Potenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus der Schule kennst du Potenzen wie $5^{3}$ als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist $5^{3}$ die abkürzende Schreibweise für $5\cdot 5\cdot 5$. Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

Intuitive Definition der Potenz

Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

Definition (intuitive Definition der Potenz)

Die Potenz $x^{k}$ ist definiert über

$x^{k}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{k{\text{-mal}}}$

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

• Wir wissen nicht, was $x^{0}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{0{\text{-mal}}}$ sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche $x^{k}$, für die $k$ keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke $\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{-1{\text{-mal}}}$ oder $\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{{\tfrac {1}{2}}{\text{-mal}}}$ nicht sinnvoll.
• Der Ausdruck $\underbrace {\ldots } _{k{\text{-mal}}}$ ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten

Die Elemente der Potenzschreibweise: ${\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}$

Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

Definition (rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten)

Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle $x\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$ definiert:

${\begin{aligned}x^{0}&:=1\\x^{k+1}&:=x\cdot x^{k}\end{aligned}}$

Insbesondere definieren wir $0^{0}=1$.

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

$x^{k+1}=x\cdot x^{k}$

wird Rekursionsschritt genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

$5^{3}=5\cdot 5^{2}$

Wenn wir $5^{2}$ ausgerechnet haben, können wir $5^{3}$ nach obiger Gleichung ausrechnen. $5^{2}$ selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus $5^{1}$ berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz $5^{0}$, die man wegen der Formel

$x^{0}=1$

gleich eins setzen kann. Die Formel $x^{0}=1$ wird Rekursionsanfang genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

${\begin{array}{rll}&5^{3}&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{3}=5\cdot 5^{2}}\right.\\=\ &5\cdot 5^{2}&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{2}=5\cdot 5^{1}}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot 5^{1})&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{1}=5\cdot 5^{0}}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot (5\cdot 5^{0}))&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsanfang: }}5^{0}=1}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot (5\cdot 1))\\=\ &5\cdot (5\cdot 5)\\=\ &5\cdot 25\\=\ &125\end{array}}$

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

• Wir wissen, was $x^{0}$ ist.
• Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
• Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn $k$ keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
• Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

Warum ist $x^{0}=1$ definiert?

Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch $5^{1}=5$ als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann $5^{0}$ undefiniert gewesen, aber die Gleichung $5^{1}=5$ lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz $5^{3}$ könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang $5^{1}=5$ berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

$x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle $a,b\in \mathbb {R}$ und insbesondere auch für $b=0$ erfüllt sein. Es soll also gelten:

$x^{a+0}=x^{a}\cdot x^{0}$

Gleichzeitig ist $a+0=a$ und deswegen

$x^{a}=x^{a+0}=x^{a}\cdot x^{0}$

Damit diese Gleichung für alle $x>0$ und $a\in \mathbb {R}$ gelten kann, muss $x^{0}=1$ sein. Die Tatsache $x^{0}=1$ folgt also aus der Gleichung

$x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

Hinweis

Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für $0^{0}$. In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) $0^{0}=1$ gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der binomische Lehrsatz und die Geometrische Summenformel für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen $0^{0}=0$, da $0^{a}=0$ für alle $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt $0^{0}$ auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Wikipedia-Artikel „Null hoch null“.

Das Prinzip der Rekursion

Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

• Rekursionsschritt: Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
• Rekursionsanfang: Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

Verständnisfrage: Definiere das Produkt $k\cdot x=\underbrace {x+x+\ldots +x} _{k{\text{-mal}}}$ mit $x\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$ rekursiv.

Folgende zwei Formeln definieren das Produkt $k\cdot x$ rekursiv:

${\begin{aligned}0\cdot x&=0\\(k+1)\cdot x&=x+k\cdot x\end{aligned}}$

Rechenregeln für Potenzen

Übersicht

Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für $x\in \mathbb {R}$ und $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ zurückgegriffen:

$x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}$

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

• $(x^{k})^{n}=x^{kn}$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und $k,n\in \mathbb {N} _{0}$
• $(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$ für alle $x,y\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$

Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $x\in \mathbb {R}$ und seien $m,n\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

Wir betrachten das Produkt $x^{m}\cdot x^{n}$ zweier Potenzen $x^{m}$ und $x^{n}$ zur selben Basis $x\in \mathbb {R}$ mit irgendwelchen Exponenten $m,n\in \mathbb {N} _{0}$. Anschaulich ist

$x^{m}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}$

und

$x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}$

Also ist

$x^{m}\cdot x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}\cdot \underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}$

Wir multiplizieren das Produkt von $m$ vielen $x$ mit dem Produkt von $n$ vielen $x$. Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt $m+n$ vielen $x$:

$\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}\cdot \underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{(m+n){\text{-mal}}}$

Das Produkt von $m+n$ vielen $x$ ist genau die Potenz $x^{m+n}$:

$\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{(m+n){\text{-mal}}}=x^{m+n}$

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit $\underbrace {\ldots }$ verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn $m=0$ oder $n=0$ ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

Zusammenfassung des Beweises (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels Vollständiger Induktion an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir $n$, und lassen die andere Variable, also $m$, fest.

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $m\in \mathbb {N} _{0}$ fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $n\in \mathbb {N} _{0}$:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

1. Induktionsanfang:

$x^{m}\cdot x^{0}=x^{m}\cdot 1=x^{m}=x^{m+0}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

2b. Induktionsbehauptung:

$x^{m}\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}&x^{m}\cdot x^{n+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{n+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{m}\cdot (x\cdot x^{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot (x^{m}\cdot x^{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot x^{m+n}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{(m+n)+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{(m+n)+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz in }}\mathbb {N} _{0}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{m+(n+1)}\end{aligned}}$

Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $x\in \mathbb {R}$ und seien $k,n\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt

$(x^{k})^{n}=x^{kn}$

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $k\in \mathbb {N} _{0}$ fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $n\in \mathbb {N} _{0}$:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

$(x^{k})^{n}=x^{kn}$

1. Induktionsanfang:

$(x^{k})^{0}=1=x^{0}=x^{k\cdot 0}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$(x^{k})^{n}=x^{kn}$

2b. Induktionsbehauptung:

$(x^{k})^{n+1}=x^{k(n+1)}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}&(x^{k})^{n+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}(x^{k})^{n+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k}\cdot (x^{k})^{n}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}(x^{k})^{n}=x^{kn}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k}\cdot x^{kn}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis}}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k+kn}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {N} _{0}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k(n+1)}\end{aligned}}$

Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien $x,y\in \mathbb {R}$ und sei $k\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt

$(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $k\in \mathbb {N} _{0}$:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $k\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

$(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$

1. Induktionsanfang:

$(x\cdot y)^{0}=1=1\cdot 1=x^{0}\cdot y^{0}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$

2b. Induktionsbehauptung:

$(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}&(x\cdot y)^{k+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}(x\cdot y)^{k+1}\right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)^{k}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}\right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot y)\cdot (x^{k}\cdot y^{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot x^{k})\cdot (y\cdot y^{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{k+1}{\text{ und }}y^{k+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k+1}\cdot y^{k+1}\end{aligned}}$

Potenzen mit negativen Exponenten

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ wollen wir die Definition der Potenz $x^{k}$ auf ganzzahlige Exponenten $k\in \mathbb {Z}$ erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten $k$ definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel $5^{-3}$ das Produkt von „$-3$ vielen“ $5$en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht $-5^{3}=-125$? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber $5=5^{1}=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot 5^{4}=-125\cdot 625$. Es macht also keinen Sinn, $5^{-3}=-5^{3}$zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

• Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
• Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass $x^{0}=1$ für jede reelle Zahl $x$ gilt und dass $x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$ für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$. Zur Verallgemeinerung auf $a,b\in \mathbb {Z}$ betrachten wir zunächst $a=1$,$b=-1$ und $x\neq 0$. Wir erhalten $1=x^{0}=x^{1+(-1)}=x\cdot x^{-1}$. Da wir $x\neq 0$ fordern können wir die Gleichung umstellen zu ${\frac {1}{x}}=x^{-1}$. Intuitiv ist klar, dass wir um $x^{-1}$ zu erhalten durch $x$ teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines $k\in \mathbb {N}$ anwenden. Mit der Forderung $x\neq 0$ ergibt sich aus $1=x^{0}=x^{k+(-k)}=x^{k}\cdot x^{-k}$ die folgende sinnvolle Definition:

Definition (Potenz mit ganzzahligem Exponenten)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und $k\in \mathbb {Z}$. Für $k\geq 0$ ist $x^{k}$ bereits definiert. Für $k<0$ legen wir fest:

$x^{k}:={\frac {1}{x^{-k}}}$

Beachte, dass in dieser Definition $x^{-k}$ bereits definiert ist, da $-k>0$ für $k<0$ gilt. Und wegen $x\neq 0$ ist auch $x^{-k}\neq 0$. Wir teilen also nicht durch $0$.

Hinweis

Man könnte sich fragen, ob eine sinnvolle Definition für "$0^{-k}$" möglich ist. Da wir in der Herleitung obiger Definition sowohl durch $x$ teilen als auch $x^{0}=1$ fordern, ist dieser Weg ausgeschlossen. Außerdem ist dieser Fall von geringem praktischen Interesse, da wir ja über $0^{k}=0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ verfügen. Somit kann "$0^{-k}$" in $\mathbb {R}$ getrost undefiniert bleiben. Im erweiterten Zahlenraum ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ wäre $0^{k}=\infty$ für alle $k<0$ sinnvoll.

Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen

Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und seien $m,n\in \mathbb {Z}$. Dann gilt

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Unsere Definition von $x^{m}$, $x^{n}$ und $x^{m+n}$ hängt davon ab, ob die Exponenten $m$, $n$ und $m+n$ negativ sind oder nicht. Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1: $m\geq 0$ und $n\geq 0$

Für $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2: $m\geq 0$, $n<0$ und $m+n\geq 0$

Sei $n=-a$ und $m+n=b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$. Somit ist $m=-n+m+n=a+b$. Nach Definition ist $x^{n}={\frac {1}{x^{a}}}$. Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

gilt. Es folgt

${\frac {1}{x^{n}}}\cdot x^{m+n}=x^{m}$

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{n}$, so erhalten wir die Behauptung.

Fall 3: $m\geq 0$, $n<0$ und $m+n<0$

Sei $m=a$ und $m+n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$. Somit ist $n=-m+m+n=-(a+b)$. Nach Definition ist $x^{n}={\frac {1}{x^{a+b}}}$ und $x^{m+n}={\frac {1}{x^{b}}}$. Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

gilt. Es folgt

$x^{m}\cdot {\frac {1}{x^{m+n}}}={\frac {1}{x^{n}}}$

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{m+n}\cdot x^{n}$, so erhalten wir die Behauptung.

Fall 4: $m<0$, $n\geq 0$ und $m+n\geq 0$

Da Addition in $\mathbb {Z}$ und Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ sind, gilt $x^{m}\cdot x^{n}=x^{n}\cdot x^{m}$ sowie $x^{m+n}=x^{n+m}$. Indem wir die Variablen $m$ und $n$ vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.

Fall 5: $m<0$, $n\geq 0$ und $m+n<0$

Da Addition in $\mathbb {Z}$ und Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ sind, gilt $x^{m}\cdot x^{n}=x^{n}\cdot x^{m}$ sowie $x^{m+n}=x^{n+m}$. Indem wir die Variablen $m$ und $n$ vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.

Fall 6: $m<0$ und $n<0$

Sei $m=-a$ und $n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$. Somit ist $m+n=-(a+b)$. Nach Definition ist $x^{m}={\frac {1}{x^{a}}}$, $x^{n}={\frac {1}{x^{b}}}$ und $x^{m+n}={\frac {1}{x^{a+b}}}$. Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

gilt. Es folgt

${\frac {1}{x^{m}}}\cdot {\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{x^{m+n}}}$

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{m}\cdot x^{n}\cdot x^{m+n}$, so erhalten wir die Behauptung.

Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und seien $k,n\in \mathbb {Z}$. Dann gilt

$(x^{k})^{n}=x^{kn}$

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob $k$ und $n$ jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1: $k\geq 0$ und $n\geq 0$

Für $k,n\in \mathbb {N} _{0}$ wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2: $k<0$ und $n\geq 0$

Sei $k=-a$ mit $a\in \mathbb {N} _{0}$. Nach Definition ist $x^{k}={\frac {1}{x^{a}}}$ und $x^{kn}={\frac {1}{x^{an}}}$. Wir wissen bereits, dass $(x^{a})^{n}=x^{an}$ gilt. Somit folgt

$1=\left({\frac {1}{x^{a}}}\cdot x^{a}\right)^{n}=\left({\frac {1}{x^{a}}}\right)^{n}\cdot (x^{a})^{n}=(x^{k})^{n}\cdot x^{an}=(x^{k})^{n}\cdot {\frac {1}{x^{kn}}}$

Also gilt wie gewünscht $(x^{k})^{n}=x^{kn}$.

Fall 3: $k\geq 0$ und $n<0$

Sei $n=-b$ mit $b\in \mathbb {N} _{0}$. Nach Definition ist $(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}$ und $x^{kn}={\frac {1}{x^{kb}}}$. Wir wissen bereits, dass $(x^{k})^{b}=x^{kb}$ gilt. Somit folgt wie gewünscht

$(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}={\frac {1}{x^{kb}}}=x^{kn}$

Fall 4: $k<0$ und $n<0$

Seien $k=-a$ und $n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$. Nach Definition ist $x^{k}={\frac {1}{x^{a}}}$ und $(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}$. Wir wissen bereits, dass $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ gilt. Somit folgt

$1=\left({\frac {1}{x^{a}}}\cdot x^{a}\right)^{b}=\left({\frac {1}{x^{a}}}\right)^{b}\cdot (x^{a})^{b}=(x^{k})^{b}\cdot x^{ab}={\frac {1}{(x^{k})^{n}}}\cdot x^{kn}$

Also gilt wie gewünscht $(x^{k})^{n}=x^{kn}$.

Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien $x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und sei $k\in \mathbb {Z}$. Dann gilt

$(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Unsere Definition der $k$-ten Potenz hängt davon ab, ob $k$ negativ ist oder nicht. Für $k\geq 0$ wurde der Beweis der Gleichung $(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$ bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für $k<0$.

Sei also $k=-a$ mit $a\in \mathbb {N} _{0}$. Nach Definition ist $(x\cdot y)^{k}={\tfrac {1}{(x\cdot y)^{a}}}$ sowie $x^{k}={\tfrac {1}{x^{a}}}$ und $y^{k}={\tfrac {1}{y^{a}}}$. Für $a\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

$(x\cdot y)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}$

Es folgt

${\frac {1}{(x\cdot y)^{k}}}={\frac {1}{x^{k}}}\cdot {\frac {1}{y^{k}}}$

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $(x\cdot y)^{k}\cdot x^{k}\cdot y^{k}$, so erhalten wir die Behauptung.