Quantenmechanik

Band 12 des Werkes Einführung in die Theoretische Physik – Ein Lehrbuch in mehreren Bänden

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Einführung

Notation

In der Quantenmechanik werden viele, leicht unterschiedliche Notationen verwendet. In diesem Buch soll die folgende Notation Anwendung finden:

$A:=B\quad$ Definitionsgleichung. Der Term auf der Seite des Doppelpunkts wird definiert.

$z^{*}=u-iv$ ist die komplex-Konjugierte der komplexen Zahl $z=u+iv$

$A^{T}$ ist die Transponierte der Matrix $A:\quad (A^{T})_{ik}=A_{ki}$

$A^{\dagger }$ ist der hermitesch adjungierte Operator zum Operator $A$

Spezialfall adjungierte Matrix: $(A^{\dagger })_{ik}=A_{ki}^{*}$.

$\delta _{ij}$ ist =1 falls i=j, sonst =0.

$\epsilon _{ijk}$ ist =1 für $ijk\in \{123,231,312\};\;$ =-1 für $ijk\in \{321,213,132\};\;$ sonst =0. (Vorzeichen der Permutation)

Dreidimensionale Vektoren ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\;{\vec {p}}=(p_{1},p_{2},p_{3}),\;...$ tragen eine Pfeil.

$({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})=\sum _{i}x_{i}y_{i}=\sum _{i,j}\delta _{ij}x_{i}y_{j}\quad$ Skalarprodukt

${\vec {z}}={\vec {x}}\times {\vec {y}}:\;z_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}x_{j}y_{k}\quad$ Vektorprodukt

${\vec {\nabla }}f=(\partial _{1}f,\partial _{2}f,\partial _{3}f)\quad$ Gradient eines Skalarfelds auf $\mathbb {R} ^{3}$

$({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}})\quad$ Divergenz eines Vektorfelds $=\sum _{i}\partial _{i}a_{i}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {a}}\quad$ Rotation eines Vektorfelds $=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}\partial _{j}a_{k}$.

Dirac-Notation (abstrakte Darstellung):

• Allgemeine Abhängigkeit eines Zustandes von einem Parameter:

  $\vert \psi {,}t\rangle \qquad {\text{nicht}}\qquad \vert \psi (t)\rangle$

• Das benutzte quantentheoretische Bild wird durch einen Index an Zustand und Operator angegeben:

  $\vert \psi {,}t\rangle _{X}\qquad {\text{bzw.}}\qquad \mathbf {{\hat {A}}_{X}} \qquad {\text{mit}}\qquad X=S\left({\text{Schroedinger}}\right){,}\ H\left({\text{Heisenberg}}\right){,}\ I\left({\text{Dirac}}\right)$

• Darstellung eines Operators in einer bestimmten Basis $\vert x\rangle$:

  $\langle x\vert \psi {,}t\rangle =\psi \left(x{,}t\right)\qquad {\text{bzw.}}\qquad \langle p\vert \psi {,}t\rangle =\psi \left(p{,}t\right)$

Erklärung zur Notation

Ein Objekt mit der Notation "$|a,b,c\cdots \rangle$" wurde von Dirac ein 'Ket' genannt. Es dient als mathematisches Modell für den idealen, reinen Zustand eines Quantensystems. Die Kets sind Elemente eines möglicherweise hochdimensionalen Vektorraums. Ein Ket hat mehr oder weniger Attribute, welche Eigenwerte sind von linearen Abbildungen, genannt Operatoren. Das Ket ist also ein Eigenvektor zu diesen Operatoren. Allem was physikalisch messbar ist wird im Quantenmodell ein Operator zugeordnet. Dessen Eigenwertspektrum ist die Menge der experimentell messbaren Werte. Ein Spektrum hat diskrete und/oder kontinuierliche Wertebereiche. Ein Vektorraum ist nur dann sympathisch für die Physik (die Mathematik kann machen was sie will) wenn es darauf ein positiv-definites Skalarprodukt gibt. Konkret steht jedes ket auch in einer dualen Version, 'Bra' genannt, zur Verfügung. Zum Beispiel "$\langle u,v,w\cdots |$". Die (fast) bilineare Paarung eines Bra und Ket produziert dann eine komplexe Zahl $\;\langle u,v,w\cdots |a,b,c\cdots \rangle$.

Aus Gründen, die später klar werden, braucht die Quantentheorie unbedingt komplexe Zahlen und Vektorräume darüber. Um die Norm des Vektors, das heißt seine Länge, die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst, stets wohldefiniert zu halten, braucht es einen Trick: $\langle bra|ket\rangle$ ist antilinear im ersten Argument, das heißt, Zahlenfaktoren werden da komplex konjugiert herausgezogen. Nur im zweiten Argument ist das Produkt linear. Eine solche Abbildung heißt sesquilinear, weil nicht wirklich streng bilinear.

Beispiel, die Schrödingerwellen auf der x-Achse. Die Kets sind die komplexwertigen Funktionen/Distributionen einer reellen Variablen. Jede Position x ist ein Eigenwert des X-Operators, der also ein kontinuierliches Spektrum hat. Eigenvektor $|x\rangle$ ist die Deltafunktion am Ort x. Die Menge aller $|x\rangle$ bilden eine orthonormierte kontinuierliche Basis des Hilbertraums. (Ersparen wir uns pingelige fundamental-mathematische Kritik). Also kann ein beliebiger Vektor $|\psi \rangle$, der zu beliebigem anderen Zeug ein Eigenvektor sei, in dieser Basis entwickelt werden. Integral ersetzt Summe: $|\psi \rangle =\int \,dx\,|x\rangle \langle x|\psi \rangle$. Im Schrödinger-Bild ist ganz einfach $\langle x|\psi \rangle =\psi (x)$ der Funktionswert.

Die Gleichung: $\langle x_{a}\vert x_{b}\rangle =\delta (x_{a}-x_{b})$ besagt, dass die Basis der Positions-Eigenvektoren ein Orthonormalsystem bildet.

Geschichtliches

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts glaubten die Physiker, die Physik sei im Wesentlichen abgeschlossen. Die Physiker hatten zwei große Theorien, die Mechanik und die Elektrodynamik und die etwas dazwischen angesiedelte Theorie der Thermodynamik. Die Wechselwirkungen zwischen Materie und Strahlung wurden mithilfe des Lorentzschen Kraftgesetzes erklärt.

Zwar gab es einige ungeklärte Punkte, einige nicht erklärbare Beobachtungen, doch man gewöhnte sich langsam daran, sie zu ignorieren.

Diese Punkte waren:

• Es gab kein Gesetz, welches das Energiespektrum des schwarzen Strahlers zutreffend beschrieb.

• Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern und Gasen konnte nicht erklärt werden.

• Es gab Widersprüche bei der Interpretation der Maxwellschen Gleichungen, und

• der negative Ausgang des Michelson-Morley-Versuchs (1887) war unverständlich.

Und genau aus diesen scheinbar "letzten Problemen der Physik" heraus entstand fast das gesamte neue physikalische Weltbild.

Die beiden letztgenannten Probleme wurden von A. EINSTEIN durch die Spezielle Relativitätstheorie (1905) gelöst. Die übrigen Probleme wurden nach und nach durch die ebenso revolutionären Vorstellungen der Quantenmechanik behoben.

Für das erste Problem fand Max Planck eine Lösung, indem er seine Theorie von der Quantisierung der Energie aufstellte. Die Energie einer elektromagnetischen Welle ist eine ganzzahlige Vielfache von $hf$, wobei h eine neue Konstante darstellt. Einstein verallgemeinerte diese Theorie zu einer Teilchentheorie des Lichts mit Photonen (siehe Der Photoeffekt), welche alle die Energie $hf$ besitzen. Ein Lichtstrahl ist gemäß dieser Theorie ein Strom von Lichtteilchen. Allerdings zeigt Licht gleichzeitig Wellenverhalten, wie in der klassischen Elektrodynamik beschrieben. Diese Doppelnatur des Lichts bezeichnet man als Welle-Teilchen-Dualismus.

Die ersten Probleme waren also bereits gelöst, allerdings waren die Lösungen einerseits schwer mit den vorhanden Theorien in Einklang zu bringen, anderseits sah man nun, auf welchen wackeligen Füßen die bisherigen Theorien standen.

Den nächsten Knacks erlitten die etablierten Theorien bereits 1911 als Ernest Rutherford seinen Streuversuch durchführte und dabei feststellte, dass das Atom zum größten Teil leer ist und nur einen kleinen positiv geladenen Kern besitzt, welcher von einer Elektronenhülle umkreist wird. Negativ geladene Elektronen, die um einen positiv geladenen Atomkern laufen, stellen gegeneinander bewegte elektrische Ladungen dar. Solche müssen nach der klassischen Elektrodynamik ständig elektromagnetische Wellen abstrahlen und damit Energie verlieren. Die Atome wären nicht stabil, müssten also in Sekundenbruchteilen zusammenfallen. Zusammen mit den Untersuchungen der Emissions- und Absorptionsspektren der Atome, welche bis dahin noch nicht erklärt waren und welche gegen eine kontinuierliche Energieabgabe der Elektronen sprachen, entwickelte Bohr daraus sein Atommodell mit quantisierten Elektronenbahnen.

Die Theorie der Lichtquanten von Max Planck und Albert Einstein und das Bohrsche Atommodell konnten jedoch nur Teilbereiche der Quantentheorie erklären und sie standen noch nicht auf einem gemeinsamen theoretischen Unterbau. Dies änderte sich 1923 als de Broglie seine Theorie über den Wellencharakter von Teilchen aufstellte, welche allerdings noch keine eindeutigen Vorhersagen ermöglichte, und wenig später (1925) Schrödinger und Heisenberg ihre beiden äquivalenten Formulierungen der Quantenmechanik herausgaben.

• Ein (vergessener?, interessanter) Zweig des Einführungstextes ist hier Quantenmechanik/ Einführung

Im Folgenden werden zunächst die für die Quantenphysik grundlegenden Phänomene besprochen.

Mathematischer Rahmen der Quantenmechanik

Wie jede physikalische Theorie hat auch die Quantentheorie die Aufgabe, das Ergebnis von Experimenten vorherzusagen und in das existierende Weltbild einzubinden. Die Mathematik dient gerade in der Quantenphysik als wichtiges Hilfsmittel Zusammenhänge, jenseits der alltäglichen Erfahrung, zu erfassen und zu verstehen. Der Rahmen der sich hierbei für die Quantentheorie bewährt hat, ist die Theorie des Hilbert-Raumes und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Zusammenhang zwischen den mathematischen Größen und der physikalischen Realität wird in den folgenden verschiedenen Kapiteln deutlich, immer wenn die Theorie quantitativ richtige Vorhersagen trifft.

• Einige mathematische Hilfsmittel

Das Unterkapitel ist eher zum Nachschlagen als zum geradlinigen Lesen ausgelegt und soll später mit Sammlungen von Formeln ergänzt werden.

Der Photoeffekt

Im Jahre 1887 entdeckte H.R. HERTZ bei seinen bahnbrechenden Versuchen mit elektromagnetischen Wellen, dass ultraviolettes Licht eine Funkenentladung beeinflusst. Er beauftragte seinen Assistenten W. HALLWACHS mit der Untersuchung dieser Erscheinung, der daraufhin 1888 den "lichtelektrischen Effekt" (Hallwachs-Effekt, Photoeffekt) entdeckte und untersuchte. Das Ergebnis: Negativ geladene Metallkörper entladen sich bei Bestrahlung mit ultraviolettem Licht, positiv geladene nicht.

P. LENARD verlegte diese Versuche ins Vakuum und schaltete dadurch den störenden Einfluss der Luft aus. Er wies nach, dass die von dem Licht aus einer Metalloberfläche ausgelösten negativen Ladungen aus Elektronen bestehen. Genauere Untersuchungen (1902) zeigten:

1. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen ist unabhängig von der Intensität des Lichtes. Höhere Lichtintensität vergrößert lediglich die Zahl der pro Zeiteinheit ausgelösten Elektronen.

2. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen hängt nur von der Frequenz des Lichtes ab und steigt mit zunehmender Frequenz.

3. Bei abnehmender Frequenz des Lichtes verschwindet der Effekt plötzlich bei einer Grenzfrequenz $f_{G}$.

4. Auch bei Strahlung von sehr geringer Intensität ("Helligkeit") tritt der Effekt praktisch sofort ein, nämlich in weniger als 10 ^{- 8} Sekunden.

Alle diese Eigenschaften sind mit der Wellennatur des Lichtes nicht zu vereinbaren. Mit der in Jahrhunderten durch Interferenz- und Beugungserscheinungen gefestigten Vorstellung, das Licht sei eine Welle, kann der Photoeffekt nicht erklärt werden.

Die Erklärung gab EINSTEIN im Jahr 1905: In einem Lichtstrahl ist die Energie nicht (wie in einer Welle) kontinuierlich verteilt, sondern in einer endlichen Anzahl von voneinander getrennten (diskreten) "Energiequanten" konzentriert, die nur als Ganzes und nur einzeln absorbiert werden können. Die Energie E eines "Lichtquants" ist der Frequenz f des Lichtes proportional.

$E=h\,f.$

Der Proportionalitätsfaktor h ist das Plancksche Wirkungsquantum:

$h=6{,}626\cdot 10^{-34}{\text{ J}}\cdot {\text{s}}$

$\hbar c\approx 197{\text{ nm eV}}$

Wenn die Energie eines einzelnen Lichtquants nicht ausreicht, ein Elektron aus dem Metall herauszulösen (die "Austrittsarbeit" aufzubringen), dann vermögen es auch noch so viele Lichtquanten nicht.

Ist die Energie des Lichtquants größer als die Austrittsarbeit, dann wird der Überschuss dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben.

Hochpräzise Messungen von MILLIKAN (1916) bestätigten die Theorie Einsteins vollkommen.

Der Erklärung des Photoeffekts (wie auch der des Compton-Effekts - siehe unten) haftet etwas Zwiespältiges an: Einerseits werden die Lichtquanten - auch Photonen genannt – als Korpuskeln oder Teilchen betrachtet, andererseits werden ihnen eine Frequenz und eine Wellenlänge zugeordnet, also Eigenschaften, die nur bei einer Welle Sinn haben. Dazu kommt, dass es beim Licht Phänomene gibt, nämlich Interferenz und Beugung, die nur durch die Welleneigenschaft des Lichts erklärt werden können. Wir haben es also hier mit einem "Dualismus" von Welle und Korpuskel zu tun, der zwei im Grunde unverträgliche Erklärungsmodelle verbindet. Die Erklärung des Photoeffekts hat einen hohen Preis: Sie ist nur möglich, wenn wir dem Licht zwei einander widersprechende, zwei einander ausschließende Eigenschaften zuschreiben, nämlich sowohl Welle als auch Korpuskelstrom zu sein. Dagegen hilft auch nicht der Erklärungsversuch, das Wellenmodell des Lichtes beschreibe lediglich die Dichteverteilung der Photonen, denn einer elektromagnetischen Welle wie dem Licht kommt zweifellos eine eigenständige Realität zu: elektrische und magnetische Felder sind physikalische Realitäten mit beobachtbaren Eigenschaften. Mit anderen Worten: hier liegt noch immer ein ungelöstes Problem von gewaltiger Tiefe vor, das nicht durch Gewöhnung beseitigt wird.

Der Compton-Effekt

Die Reaktion zwischen Photonen und Elektronen hat etwas vom Stoß zwischen Billiardkugeln. Nur die relativistische Kinematik von Energie- und Impulserhaltung ist zu berücksichtigen, wenn Teilchen sich der Lichtgeschwindigkeit nähern.

• Compton-Effekt

Wellen und Teilchen

De-Broglie-Wellenlänge

Beugung am Doppelspalt von Elektronen als Materiewellen

Untersuchungen (Photoeffekt und Doppelspaltversuch) ergaben, dass das Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzt. Für Photonen gilt:

$E=h\nu =\hbar \omega$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

De Broglie übertrug dies 1923 auf beliebige Teilchen:

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

mit dem relativistischen Impuls:

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

ergibt sich daraus die sogenannte De-Broglie-Wellenlänge:

$\lambda ={\frac {h\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{mv}}$

Animierte Wellen-Interferenz. An den dunklen Punkten auf der Zielgeraden löschen die Wellen sich aus, an den roten Punkten verstärken sie sich. Deutung als Wahrscheinlichkeitswelle: Das Quadrat der Amplitude misst, wie viele Teilchen eintreffen.

Damit besitzt jedes Teilchen sowohl Wellen als auch Teilcheneigenschaften. Dies wurde 1927 durch Experimente bestätigt.

Der Phasenfaktor einer ebenen Welle hat die Form $\phi ({\vec {r}},t)=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}.$
Der Wellenvektor ${\vec {k}}$ zeigt in Richtung der Ausbreitung und hat den Betrag $|{\vec {k}}|=2\pi /\lambda .$ Daher die vektorielle Form der Gleichung von de Broglie, einprägsam im Paar mit der Planck-Einstein-Gleichung zwischen Energie und Frequenz:

${\vec {p}}=\hbar \,{\vec {k}};\quad E=\hbar \,\omega \quad \Rightarrow \quad \phi ({\vec {r}},t)=e^{i({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar }.$

Die Elektronen im Vakuum haben keine klassische Bahnkurve. Wenn sie ein Hindernis wie den Doppelspalt durchqueren, bildet sich dahinter ein Interferenzmuster, wie es der de-Broglie-Wellenlänge entspricht. Das passiert auch im Langzeitversuch, wenn die Elektronen einzeln verschickt werden. Es ist kein kollektives Phänomen, sondern jedes Elektron wandert irgendwie durch beide Spalte zugleich und kollabiert am Ende zu einem scheinbar zufälligen Punkt auf dem Detektor-Bildschirm. Wird versucht, wie trickreich auch immer nachzuprüfen, durch welchen Spalt das Teilchen geht, verschwinden die Interferenzen. Jede Art von Messung demoliert die Materiewelle. Der Impulsübertrag zu dem erforderlichen Probeteilchen (Atom, Photon) auf einer Seite kann dabei verschwindend gering sein. Jedoch wird immer die Phase der Wellenfunktion dort zerwürfelt. Diese Kollaps-Idee, nach der es keine störungsfreien Messungen gibt, wurde in die Axiome der Quantenmechanik aufgenommen.

Grundkonzepte der Quantenmechanik

In diesem Abschnitt soll, nachdem im Abschnitt zum mathematischen Rahmen viel von abstrakten Hilbert-Räumen stand, der physikalische Rahmen der Quantentheorie abgesteckt werden. Zunächst werden die Postulate der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik axiomatisch eingeführt. Hierbei spielt der Begriff der Messung eine besondere Rolle. Daran schließt sich dann eine Betrachtung der verschiedenen Bilder und Darstellungen der Quantentheorie an.

Die Axiome fassen didaktisch brutal zusammen, was die Physik in langer Kleinarbeit über Atome und Teilchen gelernt hat. Es gab eine Wellenmechanik, wo Frequenzen von stehenden Wellen den diskreten Energien entsprechen. Und eine Matrixmechanik erklärte, dass Messungen sich nicht beliebig vertauschen lassen. Die Mathematik der Operatoren auf (Funktionen-)Räumen mit Skalarprodukt brachte alle Erkenntnisse auf einen gemeinsamen Nenner.

Postulate für reine und abgeschlossene Quantensysteme

Im folgenden wird die theoretische Begründung der quantenphysikalischen Phänomene auf einige wenige Grundannahmen zurückgeführt. Diese Postulate bilden das axiomatische Grundgerüst für die nichtrelativistische Quantenmechanik. Eine Verallgemeinerung auf relativistische Phänomene erfolgt im Kapitel über die Klein-Gordon-Gleichung.

Postulat 1 (reiner Zustand):

Ein abgeschlossenes Quantensystem, das sich in einem reinen Zustand befindet, wird durch einen normierten Zustandsvektor $|\psi \rangle$ auf einem komplexen, unitären Hilbert-Raum beschrieben.

Ein reiner Zustand enthält die bestmögliche Information über das System im Gegensatz zu einem statistischen Gemisch. Vom Zustandsvektor $|\psi \rangle$ linear abhängige Vektoren beschreiben den selben Zustand. Daher wird jedem quantenmechanischen Zustand ein eindimensionaler Teilraum des Hilbertraumes zugeordnet. Diesen Teilraum $\{c\cdot |\psi \rangle \;|c\in \mathbb {C} \}$ bezeichnet man als Strahl. Der Hilbertraum ist ein linearer Vektorraum, deshalb folgt daraus, dass eine Linearkombination von Zustandsvektoren wiederum einen Zustandsvektor bildet. Das nennt man das Superpositionsprinzip.

Postulat 2 (Projektionsmessung, von Neumann Messung):

1. Die durch eine Projektionsmessung an einem Quantensystem experimentell messbaren physikalischen Größen (z.B. Energie, Ort, Drehimpuls) werden durch hermitesche Operatoren auf dem Hilbertraum beschrieben. Diese Operatoren werden als Observablen bezeichnet.
2. Mögliche Ergebnisse einer an einem Quantensystem durchgeführten Messung der Observablen A sind die Eigenwerte a dieses Operators. Diese ergeben sich mit der Wahrscheinlichkeit:

   $W\left(a\right)={\frac {\langle \psi |{\mathcal {P}}_{a}|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}:={\frac {\langle \psi |a\rangle \langle a|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}={\frac {|\langle a|\psi \rangle |^{2}}{\|\psi \|^{2}}}$

   Erwartungswert: $\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{i}a_{i}\;W(a_{i})={\frac {\langle \psi |\mathbf {A} |\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}$

   Operator in Diagonalform (Spektraldarstellung): $\mathbf {A} =\sum _{i}a_{i}\;|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$

   Der hermitesche Operator ${\mathcal {P}}_{a}:|\psi \rangle \mapsto |a\rangle \langle a|\psi \rangle$ ist die Projektion des Vektors $|\psi \rangle$ auf den Eigenvektor $|a\rangle$. Die Eigenzustände $\{|a_{i}\rangle \}$ sind ein vollständiges Orthonormalsystem. Jeder Zustand hat die Reihenentwicklung $|\psi \rangle =\sum _{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle .$

3. Bei einer idealen Messung (ideal bezieht sich hier auf den Unterschied zwischen Experiment und Theorie) der Observablen A geht der Zustand $|\psi \rangle$ des Systems in den zum Messwert $a_{i}$ gehörenden Eigenzustand $|a_{i}\rangle$ über.

Bornsche Regel: In die Verteilungen von gemessenen Daten gehen die Zustandsvektoren nur in Form der Betragsquadrate ihrer Komponenten $\langle a_{i}|\psi \rangle$ im jeweiligen Eigensystem ein. Die Phase ist beliebig wählbar.

Postulat 3 (Zeitentwicklung):

1. Die Zeitenwicklung eines Quantensystems von $t_{0}$ nach $t$ lässt sich durch einen unitären Zeitentwicklungsoperator $U\left(t,t_{0}\right)$ beschreiben. Er lässt die Norm von Zustandsvektoren unverändert und hat folgende Eigenschaften:

   $U^{\dagger }\left(t,t_{0}\right)=U^{-1}\left(t,t_{0}\right){,}\qquad \qquad U\left(t=t_{0},t_{0}\right)=1{,}\qquad \qquad U\left(t_{2},t_{1}\right)U\left(t_{1},t_{0}\right)=U\left(t_{2},t_{0}\right)$

2. Im Schrödinger-Bild genügt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors $|\psi \left(t\right)_{S}\rangle$ der Schrödinger-Gleichung:

   $i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \psi {,}t\rangle _{S}=\mathbf {\hat {H}} _{S}\vert \psi {,}t\rangle _{S}\qquad {\text{mit}}\qquad \vert \psi {,}t\rangle _{S}=U\left(t,t_{0}\right)\vert \psi {,}t_{0}\rangle _{S}$

   Dabei entspricht der Hamiltonoperator der klassischen Hamiltonfunktion für N Teilchen, in der die Orte, Impulse, Potenziale,... zu Operatoren verwandelt werden:

   $\mathbf {\hat {H}} =\sum _{i}^{N}\left[{\frac {1}{2m_{i}}}({\vec {p_{i}}}-e{\vec {A}}({\vec {r}}_{i}))^{2}+V({\vec {r}}_{i})\right]+\sum _{i<j}U({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})$

   Hinweis: Die Festlegung der Schrödingergleichung als fundamentale Gleichung der Quantenmechanik ist eine beliebige. Ebensogut kann die gesamte Quantenmechanik auch aus dem Heisenbergbild, der Dirac-Gleichung (bzw. aus anderen Bildern, wo die Begriffe positives Skalarprodukt und Unitarität einen Sinn haben) entwickelt werden.

Kommentar. So trocken-formal die Postulate auch herkommen, so umwälzend und umstritten waren ihre Konsequenzen für das Weltbild der Physik. Dem Schema zufolge schalten die Quantensysteme um zwischen zwei grundverschiedenen Regeln, der unitären ungestörten Zeitentwicklung (Postulat 3) und dem nicht-unitären Zusammenbruch (Postulat 2), wenn sie messbar mit der Außenwelt reagieren. Auf der einen Seite gibt es eine Differenzialgleichung der Wellenfunktion, die deterministische, eindeutige, vorwärts und rückwärts in der Zeit zu berechnende Lösungen hat. Auf der anderen Seite passiert bei jeder Beobachtung oder Messung eine rätselhafte Lotterie, volkstümlich: ein Quantensprung. Stochastisch wird ein Eigenwert zu dem Operator ausgewählt, auf den der Beobachter sein Experiment eingestellt hat. Die Wellenfunktion wird dabei irreversibel zerstört und erleidet einen Kollaps auf die Eigenfunktion zum Messwert. Die Welle ist in keiner Weise direkt messbar; der Mond existiert nicht, solange keiner hinsieht, spottete Einstein. Nur die Eigenwerte der Messungen existieren. Bei nicht vertauschbaren Operatoren sind die entsprechenden Größen nicht gleichzeitig definiert. Die Streuungen solcher Werte sind fundamental durch Heisenbergs Unschärfe nach unten begrenzt. Also würfelt Gott, Einstein zum Trotz.

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist die grundlegende Gleichung der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Sie entsteht, wenn die klassische Beziehung zwischen Energie, Impuls und Masse von Teilchen so mit de Broglies Beziehungen von Energie zu Frequenz und von Impuls zu Wellenlänge verknüpft wird, dass eine lineare homogene Wellengleichung herauskommt. Aus ihr folgen die Unschärferelation, die Drehimpulsquantelung und viele weitere Dinge, die die Quantenmechanik ausmachen. Für ein Teilchen der Masse m (etwa ein Elektron) im Potenzial V (etwa das eines Atomkerns) lautet sie:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}},t)\right)\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)$

Dabei ist $\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ der Laplace-Operator und $\hbar$ das Plancksche Wirkungsquantum. Die freie Materiewelle nach de Broglie mit $V=0;\;E={\vec {p}}^{2}/(2m);\;\psi =e^{i({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar }$ erfüllt erwartungsgemäß die Gleichung. Der imaginäre Faktor i sorgt dafür, dass es zeitperiodische Lösungen gibt, also Schwingungen bei nur erster Zeitableitung. Der Ausdruck auf der linken Seite wird Hamilton-Operator $H$ genannt:

$H:=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}},t).$

Die Lösung $\psi ({\vec {r}},t)$ dieser partiellen Differentialgleichung ist die Wellenfunktion die das Teilchen im Potenzial V beschreibt. Was sagt diese Wellenfunktion aber aus?

Statistische Interpretation

Die Wellenfunktion kann nach Born so verstanden werden, dass sie die Verteilung der Wahrscheinlichkeit beschreibt, bei einer Messung das Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen. Da $\psi$ im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist, wird das Betragsquadrat $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right|^{2}$ als Wahrscheinlichkeit genommen. Quadrat warum? Plausibel als Analogie zum Elektromagnetismus. Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist proportional zu dessen Quadrat. Wenn es aus Energiequanten besteht, dann misst das Quadrat des Wellenfeldes auch die relative Häufigkeit solcher Photonen.
Die Zustandsfunktion beschreibt ein Ensemble, kein Einzelexemplar. Zum Vergleich Experiment-Theorie wird an sehr vielen unabhängigen, gleichartig präparierten Systemen gemessen. Die Deutung als Wahrscheinlichkeit bringt einige Forderungen mit sich, die wir an die Wellenfunktion stellen müssen:

• An irgendeinem Ort muss sich das Teilchen befinden, daher muss die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben: $\int d^{3}r\left|\psi ({\vec {r}},t)\right|^{2}=1$ bei Integration über den gesamten Raum. Dies ist die Normierungsbedingung.
• Um diese Bedingung zu erfüllen muss $\psi$ quadratintegrabel sein, das heißt dieses Integral muss überhaupt bestimmt sein. Die Funktion ist für jeden Zeitpunkt t ein Zustands-Vektor im komplexen Hilbertraum $L_{2}(\mathbb {R} ^{3}).$
• Daraus folgt auch, dass $\psi$ im Unendlichen auf 0 abfällt, was uns noch bei einigen Rechnungen zugute kommt.

Das alte Modell des zeitabhängigen Massenpunktes verschwimmt zu einer zeitabhängigen "Wolke" im Ortsraum, zum Zustandsvektor in Dirac-Notation $|\psi ,t\rangle .$ Uns kommt eine Eigenschaft der Schrödinger-Gleichung zugute, die die Erfüllung der ersten Bedingung vereinfacht: sie ist linear! Damit lässt sich eine beliebige quadratintegrable Wellenfunktion normieren: Ist $\int d^{3}r\left|\psi ({\vec {r}},t)\right|^{2}=a$, dann erfüllt die Funktion $\psi '({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi ({\vec {r}},t)$ ebenfalls die Schrödinger-Gleichung (wie man sich leicht durch Einsetzen klar machen kann), und zusätzlich die Normierungsbedingung.

Es seien noch zwei übliche Größen der Statistik erwähnt:

• Der Erwartungswert einer Größe Q: $\left\langle Q\right\rangle =\int d^{3}r\;\psi ^{*}({\vec {r}},t)Q\psi ({\vec {r}},t)$, dabei ist $\psi ^{*}$ das komplex konjugierte $\psi$. Der Erwartungswert gibt die Mittelung einer Größe gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit an. Zu beachten ist, dass diese Mittelung keineswegs dem wahrscheinlichsten Wert entsprechen muss.
• Die Standardabweichung: $\sigma _{Q}^{2}=\left\langle Q^{2}\right\rangle -\left\langle Q\right\rangle ^{2}$. Sie gibt an, wie weit ein Wert gestreut ist.

(Das Produkt $Q^{n}\psi$ ist hier die n-fache Anwendung eines linearen Operators Q und $\langle Q^{n}\rangle =\int d^{3}r\;\psi ^{*}({\vec {r}})(Q^{n}\psi )({\vec {r}}).$)

Bemerkungen. Das Superpositionsprinzip, also die streng lineare Form der Schrödinger-Gleichung, und die streng quadratische Form der Wahrscheinlichkeitsdichte (Bornsche Regel) gehören zusammen. Die Dichte muss nämlich eine Kontinuitätsgleichung erfüllen, von der Art "Zeitableitung der Dichte gleich Divergenz einer Strömung". Das heißt, die totale Wahrscheinlichkeit = 1 ist erhalten. Die Invarianz der Theorie unter Phasendrehungen bewirkt diese Erhaltung nach dem Satz von Noether. Und die Noetherschen Ströme für lineare Gleichungen sind nun mal quadratische Formen.
Weder das Superpositionsprinzip noch die Regel von Born lassen sich plausibel aus anderen Axiomen herleiten -- sie gehören zu den fundamentalen Postulaten der Quantenmechanik. Geringste Abweichungen von den Potenzen 1 bzw. 2 hätten verheerende theoretische Folgen.

Nach einem nichttrivialen Satz von Gleason bleibt die quadratische Wahrscheinlichkeit die einzige Wahl auf Hilbert-Räumen, wenn Stetigkeit, Additivität für orthogonale Projektionen und Unabhängigkeit vom Kontext (vom Spektrum der Observablen) verlangt werden. Beispiele von Kochen und Specker verbieten Zustandsfunktionen, die auf allen Orthogonalsystemen jeweils ein Wahrscheinlichkeitsmaß wären. Dies gilt als Beleg dafür, dass es keine kontextfreien (von Operator-Wahl unabhängigen) versteckten Zustandsvariablen gibt. Keine Naturbeschreibung ist schärfer als die mit Wellenfunktionen. Man kann nicht tiefer graben.

Die konstante Gesamt-Wahrscheinlichkeit ist das Quadrat der Hilbertvektor-Norm der Wellenfunktion. Die Gleichung $i\hbar \;\partial _{t}\Psi =H\Psi$ muss also eine unitäre Zeitentwicklung abliefern. Der Hamilton-Operator $H$ ist als hermitescher Operator die infinitesimale Version eines solchen unitären Operators.

Ist der Kollaps der Welle bei Messungen ein plötzlicher unstetiger Vorgang am atomaren Objekt? Nein, nur die mathematische Korrektur der Anfangsbedingungen der Schrödinger-Gleichung, jedes Mal wenn das beobachtete Exemplar seinen zufälligen aber präzisen Messwert liefert. Wird etwa im Doppelspaltversuch die Information über den Weg eines Teilchens herausgekitzelt, muss es von dem Punkt an mit einer neuen Kugelwelle weitergehen. Die kann keine Interferenzen mehr abgeben.

Der Zufall regiert über alle elementaren Ereignisse mit Quanten. Keine tiefer liegenden Ursachen dafür wurden ausgemacht. Eine abschnittsweise gültige Wellengleichung ist die einzige bekannte Rechenhilfe.

Freies Teilchen

Zum besseren Verständnis der Schrödinger-Gleichung betrachten wir nun zunächst ein freies Teilchen ($V=0$). Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \right)\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)$

Diese Gleichung hat Lösungen der Form:

$\psi ({\vec {r}},t)=Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$

wobei

$A=\mathrm {konst.}$

und

$\omega ={\frac {\hbar {\vec {k}}^{2}}{2\cdot m}}$

ein Vergleich dieser letzten Gleichung mithilfe der Einstein-De-Broglie-Beziehung ergibt eine Übereinstimmung mit:

$E={\frac {p^{2}}{2\cdot m}}$

Da die Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und in $\psi$ linear und homogen ist, gilt für sie das Superpositionsprinzip, d.h. jede Linearkombination von Lösungen ist wieder eine Lösung. Solche Überlagerungen kann man als Integral darstellen:

$\psi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\cdot g({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega ({\vec {k}})t)}$

Der Exponentialfaktor hat Werte vom Betrag 1 und ist eine fortschreitende Welle in Richtung des Vektors ${\vec {k}}$ mit der Kreisfrequenz $\omega ({\vec {k}})$. Beschränkt man sich auf den eindimensionalen Fall, so ergibt sich:

$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dk\cdot g(k)e^{i(kx-\omega (k)t)}$

Setzt man die Zeit $t=0$, so ergibt sich:

$\psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dk\cdot g(k)e^{ikx}$

Vergleicht man dies mit einer Fourier-Transformation, so sieht man, dass $g(k)$ die Fourier-Transformierte von $\psi (x,t=0)$ ist:

$g(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\cdot \psi (x,t=0)e^{-ikx}$

Aus der Theorie der quadrat-integrierbaren Funktionen folgt, das diese beiden letzten Gleichungen nicht nur für ein freies Teilchen, sondern für jedes Teilchen in einem beliebigen Potenzial gelten. Die Fourier-Transformation zerlegt jede geeignete Funktion in eine Summe von ebenen Wellen. Doch nur für die potenzialfreie Gleichung ist jede einzelne ebene Welle schon eine Lösung.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Wenn man ein zeitlich konstantes Potential $V({\vec {r}})$ annimmt, lässt sich die Schrödinger-Gleichung mit Hilfe eines Separationsansatzes $\psi ({\vec {r}},t)=\phi ({\vec {r}})\cdot f(t)$ vereinfachen:

$-f(t){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})\phi ({\vec {r}})f(t)=\phi ({\vec {r}})i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f(t)$

Teilt man durch $\phi ({\vec {r}})\cdot f(t)$ sind die Variablen ${\vec {r}}$ und $t$ getrennt, stehen also nur noch auf je einer Seite der Gleichung:

$-{\frac {1}{\phi ({\vec {r}})}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})={\frac {1}{f(t)}}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f(t)$

Es lässt sich also jede Seite als konstant in "ihrer" Variablen auffassen:

$-{\frac {1}{\phi ({\vec {r}})}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})=const.=E$

${\frac {1}{f(t)}}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f(t)=const.=E$

Dabei nennen wir die Konstante E. Warum, werden wir später noch sehen. Betrachten wir zunächst die zweite Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial t}}f(t)={\frac {E}{i\hbar }}f(t)$

Potenzialtopf der Vibrationen eines Moleküls

Diese einfache Differentialgleichung wird gelöst durch $f(t)=\exp \left(\omega t\right)$, wobei man durch Einsetzen $\omega$ erhält, womit der Zeitanteil der Wellenfunktion im Falle eines zeitunabhängigen Potentials lautet:

$f(t)=\exp \left(-i{\frac {E}{\hbar }}t\right)$

Nun zum Ortsanteil. Dieser ist bekannt als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}})\right)\phi ({\vec {r}})=E\phi ({\vec {r}})$

Für zeitunabhängige Potentiale haben wir die Lösung des Problems somit darauf vereinfacht, nur noch den Ortsanteil bestimmen zu müssen. Kurz, $\mathbf {H} \phi =E\phi$ ist eine Eigenwert-Gleichung. Mit einer Eigenfunktion $\phi ({\vec {r}})$ wird $\psi ({\vec {r}},t)=\phi ({\vec {r}})e^{-iEt/\hbar }$ eine stationäre Lösung der Schrödinger-Gleichung. Das heißt, genau eine der Lösungen, die eine zeitlich konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort haben: $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}=|\phi ({\vec {r}})|^{2}.$

• Hier: Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

finden sich viele Beispiele zur eindimensionalen zeitunabhängigen Gleichung. In Potenzialtöpfen nimmt ein Teilchen diskrete Energie-Niveaus an. Es kann auch per Tunneleffekt die Wände durchqueren, da die Wellenfunktion exponentiell abfallende Ausläufer da hat, wo klassische Mechanik den Weg verbietet.

Umgang mit Operatoren

Messung von Quantensystemen

Die Kopenhagener Interpretation nach Bohr sieht die Quantenobjekte und die klassisch zu beschreibenden Messgeräte als zwei getrennte Welten. Die Quantenmechanik allein sei unfähig zu sagen, wie die Zustandsänderung eines Systems bei Messungen abläuft. Ist die Theorie unvollständig? Wie funktioniert dieser geheimnisvolle Kollaps? Warum reichen Gleichungen wie die von Schrödinger nicht aus, um die Natur in allen Dimensionen zu beschreiben, Atomkern bis makroskopisch? Seit fast einem Jahrhundert wird gerätselt, wie der Formalismus der Theorie auszulegen sei. Es herrscht Einigkeit über Algorithmen und Rechenmethoden, aber nicht beim Versuch, den Sinn des Ganzen zu erfassen. Feynman konnte mit Sicherheit sagen, niemand verstehe wirklich die Quantenmechanik.

• Zum Problem der Messungen hier: Quantenmechanik/ Messungen

Darstellungen

In der Geometrie können Punkte in diversen Koordinaten dargestellt werden. Das Dreibein eines kartesischen Koordinatensystems darf verschoben und gedreht werden. Auch krummlinige Koordinaten, wie Kugelkoordinaten, sind möglich. Analog dazu kann auch ein Quanten-Zustand bezogen auf verschiedene Basen oder Orthonormalsysteme dargestellt werden. In der Ortsdarstellung liegt er in der ursprünglichen Form als Wellenfunktion vor. Die Koordinaten sind die Funktionswerte an jedem Raumpunkt. Die Basis besteht aus Deltafunktionen. Sie sind die Eigenvektoren des Ortsoperators.

In der Impulsdarstellung ist die Basis die Menge der ebenen Wellen, die dann im Impulsraum als Deltafunktionen auftreten. Die Koordinaten einer allgemeinen Wellenfunktion sind die Fourier-Koeffizienten. Der Wellenvektor ist der Eigenwert, der zu jeder Basisfunktion gehört.

Mehr zu diesen und anderen Darstellungen auf der Unterseite

Heisenbergsche Unschärferelation

Nach den Postulaten der Theorie ergeben sich alle Messwerte, die aus atomar kleinen Systemen herauszuholen sind, als Eigenwerte von Operatoren. Unmittelbar nach der Messung wird die ganze verfügbare Information zum System reduziert auf einen Eigenvektor oder Eigenzustand. Viele Paare von Operatoren, wie die von Ort und Impuls, sind nicht vertauschbar und haben keine gemeinsamen Eigenvektoren. Man kann nicht beide Attribute ans selbe Objekt anheften. Die Ortsmessung zerstört die genaue Kenntnis des Impulses und umgekehrt. Die quantitative Analyse dieser Unverträglichkeit, und damit der Unmöglichkeit von klassischen Teilchenbahnen, ist Heisenberg zu verdanken.

• Unterseite zur Unschärferelation

Quantentheoretische Bilder und Zeitentwicklung

In Postulat 3 wurde als Zustandsgleichung für die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems, die sog. Schrödinger-Gleichung angegeben. Dies entspricht der Darstellung der Quantenmechanik in einem speziellen Bild, in diesem Fall im Schrödinger-Bild. Wegen der Invarianz aller physikalischen Größen unter unitären Transformationen, gibt es jedoch eine unendliche Anzahl äquivalenter Bilder mit denen die Quantenmechanik beschrieben werden kann. Neben dem angesprochenen Schrödinger-Bild, sind das Heisenberg- und das Dirac-Bild noch von besonderem Intresse. In diesem Abschnitt sollen deswegen die verschiedenen quantenmechanischen Bilder und die entsprechenden Transformationen besprochen werden.

• Unterseite zur Zeitentwicklung

Der Harmonische Oszillator

Dieses wichtige eindimensionale Quantensystem zeigt beispielhaft, wie die Operator-Algebra eingesetzt werden kann, um das Spektrum zu erforschen. Die direkte Lösung der Schrödinger-Gleichung kommt da an zweiter Stelle.

• Harmonischer Oszillator

Drehimpuls

Der Drehimpuls der klassischen Mechanik ${\vec {x}}\times {\vec {p}}$ wird zu einem Operator auf dem Raum der Wellenfunktionen, indem der Impuls im Wesentlichen umgemünzt wird zu einer Ableitung nach den Ortskoordinaten. Die daraus folgende Operator-Algebra wird zuerst durchgerechnet, danach wird der Drehimpuls als Darstellung der Rotations-Symmetrie interpretiert und es wird errechnet, welches diskrete Spektrum von Quanten er hat.

• Drehimpuls-Algebra

• Drehimpulsquantelung

Der Spin

Atome mit einzelnem äußeren Elektron (Ag) werden im inhomogenen Magnetfeld nach zwei Ausrichtungen sortiert.

Mit den Stern-Gerlach-Experimenten wurde schon 1922 entdeckt, dass ein Strahl von Silberatomen sich nur in zwei Ausrichtungen des magnetischen Moments aufspalten lässt. Die Analyse von Drehimpulsen mit der Schrödinger-Gleichung erschafft aber nur ungeradzahlige Multipletts, weil diese zu den ganzzahligen Darstellungen der Algebra gehören, also Wellenfunktionen haben mit Winkelanteilen wie Kugelfunktionen. Man erkannte, dass das Elektron einen Freiheitsgrad mit halbzahligem Drehimpuls besitzt. Für diese Zustände musste ein neuer Vektorraum an die Wellenfunktion angeflanscht werden. Es war Neue Physik über die bekannte Wellengleichung hinaus.

• Spinoren Unterseite

Das Wasserstoffatom

Der erste realitätsnahe Testfall für die Schrödingersche Wellengleichung war und ist das einfachste Atom überhaupt. In nullter Näherung hat das Atommodell zwei punktfürmige Teilchen, das schwere Proton der Masse M und das leichte Elektron der Masse m. Deren genaue Strukturen wie Spins, magnetische Momente, Zusammenbau aus noch elementareren Freiheitsgraden, werden zunächst vernachlässigt. Die elektrostatische Anziehung ist die einzige Kraft im Spiel und leitet sich ab vom Coulomb-Potenzial

$V({\vec {R}},{\vec {r}})=-e^{2}/|{\vec {R}}-{\vec {r}}|.$

(Die theoretische Physik fühlt sich noch oft pudelwohl ohne SI-Einheiten.) Das Zweikörpersystem hat also mit den Impulsen $({\vec {P}},{\vec {p}})$ und den Ortskoordinaten $({\vec {R}},{\vec {r}})$ die Hamiltonfunktion

$H({\vec {R}},{\vec {P}},{\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2M}}+{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {R}}-{\vec {r}}),$

seine klassische Energie. Der Schritt zur Quantenphysik besteht darin, diese Funktion zu einem Operator zu erheben.

• Zuerst Berechnungen zum Coulomb-Zentralpotenzial: Unterseite

Die Energie-Eigenwerte der Radialgleichung werden nun ausgerechnet und stimmen haargenau mit der Energiequantelung überein, die das Bohrsche Atommodell geliefert hatte, bevor die Schrödinger-Gleichung entdeckt wurde.

• Zu den Lösungen der Gleichung: H-Atom-Spektrum

Wasserstoff-Atom, Niveaus (n,l): "erlaubte" Uebergänge

Spin-Bahn-Kopplung und Clebsch Gordan Koeffizienten

Systeme, die aus mehreren Teilchen und/oder Freiheitsgraden zusammengebaut sind, haben dennoch Zustände mit definierten Werten des Gesamt-Drehimpulses. Dank einer Symmetrie ihres Hamilton-Operators. Wie kann man diese Zustände kombinieren aus den Drehimpuls-Zuständen und Spin-Zuständen der entkoppelten Bausteine?
Manche physikalische Eigenschaften der Systeme haben ein vektorielles oder tensorielles Verhalten unter Drehungen, etwa Dipole, Quadrupole... Die entsprechenden Operatoren befolgen dann bestimmte Regeln, wenn sie auf Zustandsräume mit wohldefinierten Drehimpulsen stoßen. Darunter viele Verbote, allgemein Auswahlregeln, für die Dynamik von Übergängen wie sie beispielsweise mit zeitabhängiger Störungsrechnung behandelt werden.
Das Kapitel soll in die Rechentechnik mit diesen Dingen einführen.

• Drehimpuls-Kopplung

Näherungsmethoden

zeitunabhängige Störungstheorie

Variationsmethode

zeitabhängige Störung, Dynamik der Übergänge

WKB-Näherung

• Approximations-Methoden

• Numerische Schrödinger-Gleichung

• Übergänge zwischen Niveaus

Streutheorie

• Elastische Streuung am Zentralpotenzial: Potenzial-Streuung

Pfadintegralformulierung

• Zu kanonischem Formalismus und Funktionalintegral: Feynmans Pfadintegral

Doppelspalt-Experiment nach Aharonov-Bohm: Magnetfeld und Schrödingerwelle sind räumlich getrennt, aber der Magnetfluss verschiebt die Interferenzen.

Elektromagnetische Felder

• Eichinvarianz und Magnetfeld Unterseite zu Eichung,Magnetfeld,Zeeman-Effekt

Aharonov-Bohm-Effekt

Quantisierung des EM-Feldes

Elektron-Photon-WW

Identische Teilchen

• Permutationssymmetrie, Bosonen, Fermionen Unterseite

• Fock-Darstellung, Erzeuger und Vernichter Unterseite

Zwei-Elektronen-Systeme

• N-Fermionen-Systeme, zu Approximationsmethoden Unterseite

Symmetrien

• Symmetrien als Transformationen im Hilbert-Raum Unterseite

Versteckte Variablen ? Bell'sche Ungleichungen

• Bell-Ungleichungen

Relativistische Quantenmechanik

Vierervektoren

Einführung in Vierervektoren und Lorentztransformationen:

• Lorentzgruppe

Operatoren

In der Relativistischen Quantenmechanik gebräuchliche Operatoren sind:

Der Viererimpuls: $p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)=i\hbar \partial ^{\mu }$

Diese Operatoren produzieren auf ebenen Wellen, ob relativistisch oder nicht, die de-Broglie-Korrespondenz von Energie mit Frequenz und von Impuls mit Wellenvektor (reziproker Wellenlänge). Die relativistische Kinematik schreibt nun eine andere Gleichung zwischen Energie, Impuls und Masse von freifliegenden Teilchen als die nichtrelativistische. Im letzteren Fall führt das Einsetzen der Operatoren geradewegs zur Schrödinger-Gleichung, im ersteren zur Klein-Gordon-Gleichung. Doch Schrödinger in Person hatte die relativistische Gleichung unabhängig von Klein und Gordon schon auf Lager und schob sie schnell beiseite, denn sie hat zwei Strukturfehler:

• Sie hat kein relativistisch invariantes positiv-definites Skalarprodukt, also keinen Hilbertraum, keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation.
• Sie hat mit Potentialtöpfen keinen Grundzustand niedrigster Energie; alles würde zerfallen in Richtung Energie minus Unendlich.

Dann kam Diracs geniale Idee, Differentialoperatoren erster Ordung zu finden, die Quadratwurzeln des Klein-Gordon-Operators sind. Das gelang ihm mit den Dirac-Matrizen und ergab Wellengleichungen, die den Spin und das magnetische Moment des Elektrons spontan richtig erfassten und die auch Antiteilchen, die Positronen, enthielten. Ein positives Skalarprodukt konnte auch ausgemacht werden, aber das negativ unbegrenzte Energiespektrum war immer noch problematisch. Man behalf sich mit der Erklärung, dass das Vakuum aus einem See bestehe, der ganz mit Teilchen gefüllt sei. Wie bei Halbleitern seien dann die Anregungen Elektronen bzw. Löcher in Bezug auf ein solches Fermi-Niveau.

Die Dirac-Gleichung repariert dann auch weitgehend die Feinstruktur des Wasserstoff-Atoms, aber nicht ganz richtig. Eine experimentelle Lamb-Verschiebung (Lamb Shift) sorgt für Unordnung. Es wurde klar, dass es voreilig war, die Dirac-Gleichung wie die von Schrödinger als Einteilchen-Gleichung zuzulassen. Erst die Theorie der Quantenfelder, die systematisch beliebiege Zahlen von Teilchen, Elektronen, Positronen, Photonen, erzeugen und vernichten kann, und insbesondere die Quantenelektrodynamik, brachte eklatante Erfolge. Der Lamb-Shift und das magnetische Moment des Elektrons konnten mit souveräner Genauigkeit ausgerechnet werden.

Wellengleichungen

Die wichtigen Wellengleichungen, die bei Lorentz-Transformationen intakt bleiben, sind hier behandelt:

• Relativistische Wellengleichungen

Quantenfelder

Die folgenden Unterseiten beschäftigen sich mit der Feldtheorie, einer Version der relativistischen Quantenmechanik, die Prozesse mit vielen Teilchen beschreibt, deren Zahl und Typ nicht konstant sind. Insbesondere sollen zwei Fragen beantwortet werden, zwar nicht gründlich, aber einigermaßen ausreichend für einen ersten Duchgang.

• Was ist die Quantenelektrodynamik?
• Wie kommen die Feynman-Diagramme zustande?

• Kanonische Quantisierung von Feldern

• S-matrix und Feynman-Graphen

Anhang

Die Verzeichnisse zu Personen und Sachen sind Links zu Wikipedia (deutsch). Zu ergänzen.

• Quantenmechanik/ Anhang

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