Ffwythiannau sin a cos o fewn cylch unedol.Mewn mathemateg, mae ffwythiannau trigonometrig yn ffwythiannau onglau . Defnyddir y ffwythiannau yma i gysylltu onglau triongl (triongl ongl sgwâr gan fwyaf) i hyd ymylon y triongl. Y ffwythiannau mwyaf poblogaidd yw sin, cosin a tangiad, sy'n byrhau i sin, cos a tan.
Mae gan y ffwythiannau yma nifer o ddefnyddiau yn y meysydd cyfeiriadu , peirianneg a ffiseg nid yn unig o fewn yr astudiaeth o drionglau, ond hefyd mewn modelu ffenomenâu cyfnodol.
Mae gan driongl dde un ongl 90° (π/2 radianau) labelwyd yma fel C. Gall onglau A a B amrywio mewn maint. I ddiddwytho ongl A, enwir yr ochrau fel y canlynol:
Yr hypotenws yw'r ochor gyferbyn ar ongl sgwâr, yn yr achos yma h . Yr hypotenws yw'r ochor sydd ar hyd fwyaf.
Yr ochor cyferbyn yw'r ochor gyferbyn i'r ongl yr ydym am ei ddarganfod. Yn yr achos yma a .
Yr ochor cyfagos yw'r ochor sydd rhwng yr ongl yr ydym am ei ddarganfod ar ongl sgwâr. Yn yr achos yma b .
Ffwythiant
Talfyriad
Disgrifiad
Unfathiannau (yn defnyddio radiannau )
Sin
sin
cyferbyn
hypotenws
{\displaystyle {\frac {\textrm {cyferbyn}}{\textrm {hypotenws}}}}
sin
θ
≡
cos
(
π
2
−
θ
)
≡
1
csc
θ
{\displaystyle \sin \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}}
Cosin
cos
agos
hypotenws
{\displaystyle {\frac {\textrm {agos}}{\textrm {hypotenws}}}}
cos
θ
≡
sin
(
π
2
−
θ
)
≡
1
sec
θ
{\displaystyle \cos \theta \equiv \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\,}
Tangiad
tan (or tg)
cyferbyn
agos
{\displaystyle {\frac {\textrm {cyferbyn}}{\textrm {agos}}}}
tan
θ
≡
sin
θ
cos
θ
≡
cot
(
π
2
−
θ
)
≡
1
cot
θ
{\displaystyle \tan \theta \equiv {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}}
Cotangiad
cot (or ctg or ctn)
agos
cyferbyn
{\displaystyle {\frac {\textrm {agos}}{\textrm {cyferbyn}}}}
cot
θ
≡
cos
θ
sin
θ
≡
tan
(
π
2
−
θ
)
≡
1
tan
θ
{\displaystyle \cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}}
Secant
sec
hypotenws
agos
{\displaystyle {\frac {\textrm {hypotenws}}{\textrm {agos}}}}
sec
θ
≡
csc
(
π
2
−
θ
)
≡
1
cos
θ
{\displaystyle \sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}}
Cosecant
csc (or cosec)
hypotenws
cyferbyn
{\displaystyle {\frac {\textrm {hypotenws}}{\textrm {cyferbyn}}}}
csc
θ
≡
sec
(
π
2
−
θ
)
≡
1
sin
θ
{\displaystyle \csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sin \theta }}}
Mae yna nifer o unfathiannau yn bodoli sy'n cydberthyn y ffwythiannau trigonometrig. Dyma'r un a defnyddir fwya' aml.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,\,}
Perthnasau arall sy'n bodoli yw'r fformiwlâu swm a gwahaniaeth.
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
,
{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
−
sin
x
sin
y
,
{\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\,}
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
cos
x
sin
y
,
{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\,}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
.
{\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.\,}
Pan mae dwy ongl yn hafal, mae'r swm y fformiwlâu yn symleiddio i hafaliadau a adnabyddir fel y double-angle formulae.
Mae'r tabl yma yn dangos integriadau a differiadau ffwythiannau trigonometreg.
Ffwythiant
f
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f(x)}
Differu
f
′
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}
Integru
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,dx}
sin
x
{\displaystyle \,\ \sin x}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \,\ -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle \,\ -\sin x}
sin
x
+
C
{\displaystyle \,\ \sin x+C}
tan
x
{\displaystyle \,\ \tan x}
sec
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
cot
x
{\displaystyle \,\ \cot x}
−
csc
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec
x
{\displaystyle \,\ \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \,\ \sec {x}\tan {x}}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}
csc
x
{\displaystyle \,\ \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle \,\ -\csc {x}\cot {x}}
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}
Enw
Nodiant arferol
Nodiant arferol
Diffiniad
Parth x
Amrediad gwerthau radiannau )
Amrediad gwerthau Graddau )
arcsine y = arcsin x y =sin−1 (x )x = sin y −1 ≤ x ≤ 1
−π/2 ≤ y ≤ π/2
−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine y = arccos x y =cos−1 (x )x = cos y −1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ π
0° ≤ y ≤ 180°
arctangent y = arctan x y =tan−1 (x )x = tan y pob rhif real
−π/2 < y < π/2
−90° < y < 90°
arccotangent y = arccot x y =cot−1 (x )x = cot y pob rhif real
0 < y < π
0° < y < 180°
arcsecant y = arcsec x y =sec−1 (x )x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π
0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant y = arccsc x y =csc−1 (x )x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2
−90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°
