Elektrisk potential

Det elektriske potential er den potentielle energi pr. ladning i et elektrisk felt. Forskellen i potential mellem to punkter kaldes for spændingen, som spiller en central rolle i elektriske kredsløb.

Definition

Hvis en ladning $q$ har den elektriske potentielle energi $W_{\text{pot}}$ i punktet ${\vec {r}}$, er potentialet $\phi$ altså givet ved:

$\phi ({\vec {r}})={\frac {W_{\text{pot}}({\vec {r}})}{q}}$

For et konservativt kraftfelt generelt er kraften ${\vec {F}}$ givet ved gradienten til den potentielle energi $W_{\text{pot}}$:

${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}W_{\text{pot}}$

På samme måde er det elektriske felt ${\vec {E}}$ den negative gradient til potentialet:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi$

Omvendt kan det elektriske potential skrives som integralet af det elektriske felt.

Spænding

Hovedartikel: Spænding.

I et elektrisk kredsløb bevæger ladninger sig fra et højt potential - genereret af en spændingskilde - til et lavere potential. Forskellen i potential mellem to punkter i kredsløbet kaldes for spændingen $U$:

$U=\Delta \phi$

I såkaldte ohmske modstande kan spændingen relateres til strømstyrken vha. Ohms lov.

Eksempel: Punktladning

Hovedartikel: Coulombs lov.

Potentialet omkring en ladning, når ladningen bliver mindre og mindre. Først er ladningen positiv (rød), men bliver derefter negativ (blå).

I følge Coulombs lov er kraften mellem en ladning $Q$ og en ladning $q$ givet ved:

${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}{\hat {r}}$

hvor $\varepsilon _{0}$ vakuumpermittiviteten

$\varepsilon _{0}=8.854187817...\times 10^{-12}{\text{F}}{\text{m}}^{-1}$ (Farad pr. meter)

mens ${\hat {r}}$ er enhedsvektoren, der går fra ladning $Q$ til $q$. Det elektriske felt omkring $Q$ er derfor

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Følgelig er potentialet altså givet ved integralet:

$\phi ({\vec {r}})=\int _{r}^{\infty }{\vec {E}}({\vec {r}}')\cdot {\text{d}}{\vec {r}}'=\int _{r}^{\infty }{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}{\hat {r}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}'={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{r}^{\infty }{\frac {1}{r'^{2}}}{\text{d}}r'$

Grænsen $\infty$ kan vælges frit uden fysisk betydning, men den er her valgt for at potentialet er nul uendeligt langt væk fra $Q$. Integralet af én over afstanden i anden er minus én over afstanden:

$\phi ({\vec {r}})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[-{\frac {1}{r'}}\right]_{r}^{\infty }$

Én over uendelig er blot nul, så potentialet er derfor givet ved:

$\phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}$

Det ses, at potentialet som forventet er nul, når afstanden er uendelig stor. Potentialet blevet derimod større og større, jo mindre afstanden bliver. Hvis ladningerne $Q$ og $q$ har samme fortegn, vil de altså frastøde hinanden, mens ladninger med forskelligt fortegn tiltrækker hinanden.