $R$ je dáno chováním posloupnosti $x(k)$ pro $k\to \infty$ .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:

x(k)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{k-1}\,\mathrm {d} z

kde $C$ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující všechny póly.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Ve spojitém světě se za příbuzného Z-transformace považuje Laplaceova transformace.

Statistika

Fisherova z-transformace

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar

Z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}

.

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Transformace na z-skóry

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar

y={\frac {x-\mu }{\sigma }}

,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.

Související články

Externí odkazy

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.