Hafaliad llinol

Dau graff o hafaliaid llinol, gyda dau newidyn.

Math o hafaliad mathemategol yw hafaliad llinol neu hafaliad llinell.

Enghraifft:

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,$

lle mae $x_{1},\ldots ,x_{n}$ yn newidynnau, yn anhysbysion neu'n amhenderfynedig (unknowns or indeterminate), a

$b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ yw'r cyfernodau, sydd fel arfer yn rhifau real. Gellir ystyried y cyfernodau'n baramedrau'r hafaliad a gellir eu datgan yn fynegiadau mympwyol, wedi'u cyfyngu i beidio a chynnwys unrhyw newidyn. I gynhyrchu hafaliad call gyda gwerthoedd di-sero $b,$ ni all y cyfernodau i gyd fod yn sero.

O ran yr algebra, gellir cael hafaliad llinol gan wneud sero yn bolynomial llinol dros rhai meysydd mathemategol, lle deillia'r cyfernodau, ac ni ddylai hynny gynnwys symbolau ar gyfer yr amhenderfynedig.

Mae'r achos o un newidyn yn hynod bwysig, ac yn aml at un newidyn yn unig mae'r term "hafaliad llinol" yn cyfeirio.

Mae pob pâr o rifau sy'n ddatrysiadau o hafaliad llinol mewn dau newidyn yn ffurfio llinell yn y plân Ewclidaidd, a gall pob llinell gael ei ddiffinio fel datrysiadau'r hafaliad llinol. Dyma darddiad y term "llinol". Yn fwy cyffredinol, mae datrysiadau'r hafaliad llinol gyda newidynnau n yn ffurfio uwch-blân (hyperplane) (o ddimensiwn n – 1) yn y gofod Ewclidaidd o ddimensiwn n.

Graddiant llinell

Mae graddiant llinell syth yn disgrifio goledd (h.y. pa mor serth yw’r linell). Os y gwyddom beth yw hafaliad y llinell, yna gellir cyfrifo'r graddiant. Mae gan linellau paralel yr un graddiant. Mae graddiant llinell yn bositif pan fo'r llinell yn mynd o'r chwith i'r dde yng nghyfeiriad yr echelin, ac mae'r gwerthoedd yn cynyddu. Mae graddiant y llinell yn negatif pan fo'r llinell yn mynd o’r chwith i'r dde yng nghyfeiriad yr echelin, ac mae’r gwerthoedd yn lleihau.

Croestoriad

Mae'r pwynt lle mae'r llinell yn croesi'r echelin yn cael ei fynegi naill ai fel croestoriad $(0,y_{0})$ gydag echelin-$y$ neu'r croestoriad $(x_{0},0)$ gydag echelin-$x$ a gyda goledd $m$ yn rhoi i ni hafaliad ar gyfer y llinell. Mae cyfesurynnau $(x_{1},y_{1})$, felly, yn rhoi:

$y-y_{1}=m(x-x_{1}).$

Rhyngdoriad

Pan fo llinell syth yn croesi'r ddwy echelin, y tu allan i'r tarddbwynt, ceir dau werth, dau rhyngdoriad ac ni allant fod yn sero. Awgryma hyn na all $c$ chwaith, fod yn sero. Gellir eu mynegi fel hafaliad:

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.$

Mae hyn yn digwydd o ganlyniad i symud $c$ yn yr hafaliad $ax+by+c=0$ i'r ochr dde, ac yna lluosi dwy ochr yr hafaliad gyda $-1/c,$ gan roi

$(-{\frac {a}{c}})x+(-{\frac {b}{c}})y={\frac {1}{x_{0}}}x+{\frac {1}{y_{0}}}y=1,$

sy'n hafal i'r uchod.

Gweler hefyd

• Hafaliad cwadratig