Benutzer:Samuel Adrian Antz/Drafts

Geplante oder begonnene Erstellung, Übersetzung oder starke Ausarbeitung

Mathematik

• Algebraische Topologie: Homotopietheorie, Homotopiegruppen von Sphären, Satz von Hurewicz
• Differentialgeometrie: Banach-Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Mannigfaltigkeiten, Nash-Moser-Umkehrsatz, Bündelmetrik
• Differentialtopologie: Exotische euklidische Räume, Exotische Sphären, Milnor-Sphäre

Science-Fiction

• Asiatische Science-Fiction-Filme und Serien: Three-Body, Three-Body Animation, Shanghai Fortress, Warriors of Future, Jung_E, The Silent Sea, Crazy Alien
• Romane von Andy Weir: Artemis
• Sonstige Romane: Die Kolonie, Die letzte Astronautin

Fehlt noch und könnte erledigt werden

Whitehead-Produkt, Generalisiertes Whitehead-Produkt, Poincaré-Homologiesphäre, Homotopiesphäre, Unitäre Transformation (Quantenmechanik), Hopf-Invariante, J-Homomorphismus, Holomorphe Kurve, Gray-Vermutung, Kohomotopie, Steenrod-Problem, Eckmann–Hilton-Argument, Garding-Ungleichung

Dold-Mannigfaltigkeit

Eine Dold-Mannigfaltigkeit ist

Weblinks

• Dold manifold auf nLab (englisch)

Kurzgeschichten von Greg Egan

Orakel (im Original Oracle) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht in Asimov's Science Fiction im Juli 2000. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009, Oceanic im Jahr 2009 und The Best of Greg Egan im Jahr 2019.

Handlung

Robert Stoney, eine alternative Version von Alan Turing, veröffentlicht ein Paper über eine vierdimensionale Yang-Mills-Theorie der Gravitation. Daraufhin sucht ihn die ihm unbekannte Helen auf und enthüllt, aus einem alternativen Ablauf der Geschichte zu stammen und die antiselbstdualen und selbstdualen Lösungen der Theorie für Reisen vorwärts und rückwärts durch die Zeit zu verwenden. Robert erkennt, dass Helen eine Maschine ist und bekommt von ihr fortgeschrittenes Wissen anvertraut. Dies fällt seinem Kollegen John Hamilton auf, einer alternativen Version von XXXX, und dieser fordert ihn daraufhin zu einer öffentlichen Diskussion darüber auf, ob Maschinen denken können. John argumentiert mithilfe des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes dagegen und erklärt ebenfalls das Halteproblem um zu zeigen, dass ein Orakel nicht existieren kann. Helen behauptet als Maschine jedoch, durch ihre Fähigkeit zur Zeitreise selbst ein Orakel zu sein.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Polnisch, Spanisch, Japanisch von Makoto Yamagishi, Französisch und Chinesisch (2024) übersetzt.

Kritik

Publishers Weekly schreibt über die Kurzgeschichte, dass Egan zeitweise ziemlich schwer sein kann („Egan can be heavy-handed at times“), der Charakter von Jack wie eine Strohmann-Version von C.S. Lewis wirke („the character Jack serves as a straw-man version of C.S. Lewis“) sowie dass Egans Talent für gut gezeichnete Charaktere scheint („Egan’s talent for creating well-drawn characters shines“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Cocoon (englisch für Kokon) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in der Sammlung Luminous im Jahr 1998.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde auf Japanisch, Französisch, Griechisch, Spanisch, Tschechisch und Koreanisch übersetzt.

Kritik

Karen Burnham schreibt in Greg Egan (Masters of Modern Science Fiction), dass die Kurzgeschichte eine geradlinige Beschäftigung mit Bioethik aufweist („a straightforward bioethics story“) und die verschiedenen Argumente sowie die politisch aufgeladene Natur solcher Fragen sehr effektiv aufzeigt („develops its different arguments and illustrates the politicized nature of all such questions very effectively“).

Literatur

• Karen Burnham: Greg Egan (Modern Masters of Science Fiction) (= Modern Masters of Science Fiction). University of Illinois Press, 2014, ISBN 978-0-252-03841-9 (englisch). 

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Hot Rock (englisch für Heißer Stein) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Novelette erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009 und Oceanic im Jahr 2009. Die Novelette spielt im gleichen Unviersum wie die Novelette Glory, die Novelle Riding the Crocodile und der Roman Incandescence von Greg Egan.

Handlung

Azar lässt ihr Bewusstsein über das Kommunikationsnetzwerk der außerirdischen Zivilisation der Amalgam über tausendfünfhundert Lichtjahre entfernt zur Raumstation Mologhat schicken. Diese befindet sich im Orbit um den ohne Stern durch den interstellaren Raum fliegenden Planemo Talullah. Azar trifft Shelma und zusammen landen beide auf Tallulah mit dem Ziel, den Grund hinter dessen ungewöhnlich hoher Temperatur zu finden. Sie erschaffen Körper ähnlich zu den außerirdischen echsenartigen Kreaturen, die im Ozean leben und offenbaren sich diesen als fremde Besucher.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Koreanisch und Chinesisch übersetzt.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Seventh Sight (englisch für Siebte Sicht) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Kritik

Publishers Weekly schreibt, dass die Kurzgeschichte unerwartet großartig und humanistisch sei („unexpectedly gorgeous and humanistic“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Break my Fall (englisch für Brems meinen Fall) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Höhere Kategorientheorie

Eine Kategorifizierung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die XXXX.

Die Grothendieck-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Konstruktion XXXX.

Weblinks

• Grothendieck construction auf nLab (englisch)

Höhere Kategorientheorie ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung der Kategorientheorie.

Weblinks

• higher category theory auf nLab (englisch)

Ein Segal-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller simplizialer topologischer Raum. In der höheren Kategorientheorie können vollständige Segal-Räume als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Kategorien. Benannt sind Segal-Räume nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume, dann ist $\mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen topologischen Räume. Die Kategorie der Segal-Räume ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sTop}$. Durch Nachkomposition mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und dem XXXX $\tau \colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Cat}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$, welcher Segal-Räume auf Segal-Kategorien abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal space und complete Segal space auf nLab (englisch)

Eine Segal-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle simpliziale lokal kleine Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Räume. Benannt sind Segal-Kategorien nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Cat}$ die (nicht lokal kleine) Kategorie der lokal kleinen Kategorien, dann ist $\mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen lokal kleinen Kategorien. Die Kategorie der Segal-Kategorien ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sCat}$. Durch Nachkomposition mit dem Nerv $N\colon \mathbf {Cat} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sCat} \rightarrow \mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$, welcher Segal-Kategorien auf Segal-Räume abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal category auf nLab (englisch)

Eine Faserung von simplizialen Mengen ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller Morphismus zwischen simplizialen Mengen mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich Horninklusionen.

Weblinks

• right/left Kan fibration auf nLab (englisch)

Eine Kan-Faserung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Faserung von simplizialen Mengen, nämlich eine mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich aller Horninklusionen.

Kan-Komplexe

Ein Kan-Komplex ist eine simpliziale Menge, für welche der eindeutige terminale Morphismus eine Kan-Faserung ist. Konkret ist also eine simpliziale Menge $X$ ein Kan-Komplex, wenn $X\rightarrow \Delta ^{0}$ eine Kan-Faserung ist, oder äquivalent jeder Morphismus $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow X$ für $n\geq 1$ und $0\leq k\leq n$ über die kanonische Inklusion $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ faktorisiert.

Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid. Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f\colon x\rightarrow y$ ein $1$-Simplex zwischen $0$-Simplizes $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$. Für den Morphismus $\Lambda _{0}^{2}\rightarrow X$ mit $(0\rightarrow 1)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{x}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $1\rightarrow 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $\Lambda _{2}^{2}\rightarrow X$ mit $(1\rightarrow 2)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{y}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $0\rightarrow 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.

Jedes ∞-Gruppoid ist ein Kan-Komplex.

Weblinks

• Kan fibration und Kan complex auf nLab (englisch)

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0 (englisch, mit.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Eine stabile ∞-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie eine spezielle ∞-Kategorie.

Weblinks

• stable (infinity,1)-category auf nLab (englisch)

Ein ∞-Topos ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Topos, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Topos sich ähnlich wie die Kategorie der Prägarben von Mengen auf einem topologischen Raum verhält, verhält sich ein ∞-Topos ähnlich wie die ∞-Kategorie der Prägarben von Räumen auf einer kleinen ∞-Kategorie.

Weblinks

• (infinity,1)-topos und (infinity,1)Topos auf nLab (englisch)

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.

Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden.

Weblinks

• infinity-groupoid auf nLab (englisch)

Die Homotopiehypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden können.

Hintergrund

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume und $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen. Mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Sei $\mathbf {CW}$ die Kategorie der CW-Komplexe und $\mathbf {Kan}$ die Kategorie der Kan-Komplexe. Da der singuläre Funktor stets ein Kan-Komplex und die geometrische Realisierung stets einen CW-Komplex ist, ergibt sich eine Einschränkung $|-|\colon \mathbf {Kan} \leftrightarrows \mathbf {CW} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Formulierung

Konkret besagt die Homotopiehypothese, dass die ∞-Kategorie der ∞-Gruppoide äquivalent zur simplizialen Lokalisierung der Kategorie der topologischen Räume an den schwachen Homotopieäquivalenzen ist. Bei der Modellierung von ∞-Gruppoiden durch Kan-Komplexe folgt daraus insbesondere das auch aus der CW-Approximation ableitbare Resultat, dass sich jeder schwache Homotopietyp durch eine geometrische Realisierung ausdrücken lässt. Eine allgemeinere Aussage mit Homotopieäquivalenzen gilt nicht, jedoch unter Einschränkung auf XXXX und die Kategorie der CW-Komplexe mithilfe des Satzes von Whitehead.

Weblinks

• homotopy hypothesis auf nLab (englisch)

Stabilisierungshypothese

Die Stabilisierungshypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass XXXX.

Weblinks

• stabilization hypothesis auf nLab (englisch)

Topologische Gruppentheorie

Eine topologische Halbgruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer Halbgruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Halbgruppen

Die Kategorie der topologischen Halbgruppen wird als $\mathbf {TopHGrp}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {HGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {HGrp}$, der Kategorie der Halbgruppen.

Ein topologisches Monoid ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Monoides ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Monoide

Die Kategorie der topologischen Monoide wird als $\mathbf {TopMon}$ bezeichnet. Ebenfalls üblich ist $\mathbf {Mon} (\mathbf {Top} )$, die Notation für die Kategorie der Monoid-Objekte in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Mon}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {Mon}$, der Kategorie der Monoide.

Weblinks

• topological monoid auf nLab (englisch)

Eine topologische abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer abelschen Gruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen abelschen Gruppen

Die Kategorie der topologischen abelschen Gruppen wird als $\mathbf {TopAbGrp}$ oder kurz $\mathbf {TopAb}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {AbGrp}$, der Kategorie der abelschen Gruppen.

$\mathbf {TopAbGrp}$ ist keine abelsche Kategorie. Solche kategorientheoretischen Konflikte der Vereinigung von Topologie und Algebra führten zur Entwicklung der verdichteten Mathematik durch Peter Scholze und Dustin Clausen im Jahr 2018.

Weblinks

• topological abelian group auf nLab (englisch)

Ein topologisches Modul ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Moduls über einem topologischen Ring ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Ein Protorus ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, deren zugrundeliegende Topologie sowohl kompakt als auch zusammenhängend ist.

Eine lokalkompakte abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• locally compact topological group auf nLab (englisch)

Ein lokalkompakte Quantengruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine XXXX.

Ein lokalkompakter Körper ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra ein spezieller topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• topological field auf nLab (englisch)

Homotopietheorie

Die Homotopiehochhebungseigenschaft (abgekürzt HLP für englisch homotopy lifting property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopiehochhebungseigenschaft der Homotopieerweiterungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Faserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopiehochhebungseigenschaft haben wieder die Homotopiehochhebungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy lifting property auf nLab (englisch)

Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieerweiterungseigenschaft (abgekürzt HEP für englisch homotopy extension property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopieerweiterungseigenschaft der Homotopiehochhebungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Kofaserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopieerweiterungseigenschaft haben wieder die Homotopieerweiterungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy extension property auf nLab (englisch)Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieausschneidungseigenschaft ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein zum Ausschneidungsaxiom der axiomatischen Homologie analoges Resultat für Homotopie. Es folgt aus der allgemeinen Formulierung des Blakers-Massey-Theorems und impliziert selbst den Freudenthalschen Einhängungssatz.

Fluiddynamik

Ein Beltrami-Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches parallel zur eigenen Rotation ist. (Senkrecht zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein komplex lamellares Vektorfeld.) Benannt sind Beltrami-Vektorfelder nach Eugenio Beltrami.

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein Beltrami-Vektorfeld. Alternativ gibt es eine glatte Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit:

$\nabla \times \mathbf {A} =f\mathbf {A} .$

Eigenschaften

Ist ein Beltrami-Vektorfeld $\mathbf {A}$ zusätzlich quellenfrei mit $\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {A} )} _{=0}-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (f\mathbf {A} ).$

Ist die Funktion $f$ zusätzlich konstant, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =-\nabla \times (\lambda \mathbf {A} )=-\lambda \nabla \times \mathbf {A} =-\lambda ^{2}\mathbf {A} .$

Ein komplexes lamellares Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches senkrecht zur eigenen Rotation ist. (Parallel zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein Beltrami-Vektorfeld.)

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein komplexes lamellares Vektorfeld.

Das magnetische Skalarpotential ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine für die Beschreibung spezieller Magnetfelder nützliche Hilfsgröße.

Beschreibung

Für ein stationäres elektromangetisches Feld mit verschwindender elektrischer Stromdichte, also mit $\mathbf {j} =\mathbf {0}$und ${\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {0}$, wie es etwa bei gewöhnlichen Magneten der Fall ist, folgt mit dem Ampéreschen Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung) $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ direkt:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Gemäß der Helmholtz-Zerlegung existiert daher ein Skalarfeld $\psi$ mit:

$\mathbf {B} =\nabla \psi ,$

welches magnetisches Skalarpotential genannt wird.

Literatur

• W.J. Duffin: Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill, 1980, ISBN 0-07-084111-X (englisch). 

• Jack Vanderlinde: Classical Electromagnetic Theory. 2005, ISBN 1-4020-2699-4, doi:10.1007/1-4020-2700-1 (englisch, cern.ch). 

Ein Beltrami-Fluss ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein spezieller Fluss, deren Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) parallel zueinander sind. Benannt sind Beltrami-Flüsse nach Eugenio Beltrami.

Der Lamb-Vektor ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, das Kreuzprodukt von Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) des Fluids. Benannt ist der Lamb-Vektor nach Horace Lamb.

Die Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\nabla \times \left(-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -{\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {(\lambda +\mu )\nabla (\mathbf {v} \cdot \nabla )}{\rho }}+{\frac {\mathbf {f} }{\rho }}\right)={\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {v} )-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} ){\boldsymbol {\omega }}-{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \nabla \times \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {\mu \nabla \rho \times \Delta \mathbf {v} }{\rho ^{2}}}-{\frac {(\lambda +\mu )\nabla \rho \times \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}{\rho ^{2}}}+\nabla \times {\frac {\mathbf {f} }{\rho }}$

Die barotropische Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

Die vektorwertigen Kugelflächenfunktionen sind

Ein Burgers-Wirbel (oder Burgers-Rott-Wirbel) ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Burgers-Wirbel von Jan Burgers im Jahr 1948 und später untersucht von Nicholas Rott im Jahr 1958.

Ein Kerr-Dold-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Kerr-Dold-Wirbel von Oliver S. Kerr und John W. Dold im Jahr 1994.

Ein Sullivan-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Sullivan-Wirbel von Roger D. Sullivan im Jahr 1959.

Ein Batchelor-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine approximative aber nicht exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Erstmals beschrieben und benannt wurde der Batchelor-Wirbel vom australischen Mathematiker und Physiker George Keith Batchelor im Jahr 1964.

Weblinks

• Continuous spectra of the Batchelor vortex (geschrieben von Xueri Mao und Spencer Sherwin, veröffentlicht vom Imperial College London)

Ein Taylor-Green-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten. Gefunden wurde der Taylor-Green-Wirbel vom britischen Mathematiker und Physiker Geoffrey Ingram Taylor und Albert Edward Green im Jahr 1937.

Lusternik-Schnirelmann-Theorem

Das Lusternik-Schnirelmann-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Sphären durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Lusternik-Schnirelmann-Theorem nach den sowjetischen Mathematikern Lasar Aronowitsch Lusternik und Lew Genrichowitsch Schnirelmann im Jahr 1930. Es ist äquivalent zum Satz von Borsuk-Ulam aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Tucker aus der Kombinatorik.

Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma

Das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Simplizes durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma von den polnischen Mathematikern Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahr 1929. Es ist äquivalent zum Fixpunktsatz von Brouwer aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Sperner aus der Kombinatorik.

Homogene elektromagnetische Wellengleichung

Die homogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung ohne Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer homogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Inhomogene elektromagnetische Wellengleichung

Die inhomogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung mit Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer inhomogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Elektrovakuumlösung

Eine Elektrovakuumlösung ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes, genannt Elektrovakuumgleichungen (oder Einstein-Maxwell-Gleichungen).

Elektrovakuumgleichungen

Die Elektrovakuumgleichungen sind gegeben durch:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Die Kontraktion mit $g^{\mu \nu }$ führt mit $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ und $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$ auf:

$R=0.$

Eingesetzt in die Elektrovakuumgleichungen ergibt sich die Vereinfachung:

$R_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Beispiele

• Reissner-Nordström-Metrik (nicht rotierend und ohne dunkle Energie)
• Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz RN(A)dS-Metrik, nicht rotierend und mit dunkler Energie)
• Kerr-Newman-Metrik (rotierend und ohne dunkle Energie)
• Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz KN(A)dS-Metrik, rotierend und mit dunkler Energie)

Literatur

• Stephani, Hans, Kramer, Dietrich, MacCallum, Malcolm, Hoenselaers, Cornelius, Herlt, Eduard: Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7 (englisch). 
• Griffiths, J. B.: Colliding Plane Waves in General Relativity. Clarendon Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-853209-1 (englisch). 

Lambdavakuumlösung

Eine Lambdavakuumlösung ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ohne Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und unter Berücksichtigung dunkler Energie mit der kosmologischen Konstante (notiert durch den griechischen Buchstaben Lambda), genannt Lambdavakuumgleichungen.

Lambdavakuumgleichungen

Die Lambdavakuumgleichungen sind gegeben durch:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0.$

Die Kontraktion mit $g^{\mu \nu }$ führt mit $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ und $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$ auf:

$R=4\Lambda .$

Eingesetzt in die Lambdavakuumgleichungen ergibt sich die Vereinfachung:

$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }.$

Beispiele

• Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz S(A)dS-Metrik, ungeladen und nicht rotierend)
• Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz RN(A)dS-Metrik, geladen und nicht rotierend)
• Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz K(A)dS-Metrik, ungeladen und rotierend)
• Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz KN(A)dS-Metrik, geladen und rotierend)

Schwarzschild-De-Sitter-Metrik

Die Schwarzschild-De-Sitter-Metrik (kurz SdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Schwarzschild-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz SAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Schwarzschild-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik gibt es in der Schwarzschild-De-Sitter-Metrik eine Obergrenze für den Radius eines Schwarzen Loches, wobei dieser Fall als Nariai-Metrik bekannt ist.

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird von der Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-, Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik und Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r):=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{3}-r+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

Für XXXX sind die beiden Lösungen dabei der Radius des Ereignishorizont des Schwarzen Loches sowie der kosmologische Radius. Für XXXX fallen die beiden Horizonte dabei zusammen.

• Es gilt $f'(r)=\Lambda r^{2}-1$, also gibt es lokale Extrema bei $r=\pm {\sqrt {1/\Lambda }}$.
• Es gilt $f''(r)=2\Lambda r$, also gibt es einen Krümmungswechsel bei $r=0$.

XXXX

$f\left({\sqrt {1/\Lambda }}\right)=-{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik

Die Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik (kurz RNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Reissner-Nordström-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz RNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Reissner-Nordström-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, der elektrischen Ladung $Q$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r)=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{4}-r^{2}+2Mr-Q^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

XXXX

• Es gilt $f'(r)={\frac {4\Lambda }{3}}r^{3}-2r+2M$
• Es gilt $f''(r)=4\Lambda r^{2}-2$, also gibt es für $\Lambda >0$ einen Krümmungswechsel bei $r=\pm {\sqrt {2/\Lambda }}$ und für $\Lambda <0$ keinen Krümmungswechsel.

XXXX:

$f'\left({\sqrt {2/\Lambda }}\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Kerr-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-De-Sitter-Metrik (kurz KdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie.

Die Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik

Abbildung von Ereignishorizonten und Ergosphären in der KNdS-Metrik für verschiedene Verhältnisse von Masse und kosmologischer Konstante

Die Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik (kurz KNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Newman-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Newman-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Kerr-New-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-, Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter- und Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik.

Algebraische Quantenfeldtheorie

Algebraische Quantenfeldtheorie (kurz AQFT für englisch algebraic quantum field theory)

Literatur

• Vorlage:Citation
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• Romeo Brunetti, Klaus Fredenhagen, Rainer Verch: The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory. In: Communications in Mathematical Physics. 237. Jahrgang, Nr. 1–2, 2003, S. 31–68, doi:10.1007/s00220-003-0815-7, arxiv:math-ph/0112041, bibcode:2003CMaPh.237...31B (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Michael Dütsch, Klaus Fredenhagen: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 13. Jahrgang, Nr. 5, 2009, S. 1541–1599, doi:10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7, arxiv:0901.2038 (englisch, inspirehep.net). 
• Christian Bär, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations (= Lecture Notes in Physics. Band 786). Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02780-2, doi:10.1007/978-3-642-02780-2 (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Claudio Dappiaggi, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Advances in Algebraic Quantum Field Theory (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2015, ISBN 978-3-319-21353-8, doi:10.1007/978-3-319-21353-8 (englisch, springer.com). 
• Kasia Rejzner: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory: An Introduction for Mathematicians (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-25901-7, doi:10.1007/978-3-319-25901-7, arxiv:1208.1428 (englisch, springer.com). 
• Thomas-Paul Hack: Cosmological Applications of Algebraic Quantum Field Theory in Curved Spacetimes (= SpringerBriefs in Mathematical Physics. Band 6). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-21894-6, doi:10.1007/978-3-319-21894-6, arxiv:1506.01869 (englisch, springer.com). 
• Michael Dütsch: From Classical Field Theory to Perturbative Quantum Field Theory (= Progress in Mathematical Physics. Band 74). Birkhäuser, 2019, ISBN 978-3-03004738-2, doi:10.1007/978-3-030-04738-2 (englisch, springer.com). 
• Donald Yau: Homotopical Quantum Field Theory. World Scientific, 2019, ISBN 978-981-12-1287-1, doi:10.1142/11626, arxiv:1802.08101 (englisch, worldscientific.com). 
• Mykola Dedushenko: Snowmass white paper: The quest to define QFT. In: International Journal of Modern Physics A. 38. Jahrgang, 4n05, 2023, doi:10.1142/S0217751X23300028, arxiv:2203.08053 (englisch). 

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie (kurz NCQFT für englisch noncommutative quantum field theory)

Literatur

• Gerhard Grensing: Structural Aspects of Quantum Field Theory and Noncommutative Geometry. World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4472-69-2, doi:10.1142/8771 (englisch). 
• M. R. Douglas and N. A. Nekrasov, (2001). Noncommutative field theory. Rev. Mod. Phys., 73(4), 977.
• Richard J. Szabo (2003) "Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces," Physics Reports 378: 207-99. An expository article on noncommutative quantum field theories.
• Noncommutative quantum field theory, see statistics on arxiv.org
• Valter Moretti (2003), "Aspects of noncommutative Lorentzian geometry for globally hyperbolic spacetimes," Rev. Math. Phys. 15: 1171-1218. An expository paper (also) on the difficulties to extend non-commutative geometry to the Lorentzian case describing causality

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit (kurz QFTCS für englisch quantum field theory in curved spacetime)

Klein-Gordon-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 0 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\square \psi =-\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }\psi \rightsquigarrow -g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\partial _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi =\square \psi +\Gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi .$

Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Dirac-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 1/2 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi \rightsquigarrow \gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi .$

Literatur

• N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum fields in curved space. CUP, 1982, ISBN 0-521-23385-2 (englisch). 
• S. A. Fulling: Aspects of quantum field theory in curved space-time. CUP, 1989, ISBN 0-521-34400-X (englisch). 
• V. Mukhanov, S. Winitzki: Introduction to Quantum Effects in Gravity. CUP, 2007, ISBN 978-0-521-86834-1 (englisch). 
• L. Parker, D. Toms: Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-87787-9 (englisch). 

h-Kobordismus-Satz

Der h-Kobordismus-Satz ist im mathematischen Teilgebiet der Kobordismustheorie

s-Kobordismen

Ein $n+1$-dimensionaler Kobordismus $(W,M,N,i,j)$ besteht aus einer $n+1$-dimensionalen topologischen bzw. glatten bzw. stückweise linearen (PL) Mannigfaltigkeit $W$, $n$-dimensionalen topologischen bzw. glatten bzw. stückweise linearen (PL) Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ sowie Einbettungen $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$, sodass:

$\partial W=i(M)\sqcup j(N).$

Sind die Einbettungen $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ beide Homotopieäquivalenzen, wird $(W,M,N,i,j)$ (oder nur $W$) ein h-Kobordismus genannt.

Weblinks

• h-cobordism und h-cobordism theorem auf nLab (englisch)

s-Kobordismus-Satz

Der s-Kobordismus-Satz ist im mathematischen Teilgebiet der Kobordismustheorie

h-Kobordismen

Sei $(W,M,N,i,j)$ ein $n+1$-dimensionaler Kobordismus, also $W$ eine $n+1$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit, $M$ und $N$ jeweils $n$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeiten sowie $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ jeweils Einbettungen, sodass $\partial W=i(M)\sqcup j(N)$.

Weblinks

• s-cobordism und s-cobordism theorem auf nLab (englisch)

Poincaré-Homologiesphäre

Die Poincaré-Homologiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein

Weblinks

• Poincaré homology sphere auf nLab (englisch)

Pseudokreis

Die Pseudokreis ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein

Weblinks

• pseudocircle auf nLab (englisch)

String-Gruppe

Die String-Gruppe ist

Die String-Gruppe ist eine Überlagerung der Spin-Gruppe und wird selbst von der Fivebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)

String-Struktur

Eine String-Struktur ist

Eine String-Struktur ist ein Spezialfall einer Spin-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• string structure auf nLab (englisch)

Fivebrane-Gruppe

Die Fivebrane-Gruppe ist

Die Fivebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der String-Gruppe und wird selbst von der Ninebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• Fivebrane group und fivebrane 6-group auf nLab (englisch)

Fivebrane-Struktur

Eine Fivebrane-Struktur ist

Eine Fivebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer String-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Ninebrane-Struktur.

Weblinks

• Fivebrane structure auf nLab (englisch)

Ninebrane-Gruppe

Die Ninebrane-Gruppe ist

Die Ninebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der Fivebrane-Gruppe.

Weblinks

• ninebrane group und ninebrane 10-group auf nLab (englisch)

Ninebrane-Struktur

Eine Ninebrane-Struktur ist

Eine Ninebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• ninebrane structure auf nLab (englisch)

M2-Brane

Eine M2-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine zweidimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist elektrisch geladen und koppelt elektrisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M2-Brane mit der M5-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $3$-zusammenhängende Überlagerung, welche als String-Gruppe $\operatorname {String} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $3$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {String} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)$. Diese korrespondiert mit der M2-Brane.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M2-brane, fractional M2-brane und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M5-Brane

Eine M5-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine fünfdimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist magnetisch geladen und koppelt magnetisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M5-Brane mit der M2-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $7$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Fivebrane-Gruppe $\operatorname {Fivebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $7$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Fivebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Fivebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M5-Brane und erklärt ihre Benennung.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M5-brane, topological M5-brane, M5-brane charge, M5-brane elliptic genus, M5-brane instanton und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M9-Brane

Eine M9-Brane ist in der Stringtheorie

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $11$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Ninebrane-Gruppe $\operatorname {Ninebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $11$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Ninebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Ninebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M9-Brane und erklärt ihre Benennung.

Weblinks

• M9-brane auf nLab (englisch)

NS5-Brane

Eine NS5-Brane ist in der Stringtheorie

Weblinks

• NS-brane auf nLab (englisch)

Homotopiesphäre

Eine $n$-Homotopiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, welche die gleichen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre hat.

Definition

Eine $n$-Homotopiesphäre ist eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $\Sigma$, welche die gleichen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre $S^{n}$ hat:

$\pi _{k}(\Sigma )=\pi _{k}(S^{n})$

Eigenschaften

Weblinks

• homotopy sphere auf nLab (englisch)

Draft: Plancksche Relation

Die Plancksche Relation (auch Plancksche Energie-Frequenz-Relation, Planck-Einstein-Relation, Planck-Gleichung oder Planck-Formel) ist ein fundamentaler Zusammenhang aus der Quantenmechanik. mit welcher diese im Jahr 1900 von Max Planck begründet wurde. Gemäß der Planckschen Relation ist die Energie E eines Photons über das Plancksche Wirkungsquantum h mit dessen Frequenz v verbunden durch:

Häufig wird auch eine Umformulierung mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum und der Kreisfrequenz angegeben:

Die Plancksche Relation wurde von Max Planck bei der Betrachtung der Schwarzkörperstrahlung zur Vermeidung von Divergenzen postuliert, wobei das Symbol h für Hilfsgröße stand. Später zeigte sich die Bedeutung ebenfalls bei der Erklärung weiterer Phänomene, wie etwa dem photoelektrischen Effekt durch Albert Einstein im Jahr 1905 (ausgezeichnet mit dem Nobelpreis für Physik im Jahr 1921).

Draft: Eddington-Experiment

Das Eddington-Experiment

Draft: Eddington-Zahl

Die Eddington-Zahl gibt in der Astrophysik die Anzahl der Protonen im beobachtbaren Universum an.

Draft: Ein-Elektron-Universum

Das Ein-Elektron-Universum ist eine Hypothese, gemäß der sämtliche Elektronen und Positronen in Wahrheit nur ein einziges Objekt seien, welches sich sowohl vorwärts als auch rückwärts in der Zeit bewegt. Die Idee wurde im Frühling 1940 von John Wheeler in einem Telefonat mit Richard Feynman vorgeschlagen.

QED-Vakuum

Das QED-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED).

Siehe auch

• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QED vacuum auf nLab (englisch)

QCD-Vakuum

Das QCD-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD).

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QCD vacuum auf nLab (englisch)

Theta-Vakuum

Das Theta-Vakuum ist

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)

Weblinks

• theta vacuum auf nLab (englisch)

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie (auch D = 4 Chern-Simons-Theorie, kurz D = 4 CS) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Quantenfeldtheorie über dem Produkt einer zweidimensionalen orientierbaren glatten Mannigfaltigkeit und einer Riemannschen Fläche (mit einer komplexen und zwei reellen Dimensionen). Dabei stammt die Benennung von der Verwendung einer Chern-Simons-3-Form in der Wirkung, kombiniert mit einer meromorphen 1-Form mithilfe des Dachproduktes. Eine Wirkung nur mit Chern-Simons-Formen ist nicht möglich, da diese nur in ungeraden Dimensionen existieren. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und James Simons, welche die zugrundeliegenden Chern-Simons-Formen erstmals im Jahr 1974 beschrieben. Untersucht wurde die Theorie von Nikita Alexandrowitsch Nekrassow und erneut von Kevin Costello mit späterer Hilfe von Edward Witten and Masahito Yamazaki.

Formulierung

Sei $\Sigma$ eine zweidimensionale orientierbare glatte Mannigfaltigkeit und $C$ eine kompakte Riemannsche Fläche mit einer meromorphen 1-Form $\omega \in \Omega ^{1}(C)$. Sei $M=\Sigma \times C$, dann kann $\omega$ zu einer 1-Form auf $M$ erweitert werden durch die Komposition $M{\overset {\operatorname {pr} }{\twoheadrightarrow }}C{\overset {\omega }{\rightarrow }}T^{*}C\hookrightarrow T^{*}\Sigma \oplus T^{*}C=T^{*}M$.

Die Chern-Simons-3-Form ist gegeben durch:

$\operatorname {CS} (A):=\operatorname {tr} \left(\mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)\in \Omega ^{3}(M).$

Dabei ist die Spur $\operatorname {tr}$ eine $G$-invariante (definiert mithilfe der adjungierten Darstellung) Bilinearform auf der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$, welche dafür sorgt, dass die Differentialformen keine Koeffizienten mehr in dieser annehmen. Die Wirkung der vierdimensionalen Chern-Simons-Theorie ist gegeben durch:

$S(A):={\frac {1}{2\pi }}\int _{M}\omega \wedge \operatorname {CS} (A).$

Folgerungen

Aus der Forderung von Eigenschaften an die vierdimensionale Chern-Simons-Theorie lassen sich jeweils Eigenschaften für die Mannigfaltigkeit $\Sigma$ und die Riemannsche Fläche $C$ folgern. Bei der Quantisierung der Theorie wird in den Pfadintegralen der Ausdruck $\omega /\hbar$ mit dem Planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ auftauchen. Nullstellen von $\omega$ entsprechen dadurch $\hbar \rightarrow \infty$und verhindern eine störungstheoretische Beschreibung. Daher darf $\omega$ keine Nullstellen haben. Gemäß eines Korollars aus dem Satz von Riemann-Roch ist die Differenz aus den Nullstellen und Polen einer meromorphen 1-Form (mit Vielfachheit gezählt) genau die Euler-Charakteristik $\chi (C)$ der zugrundeliegenden Fläche (wobei die Kompaktheit eingeht). Ohne Nullstellen sind also nur negative Werte möglich und mit dem Genus $g(C)$ und dem Zusammenhang $\chi (C)=2-2g(C)$ sind nur die beiden Fälle $g(C)=0$ und $g(C)=1$ möglich. Dadurch ist $C$ entweder die komplexe Zahlenebene $\mathbb {C}$, ein Zylinder $\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {C} /\mathbb {Z}$ oder ein komplexer Torus $\mathbb {C} /\Lambda$ mit einem Gitter $\Lambda =\langle z_{1},z_{2}\rangle _{\mathbb {Z} }\subset \mathbb {C}$ mit reell linear unabhängigen $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$. Forderungen einer Rahmungen implizieren, dass $\Sigma$ parallelisierbar ist. Ist $\Sigma$ zusätzlich kompakt, muss es ein zweidimensionaler Torus sein.

Verbindungen

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie ist ähnlich zur dreidimensionalen Chern-Simons-Theorie (ohne die meromorphe 1-Form), welche eine topologische Quantenfeldtheorie ist. Zudem ist die Beziehung der vierdimensionalen Chern-Simons-Theorie zur Yang-Baxter-Gleichung ähnlich zur Beziehung der dreidimensionalen Chern-Simons-Theorie zu Knoteninvarianten wie den Jones-Polynomen.

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie ergibt sich durch Symmetriereduktion aus der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie (D = 6 HCS) über dem Twistor-Raum, der Eigenbezeichnung des dritten komplexen projektiven Raumes $\mathbb {C} P^{3}$. Ebenfalls daraus ableiten lassen sich die antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen, wobei beide zur Beschreibung von integrierbaren Systemen benutzt werden können. Im hinteren Fall ist dies als Ward-Vermutung bekannt. Beide Wege aus D = 6 HCS über D = 4 CS und ASDYM führen auf das gleiche Resultat.

Weblinks

• D=4 Chern-Simons theory und semi-topological D=4 Chern-Simons theory auf nLab (englisch)

Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie

Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie (auch D = 6 holomorphe Chern-Simons-Theorie, kurz D = 6 HCS) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Eichtheorie über einer dreidimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit (also mit sechs reellen Dimensionen). Dabei stammt die Benennung von der Verwendung einer holomorphen Analogie der Chern-Simons-3-Form in der Wirkung, kombiniert mit einer holomorphen (0,3)-Form mithilfe des Dachproduktes. Eine Wirkung nur mit Chern-Simons-Formen ist nicht möglich, da diese nur in ungeraden Dimensionen existieren. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und James Simons, welche die zugrundeliegenden Chern-Simons-Formen erstmals im Jahr 1974 beschrieben.

Formulierung

Sei $G$ eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$. Sei $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel mit einer dreidimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit $B$ (womit auch $E$ eine komplexe Mannigfaltigkeit ist). Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Vektorbündel. Sei ${\overline {A}}\in \Omega ^{(0,1)}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein komplexer Zusammenhang.

Die holomorphe Chern-Simons-3-Form ist gegeben durch:

$\operatorname {HCS} ({\overline {A}}):=\operatorname {tr} \left({\overline {\partial }}{\overline {A}}+{\frac {2}{3}}{\overline {A}}\wedge {\overline {A}}\wedge {\overline {A}}\right)\in \Omega ^{(0,3)}(B).$

Dabei ist die Spur $\operatorname {tr}$ eine $G$-invariante (definiert mithilfe der adjungierten Darstellung) Bilinearform auf der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$, welche dafür sorgt, dass die Differentialformen keine Koeffizienten mehr in dieser annehmen. Da die Lie-Gruppe $G$ und demnach auch die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ einfach sind, ist diese Bilinearform proportional zur Killing-Form. Oft wird daher einfach direkt diese verwendet. Die Wirkung der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie ist gegeben durch:

$S({\overline {A}}):=-{\frac {i}{2\pi }}\int _{M}\Omega \wedge \operatorname {HCS} ({\overline {A}}).$

Verbindungen

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie (D = 4 CS) ergibt sich durch Symmetriereduktion aus der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie über dem Twistor-Raum, der Eigenbezeichnung des dritten komplexen projektiven Raumes $\mathbb {C} P^{3}$. Ebenfalls daraus ableiten lassen sich die antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen, wobei beide zur Beschreibung von integrierbaren Systemen benutzt werden können. Im hinteren Fall ist dies als Ward-Vermutung bekannt. Beide Wege aus D = 6 HCS über D = 4 CS und ASDYM führen auf das gleiche Resultat.

Weblinks

• D=6 Chern-Simons theory und holomorphic Chern-Simons theory auf nLab (englisch)

Twistor-Raum

Der Twistor-Raum ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Eigenbezeichnung für den dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$, welcher den Raum der Lösungen der Twistor-Gleichung beschreibt sowie als Totalraum in der Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) auftaucht. Über dem Twistor-Raum als Basisraum lässt sich zudem die sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie auf die vierdimensionale Chern-Simons-Theorie reduzieren.

Literatur

• R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42268-X (englisch). 
• S.A. Huggett, K.P. Tod: An introduction to twistor theory. Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-45689-0 (englisch). 

Weblinks

• twistor space auf nLab (englisch)

Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel $\mathbb {C} P^{1}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre $S^{4}$ als Basisraum.

Weblinks

• twistor fibration auf nLab (englisch)

Twistor-Stringtheorie

Die Twistor-Stringtheorie ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Äquivalenz zwischen N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorie und dem B-Modell der topologischen Stringtheorie.

Weblinks

• twistor string theory auf nLab (englisch)

Twistor-Korrespondenz

Die Twistor-Korrespondenz (auch Penrose-Ward-Korrespondenz) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Verbindung zwischen vierdimensionaler Yang-Mills-Theorie und komplexer Geometrie.

Nichtlineare Zeit

Nichtlineare Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches den geordneten Ablauf der Zeit etwa durch die Verwendung zukünftiger Zustände bei der Beschreibung zeitabhängiger Systeme missachtet. Dabei bezieht sich die Benennung als nichtlinear auf den fehlenden Determinismus zu einem gegebenen Zeitpunkt und bedeutet nicht, dass die zugrundeliegenden Gleichungen nichtlinear sind.

Siehe auch

• Imaginäre Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Permutation City (1994), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über die nichtlineare Simulation von Zeit für ein digitales Bewusstsein nach Mind uploading
• Story of Your Life (1998), Science-Fiction-Kurzgeschichte von Ted Chiang über die nichtlineare Wahrnehmung von Zeit
• Arrival (2016), Verfilmung von Story of Your Life von Denis Villeneuve

Imaginäre Zeit

Imaginäre Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Verbindung verschiedener Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als imaginär auf die bei der mathematischen Beschreibung durch die Wick-Rotation vorkommende imaginäre Einheit und bedeutet nicht, dass imaginäre Zeit ein spekulatives oder fiktives Konzept ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung.

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Orthogonal-Trilogie (2011-2013), Science-Fiction-Trilogie von Greg Egan bestehend aus The Clockwork Rocket (2011), The Eternal Flame (2012) und The Arrows of Time (2013) über ein Universum, welches auf einer Riemannschen statt Lorentzschen Mannigfaltigkeit basiert, also durch Wick-Rotation aus unserem Universum entsteht, und die andere Funktionsweise von Zeit in diesem, durch die es etwa möglich wird, Nachrichten aus der eigenen Zukunft zu empfangen

Mehrdimensionale Zeit

Mehrdimensionale Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Betrachtung allgemeinerer Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als mehrdimensional auf die mathematische Beschreibung und bedeutet nicht, dass die Zeitwahrnehmung tatsächlich mehrdimensional ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung. Daneben gibt es jedoch auch philosophische Überlegungen zu einer mehrdimensionalen Zeitwahrnehmung.

Verwendung in der Physik

In der Supergravitation (kurz SUGRA), einer Kombination aus Supersymmetrie (kurz SUSY) und Gravitation (beschrieben durch die Allgemeine Relativitätstheorie), sowie speziell in der elfdimensionalen und höherdimensionalen Supergravitation ist mehrdimensionale Zeit für die Erweiterung von elf auf zwölf Dimensionen notwendig. Im Jahr 1978 zeigte der deutsche Physiker Werner Nahm, dass in einer Raumzeit mit mehr als elf Dimensionen (bei einer Zeitdimension) zwangsläufig Teilchen mit einem größeren Spin als das Graviton, dem Quant der Gravitation, enthalten sein müssen. Jedoch haben die Spinoren der Teilchen erst in einer Raumzeit mit mehr als zwölf Dimensionen (bei einer Zeitdimension) zwangsläufig mehr als 32 Dimensionen. Mit elf Raumdimensionen und einer Zeitdimension treten Majorana- und Weyl-Spinoren mit 64 Dimensionen auf, doch mit zehn Raumdimensionen und zwei Zeitdimensionen gibt es einen kombinierten Majorana-Weyl-Spinor mit nur 32 Dimensionen.

Im Jahr 1995 verwendete der iranische-US-amerikanische Physiker Cumrun Vafa darauf aufbauend eine Raumzeit mit zehn Raumdimensionen und zwei Zeitdimensionen für die Formulierung der F-Theorie. Deren Kompaktifizierung über dem 2-Torus mit einer Raum- und einer Zeitdimension führt auf die Typ IIB Stringtheorie für eine Raumzeit mit neun Raumdimensionen und einer Zeitdimensionen. Dies bedeutet, dass für eine zehndimensionale glatte Mannigfaltigkeit $M^{10}$ die F-Theorie auf $M^{10}\times T^{2}$ äquivalent zur Typ IIB Stringtheorie auf $M^{10}$ ist.

Im Jahr 1997 argumentierte der schwedisch-US-amerikanische Wissenschaftsphilosoph Max Tegmark, dass in einem Universum mit mehr als einer Zeitdimension ein physikalisches System nicht zuverlässig mithilfe von partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden kann sowie Protonen und Elektronen in massivere Teilchen zerfallen können, sofern ihre Temperatur nicht hinreichend klein ist.

Literatur

• Itzhak Bars: Two-Time Physics. 4. September 1998, arxiv:hep-th/9809034. 
• Itzhak Bars: Gauge Symmetry in Phase Space, Consequences for Physics and Spacetime. In: International Journal of Modern Physics A. 25. Jahrgang, Nr. 29, 20. November 2010, ISSN 0217-751X, S. 5235–5252, doi:10.1142/s0217751x10051128, arxiv:1004.0688, bibcode:2010IJMPA..25.5235B (englisch). 

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Imaginäre Zeit
• Dichronauts (2017), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über ein Universum mit zwei Zeitdimensionen

Fréchet-Mannigfaltigkeit

Eine Fréchet-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Fréchet-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Fréchet-Mannigfaltigkeiten in der Differentiationstheorie, etwa beim Nash-Moser-Umkehrsatz. Benannt sind Fréchet-Mannigfaltigkeiten nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum sowie jeder Banach-Raum insbesondere ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit sowie jede Banach-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Fréchet-Raumes und dadurch insbesondere jeder Fréchet-Raum ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.
• Für diffeomorphe glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ ist $\operatorname {Diff} (X,Y)$ eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Einbettung

Für Fréchet-Mannigfaltigkeiten gibt es ähnlich zum Whitneyschen Einbettungssatz für glatte Mannigfaltigkeiten ebenfalls einen Einbettungssatz, jedoch mit Einschränkungen. David Henderson bewies im Jahr 1969, dass jede unendlichdimensionale separable metrische Fréchet-Mannigfaltigkeit sich als offene Menge in den (bis auf Isomorphie eindeutigen) unendlichdimensionale separablen Hilbert-Raum (oft identifiziert mit $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$) einbetten lässt. Insbesondere gilt dieses Resultat auch für unendlichdimensionale separable metrische Banach-Mannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet manifold auf nLab (englisch)

Litearatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 
• David W. Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75. Jahrgang, Nr. 4, 1969, S. 759–762, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 (englisch). 

Hilbert-Mannigfaltigkeit

Eine Hilbert-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Hilbert-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Hilbert-Mannigfaltigkeiten in der Floer-Theorie, etwa bei XXXX. Benannt sind Hilbert-Mannigfaltigkeit nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum insbesondere ein Banach-Raum sowie ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Banach-Mannigfaltigkeit sowie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Hilbert-Raumes und dadurch insbesondere jeder Hilbert-Raum ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert manifold auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Gruppe

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Hilbert-Lie-Gruppen (genau wie Hilbert-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Hilbert-Lie-Gruppen nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert Lie group auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Algebra

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Hilbert-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Hilbert-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Hilbert-Lie-Algebren nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist ein Hilbert-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Banach-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Hilbert Lie algebra auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Gruppe

Eine Banach-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Banach-Lie-Gruppen (genau wie Banach-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Banach-Lie-Gruppen nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Gruppe ist eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

• Für eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ und eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $Y$ ist $C^{k}(X,Y)$ eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Fréchet-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Banach Lie group auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Algebra

Eine Banach-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Banach-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Banach-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Banach-Lie-Algebren nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Algebra ist ein Banach-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Banach Lie algebra auf nLab (englisch)

Fréchet-Lie-Gruppe

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Lie-Gruppen (genau wie Fréchet-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Fréchet-Lie-Gruppen nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion glatt sind.

Beispiele

• Für eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist ihre Diffeomorphismengruppe $\operatorname {Diff} (X)$ eine Fréchet-Lie-Gruppe.

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet Lie group auf nLab (englisch)

Literatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 

Fréchet-Lie-Algebra

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Fréchet-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Fréchet-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Fréchet-Lie-Algebren nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist ein Fréchet-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Banach-Lie-Algebra

Weblinks

• Fréchet Lie algebra auf nLab (englisch)

Smith-Raum

Ein Smith-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Brauner-Raum

Weblinks

• Smith space auf nLab (englisch)

Brauner-Raum

Ein Brauner-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Smith-Raum

Weblinks

• Brauner space auf nLab (englisch)

Gravitative Instantone

Eine gravitative Instantone ist

Siehe auch

• Gravitative Anomalie

Gravitative Anomalie

Eine gravitatie Anomalie ist

Siehe auch

• Gravitative Instantone

De-Rham-Invariante

Die De-Rham-Invariante ist

Weblinks

• de Rham invariant auf nLab (englisch)Literatur

Casson-Invariante

Die Casson-Invariante ist

Weblinks

• Casson invariant auf nLab (englisch)

Literatur

Rokhlin-Theorem

Das Rokhlin-Theorem ist

Weblinks

• Rokhlin's theorem auf nLab (englisch)

Literatur

Draft: LessWrong

LessWrong ist ein öffentlicher Blog und Forum zur Diskussion von kognitiver Verzerrung, Philosphie, Psychologie, Wirtschaft, Rationalität und künstliche Intelligenz sowie weiteren verwandten Themen. LessWrong erlangte vor allem Bekanntheit durch die dort entstandene Überlegung von Rokos Basilisk.

Geschichte

LessWrong entstand aus dem früheren Blog

Neoreaktion

Die neoreaktionäre Bewegung wuchs zuerst auf LessWrong und zog viele Benutzer von der Seite der Eugenik und evolutionären Psychologie an. Yudkowsky lehnte die Neoreaktion stark ab. In einer Umfrage auf LessWrong aus dem Jahr 2016 identifizierten sich 28 von 3060 Benutzer (0,92 %) als „neoreaktionär“.

Effektiver Altruismus

LessWrong played a significant role in the development of the effective altruism (EA) movement, and the two communities are closely intertwined. In a survey of LessWrong users in 2016, 664 out of 3,060 respondents, or 21.7%, identified as "effective altruists". A separate survey of effective altruists in 2014 revealed that 31% of respondents had first heard of EA through LessWrong, though that number had fallen to 8.2% by 2020. Two early proponents of effective altruism, Toby Ord and William MacAskill, met transhumanist philosopher Nick Bostrom at Oxford University. Bostrom's research influenced many effective altruists to work on existential risk reduction.

Weblinks

• LessWrong

Einzelnachweise

[[Kategorie:Webforum]]

[[Kategorie:Gergründet 2009]]

An Unusual Angle

An Unusual Angle ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Hintergrund

Greg Egan erzählte in einem Interview mit Eidolon im Jahr 1993, im letzten Jahr der High School von Amateurfilmen besessen gewesen zu sein („became obsessed with [amateur film-making] in my last year of high school“) und beschlossen zu haben, einen halbstündigen FIlm auf der Grundlage von Out of the Flying Pan von David Campton zu drehen. Alleine die Filmrechte kosteten tausend Dollar („a thousand dollars for the film rights“) und er arbeitete dafür ein paar Jahre lang für einen Milchwagen („saved up by working on a milk truck for a couple of years“). Obwohl es keine Aussicht gab, jemals einen Cent zu verdienen („had no prospect of ever earning a cent“), fuhr er mit der Arbeit an dem Film fort („went ahead and did it anyway“). Mit sich selbst als komplettem Team und der Hilfe von Freunden und Familie drehte er außerdem einen einstündigen Film nach einem eigenen Drehbuch, welches er als ziemlich plumpe Satire über ein Referendum beschrieb, bei dem entschieden werden soll, ob sich die Menschheit absichtlich selbst auslöscht („a pretty heavy-handed satire about a referendum being held to decide whether or not the human race should deliberately annihilate itself“). Nach seinem Bachelor of Science brach er sein Studium ab und arbeitete ein Jahr lang an dem Film, den er dazu nutzte, um sich an der Australian Film and Television School in Sydney zu bewerben („apply to the Australian Film and Television School in Sydney“). Doch bereits nach vier Wochen wurde ihm klar, wie sehr er die Arbeit in der Filmindustrie hassen würde. Greg Egan behauptete daraufhin, dass das Filmemachen so gut wie komplett aus seinen Gedanken verschwunden ist („film-making has pretty much vanished from [his] thoughts“). Abgesehen von der Kurzgeschichte Tangled Up über einen Filmemacher, der sich in einem unendlichen Regress von Filmen in Filmen verloren hat („a film-maker lost in an infinite regress of films-within-films“), war das Filmemachen in keinem seiner späteren Werke ein Thema („hasn't been a theme in any of my later work“).

Im Dezember 2009 veröffentlichte Greg Egan eine Kritik von Avatar von James Cameron und schrieb, sein Ziel war herauszufinden, was im ersten Jahrzehnt des einundzwanzigsten Jahrhunderts als Inbegriff eines Science-Fiction-Film gilt („aim was to find out what counts as a quintessential science-fiction blockbuster at the end of the first decade of the twenty-first century“). Im Juni 2015 veröffentlichte Greg Egan das Essay "No Intelligence Required" darüber, dass nahezu jeder zeitgenössische Science-Fiction-Film unrettbar dumm sei („almost every contemporary science fiction movie irredeemably stupid“) und analysierte Her von Spike Jonze, Ex Machina von Alex Garland und Interstellar von Christopher Nolan.

Teranesia

Teranesia ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe erschien XXXX. Die deutsche Ausgabe erschien XXXX. Der Roman beschreibt XXXX. Greg Egan sagte vor Veröffentlichung, der Roman behandle Evolution, die Indian Rationalists Association, den Zusammenbruch von Indonesien, Quantenmechanik und Sex. ("It’s about evolution, the Indian Rationalists Association, the breakup of Indonesia, quantum mechanics, and sex.")

Handlung

Kritik

Weblinks

• Offizielle Webseite
• Teranesia in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Ausschnitt aus Teranesia (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Zendegi

Zendegi ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Draft: Peterson-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Peterson-Raum ein CW-Komplex, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Kohomologiegruppe hat und ist daher die kohomologische Analogie eines Eilenberg–MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine endlich generierte abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\geq 3$ ist ein einfach zusammenhängender (wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) CW-Komplex $X$, dessen reduzierte singuläre Kohomologiegruppen gegeben sind durch:

${\widetilde {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.$

ein Peterson-Raum vom Typ $P(G,n)$. Ein Peterson-Raum ist eindeutig bis auf schwache Homotopieäquivalenz, was die eigenständige Notation begründet. Peterson-Räume müssen nicht immer existieren, etwa gibt es keine für den rationalen Körper $\mathbb {Q}$.

Lemmata

Beispiele

Siehe auch

• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Moore-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Homologie.

Draft: Hopf-Konstruktion

Reele Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{0}$ ist diffeomorph zur orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die reele Hopf-Faserung $S^{1}\rightarrow S^{1}$.

Eine alternative Konstruktion der reellen Hopf-Faserung mithilfe von reell projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1},(x,y)\mapsto [x:y]$.

Die Homotopieklasse der reellen Hopf-Faserung ist zweiten Grades und daher kein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Komplexe Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{1}$ ist diffeomorph zur unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (1)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die komplexe Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Eine alternative Konstruktion der komplexen Hopf-Faserung mithilfe von komplex projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {C} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$.

Die komplexe Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.
• Ihre Einhängung ist der Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{1}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.

Quaternionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{3}$ ist diffeomorph zur speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7}\rightarrow S^{4}$.

Eine alternative Konstruktion der quaternionischen Hopf-Faserung mithilfe von quaternionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {H} ^{2}\rightarrow \mathbb {H} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$.

Die quaternionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{7}(S^{4})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{12}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{3}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{24}$.

Oktonionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{7}$ ist mit der Moufang-Struktur eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die oktonionsiche Hopf-Faserung $S^{15}\rightarrow S^{8}$.

Eine alternative Konstruktion der oktonionischen Hopf-Faserung mithilfe von oktonionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {O} ^{2}\rightarrow \mathbb {O} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {O} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{16}\supset S^{15}\rightarrow S^{8}\cong \mathbb {O} P^{1},(o,n)\mapsto [o:n]$.

Die oktonionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{15}(S^{8})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{120}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{7}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{240}$

Yang-Mills-Gleichungen

Die Yang-Mills-Gleichungen sind im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie auftauchende partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Hauptfaserbündel. Eine wichtige Anwendung ihres Modulraumes ist der Beweis des Donaldson-Theorems.

Formulierung

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. Sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+g[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform. Für diese ist die Yang-Mills-Gleichung gegeben durch:

$\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0.$

Darüber hinaus gilt die Bianchi-Identität:

$\mathrm {d} _{A}F_{A}=0.$

Eine Lösung $A$ der Yang-Mills-Gleichungen wird Yang-Mills-Zusammenhang genannt. Für einen Yang-Mills-Zusammenhang wird dessen Krümmung $F_{A}$ auch Yang-Mills-Feld genannt. In der Physik werden die Yang-Mills-Gleichungen bevorzugt in lokalen Koordinaten angegeben. Griechische Indizes stehen dabei für die Koordinaten der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit, welche in der Physik die Raumzeit darstellt, und lateinische Indizes stehen für die Koeffizienten bezüglich einer Basis $T_{a}$ der Lie-Algebra. (Etwa den Pauli-Matrizen für ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(2)$ oder den Gell-Mann-Matrizen für ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(3)$.) Dadurch wird ein Zusammenhang $A$ als $A_{\mu }^{a}$ und ihre Krümmungsform $F$ als $F_{\mu \nu }^{a}$ geschrieben.

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

Herleitung

Hergeleitet werden können die Yang-Mills-Gleichungen aus der Yang-Mills-Wirkung:

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Yang-Mills-Zusammenhänge sind genau ihre kritischen Punkte, also lokale Extrema einer Variation, wozu lokale Minima, Sattelpunkte und lokale Maxima gehören. Mathematisch ausgedrückt ist also $A_{0}$ ein Yang-Mills-Zusammenhang, wenn für alle glatten Wege $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A_{0}$ die Bedingung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YM} (A(t))\vert _{t=0}=0$

erfüllt ist.

Selbtduale und antiselbstduale Yang–Mills-Gleichungen

Ein wichtiger Spezialfall der Yang–Mills-Gleichungen ergibt sich über einer vierdimensionalen Basismannigfaltigkeit $B$ (wie etwa beim Beweis des Donaldson-Theorems), da der Hodge-Stern-Operator dann eine Involution:

$\star \colon \Omega ^{2}(B)\rightarrow \Omega ^{2}(B)$

(also mit $\star ^{2}=\operatorname {id}$) ist und sich daher durch die Eigenräume der möglichen Eigenwerte $\pm 1$ eine Aufteilung in eine direkte Summe:

$\Omega ^{2}(B)=\Omega _{-}^{2}(B)\oplus \Omega _{+}^{2}(B)$

ergibt. Völlig analog gilt dies für die Räume der vektorwertigen Differentialformen auf $B$ wie etwa mit Werten im adjungierten Bündel $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$. Ein Zusammenhang $A\in \Omega _{\mathrm {Ad} }^{1}(E;{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B;\operatorname {Ad} (E))$ mit

• $F_{A}\in \Omega _{+}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=F_{A}$, wird selbstdual
• $F_{A}\in \Omega _{-}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=-F_{A}$, wird antiselbstdual

genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfallen. Die selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=F_{A}$ werden auch als SDYM-Gleichungen und die antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=-F_{A}$ werden auch als ASDYM-Gleichungen abgekürzt.

Abelsche Yang-Mills-Gleichungen

Die abelschen Yang-Mills-Gleichungen (oder abelsche YM-Gleichungen) sind der Spezialfall der Yang-Mills-Gleichungen für eine abelsche Lie-Gruppe $G$ und entsprechend für eine abelsche Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$, für welche alle Lie-Klammern verschwinden. Daher fällt der zweite Term in der kovarianten Ableitung $\mathrm {d} _{A}=\mathrm {d} +[A\wedge -]$ heraus und diese wird einfach zur Cartan-Ableitung $\mathrm {d}$. (Ebenso fällt die adjungierte kovariante Ableitung $\delta _{A}=\pm \star \mathrm {d} _{A}\star$ zur adjungierten Cartan-Ableitung $\delta =\pm \star \mathrm {d} \star$.) Dadurch werden die abelschen Yang-Mills-Gleichungen zu:

$\mathrm {d} \star \mathrm {d} A.$

$\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen auf $\mathbb {R} ^{2}$

Seien $f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ glatt, dann ist die $1$-Form $A=f\mathrm {d} x+g\mathrm {d} y$ genau dann ein Zusammenhang, wenn XXXX.

$\mathrm {d} A=(-\partial _{y}f+\partial _{x}g)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

$\star \mathrm {d} A=-\partial _{y}f+\partial _{x}g$

$\mathrm {d} \star \mathrm {d} A=\partial _{x}(-\partial _{y}f+\partial _{x}g)\mathrm {d} x+\partial _{y}(-\partial _{y}f+\partial _{x}g)\mathrm {d} y$

Dadurch werden die $\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen auf $\mathbb {R} ^{2}$ zu:

$-\partial _{y}f+\partial _{x}g=\mathrm {const} .$

$\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen auf $\mathbb {R} ^{3}$

Seien $f,g,h\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ glatt, dann ist die $1$-Form $A=f\mathrm {d} x+g\mathrm {d} y+h\mathrm {d} z$ genau dann ein Zusammenhang, wenn XXXX.

$\mathrm {d} A=(\partial _{y}h-\partial _{z}g)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+(\partial _{z}f-\partial _{x}h)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+(\partial _{x}g-\partial _{y}f)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

$\star \mathrm {d} A=(\partial _{y}h-\partial _{z}g)\mathrm {d} x+(\partial _{z}f-\partial _{x}h)\mathrm {d} y+(\partial _{x}g-\partial _{y}f)\mathrm {d} z$

$\mathrm {d} \star \mathrm {d} A={\big (}\partial _{y}(\partial _{x}g-\partial _{y}f)-\partial _{z}(\partial _{z}f-\partial _{x}h){\big )}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\big (}\partial _{z}(\partial _{y}h-\partial _{z}g)-\partial _{x}(\partial _{x}g-\partial _{y}f){\big )}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\big (}\partial _{x}(\partial _{z}f-\partial _{x}h)-\partial _{y}(\partial _{y}h-\partial _{z}g){\big )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

Dadurch werden die $\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen auf $\mathbb {R} ^{3}$ zu:

$\Delta f=\partial _{x}(\partial _{x}f+\partial _{y}g+\partial _{z}h);$

$\Delta g=\partial _{y}(\partial _{x}f+\partial _{y}g+\partial _{z}h);$

$\Delta h=\partial _{z}(\partial _{x}f+\partial _{y}g+\partial _{z}h).$

Für das Vektorfeld $v=(f,g,h)\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ist kürzer:

$\nabla \times (\nabla \times v)=\Delta v-\nabla (\nabla \cdot v)=0.$

Dimensionsreduktion

Eine Einschränkung auf unter einer vorgegebenen Symmetrie invarianten Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen über einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit wird als Dimensionsreduktion bezeichnet. Typischerweise wird dabei der vierdimensionale euklidische Raum verwendet. Etwa ergeben sich die Sinus-Gordon-Gleichung und die Korteweg-deVries-Gleichung durch Dimensionsreduktion der $\operatorname {SU} (2)$ ASDYM-Gleichungen und die Tzitzeica-Gleichung ergibt sich durch Dimensionsreduktion der $\operatorname {SL} _{3}(\mathbb {R} )$ ASDYM-Gleichungen.

Weblinks

• Yang-Mills equation auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

Die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen sind im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie auftauchende nichtlineare partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Hauptfaserbündel und Schnitte in ihrem adjungierten Vektorbündel.

Formulierung

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. Sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+g[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform sowie $\Phi \in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{0}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))\cong \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein glatter Schnitt. Für diese sind die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen gegeben durch:

$\star \mathrm {d} _{A}\star F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ]=0;$

$\mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =0.$

Darüber hinaus gelten die Bianchi-Identitäten:

$\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$

$\mathrm {d} _{A}\mathrm {d} _{A}\Phi +[\Phi ,F_{A}]=0$

Eine Lösung $(A,\Phi )$ der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen wird Yang-Mills-Higgs-Paar genannt. In der Physik werden die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen bevorzugt in lokalen Koordinaten angegeben. Griechische Indizes stehen dabei für die Koordinaten der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit, welche in der Physik die Raumzeit darstellt, und lateinische Indizes stehen für die Koeffizienten bezüglich einer Basis $T_{a}$ der Lie-Algebra. (Etwa den Pauli-Matrizen für ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(2)$ oder den Gell-Mann-Matrizen für ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(3)$.) Dadurch wird ein Zusammenhang $A$ als $A_{\mu }^{a}$, ihre Krümmungsform $F$ als $F_{\mu \nu }^{a}$ und ein Schnitt $\Phi$ als $\Phi ^{a}$ geschrieben.

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf_{bc}^{a}A^{\mu a}F_{\mu \nu }^{a}=0$

Herleitung

Hergeleitet werden können die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen aus der Yang-Mills-Higgs-Wirkung:

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Yang-Mills-Higgs-Paare sind genau ihre kritischen Punkte, also lokale Extrema einer Variation, wozu lokale Minima, Sattelpunkte und lokale Maxima gehören. Mathematisch ausgedrückt ist also $(A_{0},\Phi _{0})$ ein Yang-Mills-Higgs-Paar, wenn für alle glatten Wege $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A_{0}$ und $\Phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ und $\Phi (0)=\Phi _{0}$ die Bedingung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YMH} (A(t),\Phi (t))\vert _{t=0}=0$

erfüllt ist.

Abelsche Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

Die abelschen Yang-Mills-Higgs-Gleichungen (oder abelsche YMH-Gleichungen) sind der Spezialfall der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen für eine abelsche Lie-Gruppe $G$ und entsprechend für eine abelsche Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$, für welche alle Lie-Klammern verschwinden. Daher fällt der zweite Term in der kovarianten Ableitung $\mathrm {d} _{A}=\mathrm {d} +[A\wedge -]$ heraus und diese wird einfach zur Cartan-Ableitung $\mathrm {d}$. (Ebenso fällt die adjungierte kovariante Ableitung $\delta _{A}=\pm \star \mathrm {d} _{A}\star$ zur adjungierten Cartan-Ableitung $\delta =\pm \star \mathrm {d} \star$zurück.) Zudem verschwindet der zweite Term in den ersten Yang-Mills-Higgs-Gleichungen direkt. Dadurch fallen die abelschen Yang-Mills-Higgs-Gleichungen auf die abelschen Yang-Mills-Gleichungen sowie eine verallgemeinerte Laplace-Gleichung zurück:

$\mathrm {d} \star \mathrm {d} A=0;$

$\mathrm {d} \star \mathrm {d} \Phi =0.$

Literatur

• Clifford Henry Taubes: The existence of a non-minimal solution to the $\operatorname {SU} (2)$ Yang-Mills-Higgs equations on $\mathbb {R} ^{3}$ Part I. In: Communications in Mathematical Physics. Nr. 86, 1982, S. 257–298, doi:10.1007/BF01206014 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: The existence of a non-minimal solution to the $\operatorname {SU} (2)$ Yang-Mills-Higgs equations on $\mathbb {R} ^{3}$ Part II. In: Communications in Mathematical Physics. Nr. 86, 1982, S. 299–320, doi:10.1007/BF01212170 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: On the Yang--Mills--Higgs equations. In: American Mathematical Society. 1984, S. 295–297, doi:10.1090/s0273-0979-1984-15254-6 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: Min-max theory for the Yang-Mills-Higgs equations. In: Communications in Mathematical Physics. 1985, S. 295–297, doi:10.1007/BF01221215 (englisch). 

Weblinks

• Einstein-Yang-Mills-Dirac-Higgs theory auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang

Ein stabiler Yang-Mills-Zusammenhang (kurz stabiler YM-Zusammenhang) ist in der Yang-Mills-Theorie ein spezieller Zusammenhang XXXX. Yang-Mills-Zusammenhänge sind lokale Extrema der Krümmung, also kritische Punkte der Yang-Mills-Wirkung und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Zusammenhänge haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{G}{\mathfrak {g}}$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Ein Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$, also welcher die Yang-Mills-Gleichungen erfüllt, wird stabil genannt, wenn:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YM} (A(t))\vert _{t=0}>0$

für jede glatte Familie $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\geq 0$ gilt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für einen Yang-Mills-Zusammenhang gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YM} (A(t))\vert _{t=0}=0.$

Für einen (schwach) stabilen oder instabilen Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ als (schwach) stabiles oder instabiles Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Eigenschaften

• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhang auf $S^{n}$ für $n\geq 5$ sind flach. James Simons präsentierte dieses Resultat ohne schriftliche Publikation in Tokio im September 1977 während eines Symposiums zu „Minimal Submanifolds and Geodesics“.
• Gibt es für eine kompakte $n$-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{n+1}$ ein $\varepsilon >0$, sodass:

  ${\frac {2}{n-2}}\varepsilon <\lambda _{i}\leq \varepsilon$

an jedem Punkt für alle Hauptkrümmungen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, dann sind alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf dieser flach. Wie sich an der Ungleichung zeigt, ist das Resultat nur für $n\geq 5$ anwendbar, wobei sich das vorherige Resultat als Spezialfall ergibt.

• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf $S^{4}$ mit Eichgruppe $\operatorname {SU} (2)$, $\operatorname {SU} (3)$ oder $\operatorname {U} (2)$ sind entweder antiselbstdual oder selbstdual.
• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf einer kompakten orientierbaren homogenen Riemannschen $4$-Mannigfaltigkeit mit Eichgruppe $\operatorname {SU} (2)$ sind entweder antiselbstdual, selbstdual oder reduzieren sich auf ein abelsches Feld.

Yang-Mills-instabile Mannigfaltigkeiten

Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, für welche für kein Hauptfaserbündel über ihr (mit einer kompakten Lie-Gruppe als Eichgruppe) ein stabiler Yang-Mills-Zusammenhang existiert, wird Yang-Mills-instabil (kurz YM-instabil) genannt. Etwa sind die Sphären $S^{n}$ für $n\geq 5$ alle Yang-Mills-instabil nach dem obigen Resultat von James Simons. Eine Yang-Mills-instabile Mannigfaltigkeit hat immer eine verschwindende zweite Betti-Zahl. Zentral für den Beweis ist dabei, dass der unendliche komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{\infty }$ sowohl der klassifizierende Raum $\operatorname {BU} (1)$ als auch der Eilenberg-MacLane-Raum $K(\mathbb {Z} ,2)$ ist. Daher werden $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über einer Yang-Mills-instabilen Mannigfaltigkeit $X$ (aber sogar allgemeiner über jedem CW-Komplex) durch deren zweite Kohomologie (mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen) klassifiziert:

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}\left(X\right)=[X,\operatorname {BU} (1)]=[X,K(\mathbb {Z} ,2)]=H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$

Auf einem nichttrivialem $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über $X$, welches bei einer nichttrivialen zweiten Kohomologie existiert, ließe sich ein stabiler Yang-Mills-Zusammenhang konstruieren.

Offene Probleme zu Yang-Mills-instabilen Mannigfaltigkeiten sind:

• Ist jede einfach zusammenhängende kompakte einfache Lie-Gruppe immer Yang-Mills-instabil?
• Ist jede Yang-Mills-instabile einfach zusammenhängende kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit immer harmonisch instabil? Da $S^{n}\times S^{1}$ für $n\geq 5$ Yang-Mills-instabil, aber nicht harmonisch instabil ist, kann nicht auf die Bedingung einfach zusammenhängend zu sein verzichtet werden.

Literatur

• Yuan-Jen Chiang: Developments of Harmonic Maps, Wave Maps and Yang-Mills Fields into Biharmonic Maps, Biwave Maps and Bi-Yang-Mills Fields. Birkhäuser, 2013, ISBN 978-3-0348-0533-9 (englisch, springer.com). 

Siehe auch

• Stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar

Weblinks

• stable Yang-Mills connection auf nLab (englisch)

Stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar

Ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar (kurz stabiles YMH-Paar) ist in der Yang-Mills-Theorie ein spezieller Zusammenhang und ein spezieller Schnitt XXXX. Yang-Mills-Higgs-Paare sind lokale Extrema der Krümmung beider Felder, also kritische Punkte der Yang-Mills-Higgs-Wirkung und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Higgs-Paare haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{G}{\mathfrak {g}}$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Ein Yang-Mills-Higgs-Paar $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ und $\Phi \in \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$, also welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen erfüllen, wird stabil genannt, wenn:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YMH} (A(t),\Phi (t))\vert _{t=0}>0$

für alle glatte Familien $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ und $\Phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $\Phi (0)=\Phi$ gilt. $A$ und $\Phi$ werden schwach stabil genannt, wenn $\geq 0$ gilt. Ein Yang-Mills-Higgs-Paar, welches nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für ein Yang-Mills-Higgs-Paar gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YMH} (A(t),\Phi (t))\vert _{t=0}=0.$

Eigenschaften

• Sei $(A,\Phi )$ ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar auf $S^{n}$, dann gelten die folgenden Behauptungen:
  • Ist $n=4$, dann ist $A$ ein Yang-Mills-Zusammenhang ($\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$) sowie $\mathrm {d} _{A}\Phi =0$ und $\|\Phi \|=1$.
  • Ist $n\geq 5$, dann ist $A$ flach ($F_{A}=0$) sowie $\mathrm {d} _{A}\Phi =0$ und $\|\Phi \|=1$.

Siehe auch

• Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang

Weblinks

• stable Yang-Mills-Higgs pair auf nLab (englisch)

Supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz SYM) bezieht sich auf:

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz N = 1 SYM) ist eine relativistische Eichtheorie, welche Supersymmetrie (kurz SUSY) und Yang-Mills-Theorie (kurz YM-Theorie) miteinander kombiniert.

Siehe auch

• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=3 N=1 super Yang-Mills theory und D=4 N=1 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Seiberg-Witten-Theorie

Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie, kurz N = 2 SYM) ist

Siehe auch

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=3 N=2 super Yang-Mills theory und D=4 N=2 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz N = 4 SYM) ist eine relativistische Eichtheorie, welche Supersymmetrie (kurz SUSY) und Yang-Mills-Theorie (kurz YM-Theorie) miteinander kombiniert.

Verbindung zu anderen Theorien

D = 4 N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie und D = 6 N = 2 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie ergeben sich beide durch Dimensionsreduktion mithilfe von Kompaktifizierung aus der D = 10 N = 1 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie. D = 4 N = 8 Supergravitation lässt sich durch die Formulierung über Feynman-Diagramme als Produkt zweier N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorien darstellen und enthält sechs unabhängige Darstellungen von dieser.

Siehe auch

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)

Literatur

• Stephen Naculich: All-loop-orders relation between Regge limits of N = 4 SYM and N = 8 supergravity four-point amplitudes. In: Journal of High Energy Physics. 2021, doi:10.1007/JHEP02(2021)044, arxiv:2012.00030. 

Weblinks

• D=3 N=4 super Yang-Mills theory und D=4 N=4 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Geeichte Supergravitation

Geeichte Supergravitation (kurz Geeichte SUGRA) ist

Konforme Supergravitation

Konforme Supergravitation (kurz Konforme SUGRA) ist eine Kombination

Draft: Balanciertes Produkt

Das balancierte Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Produkt für G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Produkt der zugrundeliegenden topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit der Bildung eines Quotienten. Anwendung findet das balancierte Produkt bei der Konstruktion von Hauptfaserbündeln.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen $G$-Rechtsraum $X$ und einen $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\times _{G}Y:=(X\times Y)/\sim$

mit der Äquivalenzrelation $(xg,y)\sim (x,yg)$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Sei $G$ eine topologische Gruppe, $H<G$ eine Untergruppe, $X$ ein $G$-Rechtsraum und $Y$ ein $G$-Linksraum.

• Es gilt $X\times _{G}\{*\}\cong X/G$. Analog gilt $\{*\}\times _{G}Y\cong G\backslash Y$.
• Es gilt $X\times _{G}G\cong G$. Analog gilt $G\times _{G}Y\cong Y$.
• Es gilt $X\times _{G}(G/H)\cong X/H$. Analog gilt $(H\backslash G)\times _{G}Y\cong H\backslash Y$.

Seien $G$ und $H$ topologische Gruppen, $X$ ein $G$-Rechtsraum, $Y$ ein $(G,H)$-Raum und $Z$ ein $G$-Linksraum.

• Das balancierte Produkt ist assoziativ. Es gilt $(X\times _{G}Y)\times _{H}Z\cong X\times _{G}(Y\times _{H}Z)$.

Anwendung für Hauptfaserbündel

Für einen Körper $\mathbb {K}$ wirkt eine Untergruppe $G<\operatorname {GL} _{n}\mathbb {K}$ auf $\mathbb {K} ^{n}$ von links durch Matrizenmultiplikation. Für ein $G$-Hauptfaserbündel $\pi \colon E\rightarrow B$ (wobei $G$ auf $E$ von rechts wirkt und $\pi$ unter dieser Wirkung invariant ist, also $\pi (eg)=\pi (e)$ für alle $g\in G$ und $e\in E$) lässt sich das balancierte Produkt $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}$ bilden und die Abbildung $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}\rightarrow B,[(e,x)]\mapsto \pi (e)$ ist wohldefiniert.

Siehe auch

• Balanciertes Smash-Produkt, analoge Definition für punktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Balanciertes Smash-Produkt

Das balancierte Smash-Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Smash-Produkt für punktierte G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Smash-Produkt der zugrundeliegenden punktierten topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit die Bildung eines Quotienten.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen punktierten $G$-Rechtsraum $X$ und einen punktierten $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\wedge _{G}Y:=(X\wedge Y)/\sim$

mit der wohldefinierten Äquivalenzrelation $[(xg,y)]\sim [(x,yg)]$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Smash-Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Siehe auch

• Balanciertes Produkt, analoge Definition für nichtpunktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Lokaler Hausdorff-Raum

Ein lokaler Hausdorff-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei verschiedene Punkte zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten, wird Hausdorff-Raum (oder hausdorffsch) genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie ein Hausdorff-Raum ist, wird lokaler Hausdorff-Raum (oder lokal hausdorffsch) genannt. Oft wird statt einer hausdorffschen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus hausdorffschen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal hausdorffsch genannt.

Lemmata

• Hausdorff-Räume sind lokale Hausdorff-Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines Hausdorff-Raumes wieder ein Hausdorff-Raum ist.
• Lokale Hausdorff-Räume sind T₁-Räume.
• Lokale Hausdorff-Räume sind nüchtern.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit zwei Ursprüngen (definiert als $\mathbb {R} \times \{0,1\}/\sim$ mit $(x,0)\sim (x,1)$ für $x\neq 0$) sind lokal hausdorffsch, aber nicht hausdorffsch.

Weblinks

• locally Hausdorff topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal regulärer Raum

Ein lokal regulärer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) regulär ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für jede abgeschlossene Teilmenge und jeden Punkt, welcher in dieser nicht enthalten ist, zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils die abgeschlossene Teilmenge und den Punkt enthalten, wird regulär genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie regulär ist, wird lokal regulär genannt. Oft wird statt einer regulären Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus regulären Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal regulär genannt.

Lemmata

• Reguläre Räume sind lokal reguläre Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines regulären Raumes wieder ein regulärer Raum ist.
• Lokal reguläre T₁-Räume sind lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass reguläre T₁-Räume hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• XXXX ist lokal regulär, aber nicht regulär.

Weblinks

• locally regular space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal normaler Raum

Ein lokal normaler Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) normal ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der abgeschlossenen Teilmengen enthalten, wird normal genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie normal ist, wird lokal normal genannt. Oft wird statt einer normalen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus normalen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal normal genannt.

Lemmata

• Normale Räume sind lokal normale Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines normalen Raumes wieder ein normaler Raum ist.
• Lokal normale T₁-Räume sind lokal regulär und lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass normale T₁-Räume regulär und hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der kofiniten Topologie sind ein T₁-Raum, welcher nicht lokal normal ist.

Weblinks

• locally normal space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Arnold-Vermutung

Die Arnold-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Fixpunkten eines nichtdegenerierten Hamiltonschen Symplektomorphismus auf ihr verbindet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold. Die Arnold-Vermutung ist eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré–Birkhoff.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Arnold–Givental-Vermutung

Weblinks

• Arnold conjecture auf nLab (englisch)

Literatur

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch). 

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Draft: Arnold–Givental-Vermutung

Die Arnold–Giventhal-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Schnittpunkten mit einer anderen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit verbindet, welche aus der ursprünglichen durch eine Hamiltonsche Isotopie hervorgeht und diese transversal schneidet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold und Alexander Giventhal.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und $L\subset M$eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit, also darstellbar als Fixpunktmenge einer antisymplektischen Involution $f\colon M\rightarrow M$, also sodass $f\circ f=\operatorname {id} _{M}$ und $f^{*}\omega =-\omega$.

Die Arnold-Vermutung ist ein Spezialfall der Arnold–Givental-Vermutung. Eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ erzeugt eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M\times M,(-\omega )\oplus \omega )$, auf welcher der Koordinatentausch $M\times M\rightarrow M\times M,(x,y)\mapsto (y,x)$ eine antisymplektische Involution ist. Deren Fixpunktmenge ist die Diagonale $\Delta _{M}:=\{(x,x)|x\in M\}$, weshalb diese eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist. Für eine XXXX $f\colon M\rightarrow M$ ist ihre Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)$ genau der Schnitt $\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M}$.

$\#\operatorname {Fix} (f)=\#(\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M})$

Status

Die Arnold-Giventhal-Vermutung wurde für einige Spezialfälle bewiesen:

• Alexander Givental selbst bewies 1989 den Spezialfall für $(M,L)=(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {R} P^{n})$.
• Yong-Geun Oh bewies 1995 den Spezialfall von zusätzlichen Annahmen an den Maslov-Index.
• Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hirosh Otha und Kaoru Ona bewiesen 2000 den Speziallfall für semipositive symplektische Mannigfaltigkeiten.
• Urs Frauenfelder bewies 2004 den Spezialfall für bestimmte symplektische Reduktionen unter Verwendung von Floer-Homologie.

Siehe auch

• Arnold-Vermutung

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Fehlt:

Für XXXX ist $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ sogar eine Lie-Gruppe. Ihre zugehörige Lie-Algebra ${\mathfrak {Ham}}(M,\omega )$ ist in diesem Fall die der Hamiltonschen Vektorfelder.

Diese ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

Definition auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle Poisson-Mannigfaltigkeiten, da die symplektische Form eine Poisson-Klammer erzeugt. Für Hamilton-Funktionen $G,H\in C^{\infty }(M)$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ gilt dadurch der Zusammenhang:

,

durch den Hamiltonsche Vektorfelder allgemeiner auf Poisson-Mannigfaltigkeiten definiert werden können.

Lemmata auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

XXXX

$\mathrm {d} F(X_{aG+bH})=\{F,aG+bH\}=a\{F,G\}+a\{F,H\}=a\mathrm {d} F(X_{G})+b\mathrm {d} F(X_{H})=\mathrm {d} F(aX_{G}+bX_{H})$

$\mathrm {d} F(X_{GH})=\{F,GH\}=G\{F,H\}+\{F,G\}H=G\mathrm {d} F(X_{H})+\mathrm {d} F(X_{G})H=\mathrm {d} F(GX_{H}+HX_{G})$

Draft: J-Homomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ist der J-Homomorphismus ein spezieller Gruppenhomomorphismus von der Homotopiegruppe einer (speziellen) orthogonalen Gruppe oder einer (speziellen) unitären Gruppe in die Homotopiegruppe einer Sphäre. Die Definition benutzt die Hopf-Konstruktion und stammt von George W. Whitehead (nicht zu verwechseln mit John H. C. Whitehead) aus dem Jahr 1942 durch eine Erweiterung einer Definition von Heinz Hopf aus dem Jahr 1935.

Definition

Erste Definition

Eine orthogonale Matrix $O\in \operatorname {O} (k)$ definiert eine stetige Abbildung $O\colon \mathbb {R} ^{k}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$, die sich aufgrund der Orthogonalität der Matrix auf eine wohldefinierte stetige Abbildung $O\colon S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$ einschränkt. Eine Homotopieklasse in $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))$, also die einer stetigen Abbildung $S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$, repräsentiert daher die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}\times S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$. Ihre Hopf-Konstruktion ist die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}*S^{k-1}\rightarrow \Sigma S^{k-1}$, also $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ unter Verwendung der Lemmata, dass Verbund und Einhängung von Sphären jeweils wieder Sphären ergeben, und daher in $\pi _{n+k}(S^{k})$. Insgesamt ergibt das eine Abbildung:

$J_{n,k}\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k}),$

von der sich zeigen lässt, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zweite Definition

Die Einpunkt-Kompaktifizierung des euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{m}$ ist die Sphäre $S^{m}$ und es gibt eine injektive Einbettung $\mathbb {R} ^{m}\rightarrow S^{m}$. Für eine stetige Abbildung $f\colon S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$ gibt es dadurch eine Abbildung:

$\mathbb {R} ^{n+k}\rightarrow S^{n}\times \mathbb {R} ^{k}\xrightarrow {(x,y)\mapsto f(x)(y)} \mathbb {R} ^{k},$

deren Einpunkt-Kompaktifizierung eine Abbildung $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ ist. Die Einschränkung auf Homotopieklassen ist wohldefiniert.

Verallgemeinerungen

In den gerade beschreibenen Konstruktion kann der J-Homomorphismus ebenso für spezielle orthogonale Matrizen betrachtet werden, was einen Gruppenhomomorphismus $J_{n,k}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k})$ ergibt. Für (spezielle) unitäre Matrizen ist jedoch eine Änderung notwendig: Eine unitäre Matrix $U\in \operatorname {U} (k)$ (oder eine spezielle unitäre Matrix $U\in \operatorname {SU} (k)$) definiert eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {C} ^{k}\rightarrow \mathbb {C} ^{k}$, also eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {R} ^{2k}\rightarrow \mathbb {R} ^{2k}$über die Korrespondenz $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$, die sich aufgrund der Unitarität der Matrix auf eine wohldefinierte Abbildung $U\colon S^{2k-1}\rightarrow S^{2k-1}$ einschränkt. Die weitere Konstruktion völlig analog ergibt J-Homomorphismen:

$J_{n,k}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k})$

$J_{n,k}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k}).$

Verwendung in stabiler Homotopietheorie

Von allen vier J-Homomorphismen lässt sich der Kolimes bilden, folgend nur für den der orthogonalen und unitären Gruppe beschrieben. Es gibt kanonische Inklusionen $\operatorname {O} (k)\hookrightarrow \operatorname {O} (k+1)$ und $\operatorname {U} (k)\hookrightarrow \operatorname {U} (k+1)$ durch Erweiterung der Matrix durch eine zusätzliche Zeile und Spalte mit nur Nulleinträgen bis auf einen Einseintrag auf dem zusätzlichen Diagonaleintrag, die durch Nachkomposition (welche Homotopien erhält) jeweils eine kanonische Inklusion $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {O} (k+1))$ und $\pi _{n}(\operatorname {U} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {U} (k+1))$ induziert. Durch einfache (bei den beiden orthogonalen Gruppen) oder doppelte (bei den beiden unitären Gruppen) Anwendung der Einhängung (welche Homotopien sowie Sphären erhält), gibt es kanonische Abbildungen $\pi _{n+k}(S^{k})\rightarrow \pi _{n+k+1}(S^{k+1})$ und $\pi _{n+2(k+1)}(S^{2k})\rightarrow \pi _{n+2(k+1)}(S^{2(k+1)})$. In beiden Fällen wird $k$ in den Gruppen auf $k+1$ verschoben, wobei sich mit den J-Homomorphismen $J_{n,k}^{\operatorname {O} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {O} }$ oder $J_{n,k}^{\operatorname {U} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {U} }$ eine kommutative Relation ergibt. Diese gestattet die Bildung des Kolimes über $k$ und es ergeben sich die vier J-Homomorphismen:

$J_{n}^{\operatorname {O} }\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

Verbindung zur Kobordismus- und Chirurgietheorie

Die stabilen Homotopiegruppen $\pi _{n}^{\mathrm {stab} }$ der Sphären sind durch die Pontrjagin-Thom-Konstruktion isomorph zum gerahmten Kobordismusring $\Omega _{n}^{\operatorname {SO} }$.

Draft: Lie-Gruppoide

Lie-Gruppoide sind Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ surjektiv ist, wird transitiv genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ eigentlich ist, wird eigentlich genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das $s,t\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightrightarrows {\mathcal {G}}_{0}$ lokale Diffeomorphismen sind, wird étale genannt.

• Paargruppoide sind étale.
• Einheitsgruppoide sind nie étale.

Weblinks

• Lie gruppoid auf nLab (englisch)

Draft: Lie-Algebroide

Lie-Algebroide sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Weblinks

• Lie algebroid auf nLab (englisch)

Draft: Unitäre Transformation

XXXX

Eigenschaften

• Unitäre Transformationen erhalten hermitische, antihermitesche und unitäre Operatoren
• Unitäre Transformationen erhalten Bose-Operatoren und Fermi-Operatoren.

XXXX

Draft: Arnold–Kuiper–Massey-Theorem

Das Arnold–Kuiper–Massey-Theorem (oder AKM-Theorem) ist im mathematischen Teilgebiet der projektiven Geometrie eine aus drei verwandten Teilresultaten bestehende Erkenntnis über projektive Ebenen und ihre Verbindung zu Sphären.

Komplexes AKM-Theorem

Quaternionisches AKM-Theorem

Oktonionisches AKM-Theorem

Weblinks

• Arnold–Kuiper–Massey-Theorem auf nLab (englisch)

Draft: Riemann–Silberstein-Vektor

Der Riemann–Silberstein-Vektor (oder Weber-Vektor) ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein komplexer Vektor, welcher das elektrische und magnetische Feld miteinander kombiniert. Benannt ist der Vektor nach Bernhard Riemann, Ludwik Silberstein und Heinrich Martin Weber.

Die Divergenz des Riemann–Silberstein-Vektors vereint das Coulombsche Gesetz (erste Maxwell-Gleichung) und die Gaußsche Gesetz (zweite Maxwell-Gleichung):

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {E} +ic\nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}.$

Die Rotation des Riemann–Silberstein-Vektor vereint das Faradaysche Gesetz (dritte Maxwell-Gleichung) und das Ampéresche Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung):

$\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {E} +ic\nabla \times \mathbf {B} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+ic\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=i\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}\right).$

[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Draft: Kategorie der kleinen Kategorien

Die Kategorie der kleinen Kategorien, notiert als $\mathbf {Cat}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kleinen Kategorien als Objekten und der Klasse aller Funktoren als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Cat}$ ist

• kartesisch abgeschlossen, aber nicht lokal kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Cat auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Mengen

Die Kategorie der Mengen, notiert als $\mathbf {Set}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Mengen als Objekten und der Klasse aller Abbildungen als Morphismen.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Set}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• kartesisch abgeschlossen.
• regulär.
• lokal endlich präsentierbar.

$\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Set auf nLab (englisch)
• SimpSet auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Gruppen

Die Kategorie der Gruppen, notiert als $\mathbf {Grp}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Grp}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt eine kanonische und volle Inklusion $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ der Kategorie der abelschen Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Gruppen wird als $\mathbf {Grp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Grp}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

• regulär.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Grp auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der abelschen Gruppen

Die Kategorie der abelschen Gruppen, notiert als $\mathbf {AbGrp}$ (oder nur $\mathbf {Ab}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller abelschen Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {AbGrp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {AbGrp}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) zu diesem.
• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ in die Kategorie der Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor)
• Da abelsche Gruppen genau $\mathbb {Z}$-Moduln sind, ist die Kategorie der abelschen Gruppen isomorph zur Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln:

  $\mathbf {Ab} \cong \mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }$.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {AbGrp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {AbGrp}$ ist

• nicht kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Ab auf nLab (englisch)
• sAb auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Ringe

Die Kategorie der Ringe, notiert als $\mathbf {Ring}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Ringe (mit Einheitselement) als Objekten und der Klasse aller Ringhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Ring} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Ringstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Ring}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Eigenschaften

$\mathbf {Ring}$ ist

• nicht balanciert. Etwa ist $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ monisch und episch, aber kein Isomorphismus.

Weblinks

• Ring auf nLab (englisch)
• CRing auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Körper

Die Kategorie der Körper, notiert als $\mathbf {Field}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Körper als Objekten und der Klasse aller Körperhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Field} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Körperstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Field}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Der rationale Körper $\mathbb {Q}$ ist kein initiales Objekt in der Kategorie $\mathbf {Field}$ (da etwa kein Körperhomomorphismus in einen endlichen Körper existiert), aber in der Kategorie $\mathbf {Field} _{0}$. Aus diesem Grund kann das Studium von Körpererweiterungen mit verschwindender Charakteristik (wie in der Algebraischen Galoistheorie) stets ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf die Betrachtung von Körpererweiterungen über dem rationalen Körper $\mathbb {Q}$ (genannt Zahlenkörper) beschränkt werden.

Eigenschaften

$\mathbf {Field}$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Field auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Moduln

Die Kategorie der $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln für einen Ring $R$, notiert als $_{R}\mathbf {Mod}$ bzw. $\mathbf {Mod} _{R}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln als Objekten und der Klasse aller Modulhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $_{R}\mathbf {Mod} ,\mathbf {Mod} _{R}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welche die Modulstruktur vergessen. Dadurch sind $_{R}\mathbf {Mod}$ und $\mathbf {Mod} _{R}$ konkrete Kategorien.
• Da $\mathbb {Z}$-Moduln genau abelsche Gruppen sind, ist die Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln isomorph zur Kategorie der abelschen Gruppen:

  $\mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }\cong \mathbf {Ab}$.

Eigenschaften

$\mathbf {Mod}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Kategorie aller Moduln

Weblinks

• Mod auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Vektorräume

Die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Vektorraumstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Vect} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

Kategorie aller Vektorräume

Eigenschaften

$\mathbf {Vect}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

Weblinks

• Vect auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der normierten Räume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) normierten Vektorräume, notiert als $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }$ in die Kategorie der $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$-Vektorräume, welcher die Norm vergisst.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Norm} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Banachräume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) Banachräume, notiert als $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Banachräume (vollständige normierte Vektorräume) als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$ in die jeweiligen Kategorie der normierten Vektorräume, welcher die Vollständigkeit der Norm vergisst.

Eigenschaften

$\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$ sind

• (klein) bivollständig, also klein-vollständig und klein-kovollständig.
• haben alle kleinen Produkte und alle kleinen Koprodukte.
• haben alle Differenzkerne und Differenzkokerne.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der metrischen Räume

Die Kategorie der metrischen Räume, notiert als $\mathbf {Met}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller metrischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Met} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Metrik vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Met}$ eine konkrete Kategorie.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Räume

Die Kategorie der topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der diskreten Topologie $\operatorname {Dis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) und der Funktor der indiskreten Topologie $\operatorname {Indis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist rechtsadjungiert (ein Koreflektor) zu diesem.

Eigenschaften

$\mathbf {Top}$ ist

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• nicht kartesisch abgeschlossen und nicht lokal kartesisch abgeschlossen.
• nicht regulär.
• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Top auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der punktierten topologischen Räume

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top} _{*}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller punktierten topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller punktierten stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Punktierung und die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top} _{*}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit dem Funktor der Vereinigung mit dem einpunktigen Raum $\cdot +\{*\}\colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Adjunktion zwischen dem Schleifenraum und der Einhängung

Zwei zentrale Endofunktoren (Funktoren von einer Kategorie in sich selbst) auf der Kategorie $\mathbf {Top} _{*}$ sind die reduzierte Einhängung $\Sigma \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ und der Schleifenraum $\Omega \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$, welche adjungiert zueinander sind. $\Sigma$ ist der linksadjungierte und $\Omega$ ist der rechtsadjungierte Funktor, notiert als $\Sigma \dashv \Omega$. Seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ punktierte topologische Räume. Einer stetigen punktierten Abbildung $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$lässt sich eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {f}}\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),x\mapsto (t\mapsto f([(x,t)]))$

zuordnen. Einer stetigen punktierten Abbildung $g\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$lässt sich umgekehrt eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {g}}\colon \Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0}),[(x,t)]\mapsto g(x)(t)$

zuordnen. Da die doppelte Anwendung der Konstruktion wieder auf die jeweils ursprünglichen Abbildungen zurückführt (also ${\widetilde {\widetilde {f}}}=f$ und ${\widetilde {\widetilde {g}}}=g$) bilden diese eine Bijektion zwischen den stetigen punktierten Abbildungen $(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$ und den stetigen punktierten Abbildungen $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$.

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Draft: Kategorie der topologischen Vektorräume

Die Kategorie der topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen topologischen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräumen als Objekten und der Klasse aller stetigen und linearen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ in die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume, welcher die Topologie vergisst.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume, welcher die Vektorraumstruktur vergisst.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cHaus}$ (oder $\mathbf {CHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit der Stone–Čech-Kompaktifizierung $\beta \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {cHaus}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Eigenschaften

$\mathbf {cHaus}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• nicht kartesisch abgeschlossen.
• exakt.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

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Draft: Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cgwHaus}$ (oder $\mathbf {CGWHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen. Da kompakt generierte schwache Hausdorff-Räume speziellere und nützliche Eigenschaften haben, welche sich auf ihre Kategorie übertragen, wird diese in der Algebraischen Topologie oft bevorzugt zur Kategorie der topologischen Räume verwendet.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cgwHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume.

Eigenschaften

• $\mathbf {cgwHaus}$ und $\mathbf {cgHaus}$ sind regulär.

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Draft: Kategorie der diffeologischen Räume

Die Kategorie der diffeologischen Räume, notiert als $\mathbf {Difflog}$ (teils auch nur als $\mathbf {Diff}$, wobei jedoch Verwechselungsgefahr mit der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller diffeologischen Räume als Objekten und der Klasse aller glatten Abbildungen als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Difflog}$ ist:

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig
• kartesisch abgeschlossen

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Draft: Simplex-Kategorie

Die Simplex-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Weblinks

• simplex category auf nLab (englisch)

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Draft: Simpliziales Objekt

Ein simpliziales Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Ein simpliziales Objekt

• in $\mathbf {Set}$, der Kategorie der Mengen, ist eine simpliziale Menge.
• in $\mathbf {Grp}$, der Kategorie der Gruppen, ist eine simpliziale Gruppe.
• in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, ist ein simplizialer topologischer Raum.

Weblinks

• simplicial object auf nLab (englisch)

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Draft: Simplizialer topologischer Raum

Ein simplizialer topologischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der topologischen Räume.

Definition

Ein simplizaler topologischer Raum ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Top}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Top}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der topologischen Räume. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von topologischen Räumen sowie stetigen Abbildungen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Kategorie der simplizialen topologischen Räume

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sTop} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sSet}$.

Weblinks

• simplicial topological space auf nLab (englisch)

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Draft: Simpliziale Gruppe

Eine simpliziale Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der Gruppen.

Definition

Eine simplizale Gruppe ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Grp}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Grp}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der Gruppen. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Gruppen sowie Gruppenhomomorphismen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Lemmata

• Die zugrundeliegende simpliziale Menge einer simplizialen Gruppe ist ein Kan-Komplex.

Kategorie der simplizialen Gruppen

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sGrp} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Grp} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sGrp} \rightarrow \mathbf {sSet}$. Nach einem der obigen Lemmata faktorisiert dieser Funktor über $\mathbf {Kan}$.

Weblinks

• simplicial group auf nLab (englisch)
• simplicial abelian group auf nLab (englisch)
• free simplicial abelian group auf nLab (englisch)

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Exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer euklidischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einem euklidischen Raum ist.

Klassifikation

Kleiner exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird klein genannt.

Großer exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich nicht in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird groß genannt.

Literatur

• Michael H. Freedman, Frank Quinn: Topology of 4-manifolds (= Princeton Mathematical Series. Band 39). Princeton University Press, Princeton, NJ 1990, ISBN 0-691-08577-3 (englisch, archive.org). 
• Michael H. Freedman, Laurence R. Taylor: A universal smoothing of four-space. In: Journal of Differential Geometry. 24. Jahrgang, Nr. 1, 1986, ISSN 0022-040X, S. 69–78, doi:10.4310/jdg/1214440258 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 
• Robion C. Kirby: The topology of 4-manifolds (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1374). Springer-Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-540-51148-2 (englisch). 
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds. American Mathematical Society, Providence, RI 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8 (englisch). 
• John Stallings: The piecewise-linear structure of Euclidean space. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 58. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 481–488, doi:10.1017/s0305004100036756, bibcode:1962PCPS...58..481S (englisch, cambridge.org). 
• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. Band 20). American Mathematical Society, Providence, RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds. In: Journal of Differential Geometry. 25. Jahrgang, Nr. 3, 1987, 1214440981, S. 363–430, doi:10.4310/jdg/1214440981 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 

Exotische Sphäre

Eine exotische Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einer Standardsphäre ist.

Milnor-SphäreJohn Milnor gab im Jahr 1956 die ersten Beispiele für exotische Sphären mithilfe von Vektorbündeln an.

Brieskorn-Sphäre

→ Hauptartikel: Brieskorn-Sphäre

Egbert Brieskorn gab im Jahr 1966 eine alternative Konstruktionen für exotische Sphären als über Vektorbündel an.

Draft: Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie ist die Milnor-Sphäre eine von John Milnor im Jahr 1956 gefundene spezielle siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur siebendimensionalen Sphäre ist. Sie war historisch das erste Beispiel einer exotischen Sphäre.

Sieben Dimensionen

Die gewöhnliche $7$-Sphäre $S^{7}$ ist ein $S^{3}$-Faserbündel über $S^{4}$, bekannt als quaternionische Hopf-Faserung.

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Konstruktion

Ein $S^{3}$-Faserbündel lässt sich allgemein als Sphärenbündel eines vierdimensionalen reellen Vektorbündels darstellen. Über der $4$-Sphäre $S^{4}$ (welche sich als Verklebung von zwei $4$-Scheiben $D^{4}$, der Nord- und Südhalbkugel, an ihrem Rand $S^{3}$, dem Äquator, darstellen lässt), ergibt sich jedes vierdimensionale reelle Vektorbündel als Verklebung von zwei trivialen vierdimensionalen reellen Vektorbündeln über den beiden $4$-Scheiben $D^{4}$ (nicht trivial ist nicht möglich, da $D^{4}$ zusammenziehbar ist) entsprechend einer Abbildung $S^{3}\rightarrow \operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$ an ihrem Rand $S^{3}$. Das dadurch konstruierte Vektorbündel hängt nur von der Homotopieklasse der Abbildung ab. Es besteht sogar eine Bijektion:

$\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{4}(S^{4})\cong \pi _{3}\operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$.

In englischer Literatur ist diese Konstruktion (mit Vektorbündeln allgemeinen Ranges über Sphären allgemeiner Dimension, wofür $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(S^{k})\cong \pi _{k-1}\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$) als Clutching Construction bekannt.

Für jedes Paar $(h,k)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ganzer Zahlen gibt es daher bis auf Isomorphie ein vierdimensionales reelles Vektorbündel $\xi _{h,k}\colon E_{h,k}\rightarrow S^{4}$ über $S^{4}$. Für die Euler-Klasse und erste Pontrjagin-Klasse dieses Vektorbündels gilt:

$e(\xi _{h,k})=(h+k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$

$p_{1}(\xi _{h,k})=2(h-k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$,

wobei $\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1}$ das tautologische Linienbündel über der quaternionisch projektiven Linie $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist.

Das Sphärenbündel $S(E_{h,k})$, eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, ist nun der Rand des Scheibenbündels $D(E_{h,k})$, einer achtdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Mithilfe von Morse-Theorie lässt sich zeigen, dass $S(E_{h,k})$ für $|h-k|=1$ homöomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$ ist.

Wäre sie ebenfalls diffeomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$, ließe sich das Kofaserprodukt $M_{h,k}=D(E_{h,k})+_{S(E_{h,k})}D^{8}$ betrachten, eine achtdimensionale glatte Mannigfaltigkeit, für welche sich der Hirzebruchsche Signatursatz anwenden lässt. Wird $D^{8}$ in dieser auf einen Punkt kollabiert, ergibt sich der Thom-Raum $\operatorname {Th} (E_{h,k})=D(E_{h,k})/S(E_{h,k})=M_{h,k}/D^{8}$.

Gemäß dem Hirzebruchschen Signatursatz gilt:

$\sigma (M_{h,k})=\langle L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k})),[M_{h,k}]\rangle$.

Die Unkenntnis der zweiten Pontrjagin-Klasse $p_{2}(M_{h,k})$ kann (nach Multiplikation beider Seiten mit $45$) durch den Übergang der Werte auf die Restklasse $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ umgangen werden, da der entsprechende Summand dann verschwindet.

Weblinks

• exotic 7-sphere auf nLab (englisch)

Draft: Homotopietheorie

Sei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall. Eine stetige Abbildung $h\colon X\times I\rightarrow Y$ wird eine Homotopie von $h_{0}=h(0,-)\colon X\rightarrow Y$ nach $h_{1}=h(1,-)\colon X\rightarrow Y$ genannt, diese werden dann homotop genannt. When $X$ und $Y$ jeweils punktierte Räume sind, dann müssen die Abbildungen $h_{t}=h(t,-)$ jeweils den Basispunkt festhalten, in diesem Fall ist $h$ eine punktierte Homotopie und XXXX. (Punktierte) Homotopie ist eine Äquivalenzrelation.

Für (punktierte) topologische Räume $X$ und $Y$ wird die Menge der (punktierte) stetigen Abbildungen $X\rightarrow Y$ als $C(X,Y)$ bzw. $C_{*}(X,Y)$ bezeichnet. Die Quotientenmenge unter der Äquivalenzrelation der (punktierten) Homotopie ist die (punktierte) Abbildungsklasse $[X,Y]$ bzw. $[X,Y]_{*}$, deren Elemente als (punktierte) Homotopieklassen bezeichnet werden.

Für einen punktierten topologischen Raum $X$ und eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ die Homotopieklasse XXXX.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy theory auf nLab (englisch)

Draft: Homotopiegruppen von Sphären

Die Homotopiegruppen der Sphären beschreiben im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie wie Sphären verschiedener Dimension umeinander gewickelt werden können.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy groups of spheres auf nLab (englisch)

Draft: Hurewicz-Homomorphismus

Das Hurewicz-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein grundlegendes Resultat zur Verbindung von Homotopietheorie with Homologietheorie durch den Hurewicz-Homomorphism. Ein analoges Theorem und ein analoger Homomorphismus verbindet Kohomotopietheorie mit Kohomologietheorie. Das Theorem ist nach Witold Hurewicz benannt und verallgemeinert frühere Resultate von Henri Poincaré.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• Hurewicz theorem auf nLab (englisch)

Douban

Douban (Chinese: 豆瓣; pinyin: Dòubàn), gestartet am 6. März 2005,

Douban ist nach einem Hutong im Stadtbezirk Chaoyang in Beijing benannt, in welchem Gründer Yang Bo während der Arbeit an der Webseite wohnte.

Douban hatte 2013 insgesamt 200 Millionen registierte Nutzer und einige chinesische Schriftsteller wie Kritiker registrieren dort ihre offiziellen eigenen Seiten. Die Webseite wurde mit anderen Reviewseiten wie IMDb, Rotten Tomatoes und Goodreads. verglichen.

Chinesische Science-Fiction

Chinesische Science-Fiction (traditionelles Chinese: 科學幻想, vereinfachtes Chinesisch: 科学幻想, Pinyin: kēxué huànxiǎng, meist abgekürzt zu 科幻/kēhuàn, wörtlich wissenschafltiche Fantasie) ist ein Genre der Literatur, welches sich mit potentiellen sozialen und technologischen Weiterentwicklung der Zukunft in Ostasien befasst.

Festlandchina

Späte Qing-Dynastie

Science-Fiction wurde in China beginnend mit der Übersetzung westlicher Science-Fiction-Werke während der späten Qing-Dynastie bekanntgemacht. Befürworter der westlichen Modernisierung wie Liang Qichao und Kang Youwei wollten diese als Werkzeug zur Unterstützung technologischer Neuerungen und wissenschaftlichen Fortschritts nutzen. Mit der Übersetzung von Zwei Jahre Ferien von Jules Verne in klassisches Chinesisch (als Fünfzehn kleine Helden) wurde Liang Qichao dabei zum ersten und einflussreichsten Antreiber der chinesischen Science-Fiction.

Das frühste eigenständige Werk der chinesischen Science-Fiction ist mutmaßlich der unfertige Roman Mondkolonie (月球殖民地小說), welcher im Jahr 1904 von einem unbekannten Autoren unter dem Pseudonym Alter Fischermann am abgelegenen Fluss (荒江釣叟) veröffentlicht wurde.

Zeit der Republik China

Nach dem Ende der Qing-Dynastie im Jahr 1911 ging China durch eine Serie von dramatischen sozialen und politischen Veränderungen, welche das Genre der Science-Fiction enorm beeinträchtigten.

Zeit der Volksrepublik China

1949–1966

Nach dem Chinesischen Bürgerkrieg (1945–49) und der Ausrufung der Volksrepublik China auf dem chinesischen Festland

1978–1983

Während der Kulturrevolution (1966–76) wurde wenig Literatur gedruckt und Science-Fiction verschwand aus Festlandchina. Im Jahr 1979 begann das neu gegründete Magazin Wissenschaftliche Literatur (科学文艺) übersetzte und neu geschriebene Science-Fiction zu veröffentlichen. Zheng Wenguang widmete sich während dieser Zeit wieder dem Schreiben von Science-Fiction. Tong Enzheng schrieb Todesstrahl auf einer Koralleninsel, welcher später der erste chinesische Science-Fiction-Film wurde. Andere einflussreiche Schriftsteller aus dieser Zeit sind Liu Xingshi, Wang Xiaoda, and der aus Hong Kong stammende Ni Kuang.

Taiwan

Taiwanesische Science-Fiction-Autoren sind unter anderem Wu Mingyi (吳明益), Zhang Xiaofeng (張曉風), Zhang Ziguo (张系国), Huang Hai (黃海), Huang Fan (黃凡), Ye Yandou (葉言都), Lin Yaode (林燿德), Zhang Dachun (張大春), Su Yiping (蘇逸平), Chi Ta-wei (紀大偉), Hong Ling (洪凌), Ye Xuan (葉軒), Mo Handu (漠寒渡), Yu Wo (御我), and Mo Ren (莫仁).

Malaysia

Zhang Cao (張草) ist ein malaysisch-chinesische Science-Ficition-Autor, welcher mehrere Romans in chinesischer Sprache veröffentlicht hat.

• Supernova (超新星纪元) von Liu Cixin, ISBN 978-3-641-24533-7.
• Kugelblitz (球状闪电) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-32030-7.
• Trisolaris-Trilogie (三体三部曲):
  • Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31716-1.
  • Der dunkle Wald (黑暗森林) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31765-9.
  • Jenseits der Zeit (死神永生) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31766-6.

• Botschafter der Sterne (观想之宙) von Baoshu

• Vagabonds (流浪苍穹) von Hao Jingfang

• Jumpnauts (宇宙跃迁者) von Hao Jingfang

• Die Siliziuminsel (硅屿) von Chen Qiufan

• Die Kolonie (蚁生) von Wang Jinkang
• Hospital-Trilogie (医院三部曲):
  • Hospital (医院) von Han Song
  • Exorcism (驱魔) von Han Song
  • Dead Souls (亡灵) von Han Song

Sammlungen

• Die wandernde Erde von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31924-0.
• Hold Up the Sky von Liu Cixin, ISBN 978-7-5505-0883-5.
• Der Blick von den Sternen von Liu Cixin, ISBN 978-7-110-09821-9.

Anthologien

• Zerbrochene Sterne, ISBN 978-3-453-32058-1.

• Quantenträume, ISBN 978-3-453-31904-2.

• Invisible Planets

• Sinopticon

Draft: Shanghai Fortress

Shanghai Fortress (chinesisch 上海堡垒, Pinyin shànghǎi bǎolěi) ist ein chinesischer Science-Fiction-Film aus dem Jahr 2019 unter der Regie von Teng Huatao und mit Beteiligung von Lu Han und Shu Qi. Die Geschichte basiert auf dem gleichnamigen Science-Fiction-Roman von Jiang Nan (auch bekannt als Once Upon a Time in Shanghai), in welchem die Menschheit sich gegen Außerirdische verteidigen muss, welche die Erde im Jahr 2042 wegen einer versteckten Energiequelle angreifen. Die Premiere des Films war am 9. August 2019 in China. Es war der letzte Film mit Godfrey Gao vor seinem Tod am 27. November 2019.

Handlung

In der nahen Zukunft stößt die Menschheit im Weltraum auf die Energiequelle Xianteng (仙藤, xiānténg), welche innerhalb weniger Jahre andere Energieträger wie Öl und Kohle vollständig ersetzt und die Entwicklung zahlreicher Städte rasant vorantreibt. Auf der Suche nach Xianteng greifen ein außerirdisches Mutterschiff und eine begleitende Zerstörerflotte nacheinander die darüber verfügenden Städte an. Die letzte verbleibende Stadt ist Shanghai, welche von einem schützenden Kraftfeld komplett umgeben ist. In einem Simulationszentrum beobachten Kommandantin Lin Lan und Offizier Shao Yiyun eine Übung von Jiang Yang, Zeng Yu und Lu Yiyi gegen den bevorstehenden Angriff durch die Steuerung von Abwehrdrohnen. Jiang Yang ist heimlich in Lin Lan verliebt und schreibt ihr abends eine Nachricht.

Das außerirdische Mutterschiff erreicht Shanghai und feuert auf das Kraftfeld, um durch die dabei entstehenden Löcher einen Schwarm an Robotern eindringen zu lassen. Der Angriff kann vorerst abgewehrt werden. Als eine Schwachstelle am Mutterschiff entdeckt wird, schlägt der Kanonen-Kommandant Yang Jiannan, welcher mit Lin Lan verlobt ist, den Einsatz der Shanghai-Kanone (上海大炮, shànghǎi dàpào) vor, die sich im Huangpu-Fluss befindet. Shao Yiyun lehnt das ohne weitere Kenntnisse über den Feind zunächst ab und führt Lin Lan anschließend in eine unterirdische Höhle, in welcher Xianteng aufbewahrt wird. Inzwischen hat es begonnen, sich selbst zu reproduzieren und speist zudem das schützende Kraftfeld von Shanghai. Ein Einsatz der Shanghai-Kanone könnte dieses daher massiv schwächen.

Besetzung

• Lu Han als Jiang Yang (江洋)
• Shu Qi als Lin Lan (林澜)
• Godfrey Gao als Yang Jiannan (杨建南)
• Shi Liang als Shao Yiyun (邵一云)
• Wang Sen als Pan Hantian
• Wang Gongliang als Zeng Yu (曾煜)
• Sun Jialing als Lu Yiyi (路依依)

Veröffentlichung

Der erste Trailer für den Film wurde am 10. Februar 2019 veröffentlicht. Der Film wurde am 9. August 2019 in China veröffentlicht.

Weblinks

• Shanghai Fortress auf IMDb
• Shanghai Fortress auf Douban (chinesisch)
• Shanghai Fortress auf Mtime.com (chinesisch)

Draft: Die Kolonie

Die Kolonie (chinesisch 蚁生, Pinyin yǐshēng 'Ameisenleben') ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Wang Jinkang.

Gemäß einer Bemerkung zu Beginn des Buches sind zwar die Charaktere und die Handlung frei erfunden, basieren jedoch auf wahren Begebenheiten, welche Wang Jinkang während der Kulturrevolution selbst erlebt hat.

Handlung

Buch I: Die Ameisen

In der Nacht wird Cen Mingxia von Lai Ansheng vergewaltigt, wobei Sun Xiaoxiao alles heimlich mitbekommt. Sie erzählt es ihrer Freundin Guo Qiuyun, die es wiederum ihrem Freund Yan Zhe erzählt. Dieser plant daraufhin völlig aufgebracht eine Anzeige. Guo Qiuyun rät Yan Zhe jedoch davon ab, da Cen Mingxia wohl aus Scham und Sun Xiaoxiao wohl durch Druck von Lai Ansheng alles abstreiten würden und Lai Ansheng anschließend Yan Zhe der Intrige gegen einen revolutionären Führungskader beschuldigen könnte. Zhuang Xuexu tritt an die beiden heran und behauptet, dass Lai Ansheng darüber hinaus sogar erfahren hat, dass Yan Zhe ihn anzeigen will, und ihn daher zur eigenen Sicherheit von zwei anderen Jungen der Farm, Chen Decai und Chen Xiukuan, ermorden lassen will. Yan Zhe ist wegen seines „Schatzes“ zwar völlig unbesorgt, doch Guo Qiuyun hält ohne sein Mitwissen verzweifelt Wache in einem Baum vor seiner Hütte. Dabei denkt sie an den Suizid seiner Eltern zurück, an welchen sie sich schuldig fühlt.

Zu Beginn der Kulturrevolution wurden Yan Fuzhi (wegen seinen Behauptungen zur kollektiven Struktur von Ameisenkolonien) und seine Ehefrau Yuan Chenlu (wegen eines zu freizügigen Urlaubsfotos) in Beiyin schnell als Feindbilder angesehen. Yan Fuzhi wird erst öffentlich denuziert und dann geschlagen, erstmals auf dem Schulhof von dem Oberstufenschüler XXXX Jiasheng. Guo Qiuyun versucht derweil bei Zhuang Xuexu, der inzwischen zum Vorsitzenden der XXXX ernannt wurde, die sofortige Beendigung der Quälerei des Vaters ihres Freundes zu erwirken. Doch Zhuang Xuexu, der einst in sie verliebt gewesen war und sich wegen ihrer Beziehung zu Yan Zhe an ihr rächen will, ignoriert die Forderung. Nachdem Zhuang Xuexu auf einem Abbild von Mao Zedong das Wort „Tyrann“ zu erkennen glaubt, ruft er tief nachts die gesamte Mittelschule dazu auf, sich zu rächen. Guo Qiuyun wird von ihren Zweifeln, ob ihre gestrige Anfrage zum Einhalt als konterrevolutionär verurteilt werden könnte, sowie (wesentlich stärker) von der aufgebrachten Masse gepackt und tritt einen der am Boden liegenden XXXX. Als dieser sich umdreht, erkennt sie den blutbeschmierten Yan Fuzhi, worauf sie verzweifelt davonläuft und von völligem Unverständnis geplagt wird, wie die aufgebrachte Masse sie überhaupt dazu bringen konnte. (Auch XXXX Jiasheng würde seine grausame Tat einige Zeit später auf ähnliche Weise bereuen.) Yuan Chenlu ruft nach der Aktion verzweifelt die Wachen herbei und enthüllt, dass sie und ihr Ehemann Yan Fuzhi vorab geplant hatten, gemeinsam Suizid mit in ihren Schuhsohlen versteckten Rasierklingen zu begehen, sofern die Lage zu aussichtslos sei. Sie fürchtet, dass Yan Fuzhi den Zeitpunkt nun für gekommen hält, und zeigt eine halbe Rasierklinge als Beweis. Tatsächlich hat Yan Fuzhi bereits Suizid begangen. Guo Qiuyun wird aufgrund ihrer Beziehung absichtlich als Wache für Yuan Chenlu eingeteilt und überlegt, ihr die Mitschuld am Suizid von Yan Fuzhi anzuvertrauen. Sie glaubt, dass dieser gerade bei ihrem Anblick jede Hoffnung verloren habe. Stattdessen versichert sie Yuan Chenlu, ihrem Sohn Yan Zhe als seine Freundin beizustehen. Yuan Chenlu begeht daraufhin heimlich Suizid mit der versteckten anderen Hälfte der Rasierklinge. Guo Qiuyun fühlt sich erneut schuldig, da sie glaubt, ihr mit ihrer Bemerkung die letzte Hürde genommen zu haben.

Im frühen Morgengrauen hört Guo Qiuyun von ihrem Versteck aus unbemerkt ein Gespräch von Chen Decai und Chen Xiukuan. Diese diskutieren über ein Mädchen, welches alle drei (inklusive Lai Ansheng) bereits vergewaltigt haben. Guo Qiuyun vermutet dabei jedoch nicht Cen Mingxia, sondern ein ganz anderes Mädchen. Das weitere Gespräche bestätigt die Gerüchte über den geplanten Mord an Yan Zhe. Als Chen XXXX sich drücken will, erinnert ihn Chen XXXX daran, dass ihnen allen die Erschießung droht und sie daher nichts mehr zu verlieren haben. Lei Ansheng teilt Yan Zhe anschließend bei der morgendlichen Versammlung unüblich in eine Gruppe mit den beiden ein, um fernab Besorgungen zu machen. Yan Zhe versichert Guo Qiuyun, dass sie sich keine Sorgen machen braucht, holt seinen „Schatz“ und läuft mit beiden davon.

Buch II: Die Königin

Buch III: Das Serum

Draft: Liu Cixin

Liu Cixin ist verheiratet und hat eine Tochter. Ihr ist sein Roman Supernova gewidmet, wobei beide in diesem sogar namentlich auftreten. Laut eigener Aussage haben jedoch weder seine Frau noch Tochter seine Werke je gelesen. Liu Cixin lebt in Taiyuan.

Seine Fans bezeichneten sich früher selbst als Magnete (XXXX, Pinyin XXXX). Von seinen Fans wird Liu Cixin auch 'Lehrer Liu' (刘老师, Pinyin liú lǎoshī) oder 'Großer Liu' (大刘, Pinyin dà liú), genannt. Letztere Bezeichnung wird in China sogar auf einigen Ausgaben seiner Publikationen verwendet. In deutschen Ausgaben, etwa im Vorwort der Kurzgeschichte „Großes steht bevor“ von Baoshu (erschienen in der Anthologie „Zerbrochene Sterne“), wird dafür die Übersetzung 'Großmeister Liu' verwendet.

Barack Obama zeigte sich als großer Fan der Trisolaris-Trilogie, listete das erste Buch „Die drei Sonnen“ in seiner Buchleseliste für den Sommer 20XX und nannte es in einem Interview „wildly imaginative, really interesting“. Bei einem Besuch von Obama in Beijing im XXXX 20XX

Am 20. April 2023 hielt Liu Cixin anlässlich des Chinese Language Day eine Rede vor den Vereinten Nationen.

Draft: Die wandernde Erde III

Hintergrund

Einige Fans nennen den Film scherzhaft "Das wandernde Ohr"(流浪耳朵). Das liegt daran, dass das offizielle Poster des zweiten Teils das letzte "H" des englischen Titels ("THE WANDERING EARTH") in die römische Zahl "II" umwandelte und daher einige nicht offizielle Poster des dritten Teils das "TH" in "III", was "EARTH" (englisch für Erde) auf "EAR" (englisch für Ohr) reduziert. Aber es wird erwartet, dass das offizielle Poster stattdessen das "E" in die chinesische Zahl "三" umwandeln wird, um ebenfalls Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin zu referenzieren.

Draft: Hold Up The Sky (de)

The Time Migration (englisch für Zeitmigration, chinesisch 时间移民, Pinyin shíjiān yímín) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht im April 2010. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 时间移民 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 时间移民 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Fire in the Earth (englisch für Feuer in der Erde, chinesisch 地火, Pinyin de huǒ) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Februar 2000. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 地火 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 地火 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Full-Spectrum Barrage Jamming (englisch für Rocken auf ganzer Frequenz, chinesisch 全频带阻塞干扰, Pinyin quán píndài zǔsè gānrǎo) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2009. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Auszeichnung

Die Kurzgeschichte gewann den Galaxy Award im Jahr 2001.

Weblinks

• 全频带阻塞干扰 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 全频带阻塞干扰 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Cloud of Poems (englisch für Wolke der Gedichte, chinesisch 诗云, Pinyin shīyún) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Nach den Ereignissen von Weltenzerstörer kehrte dieser zur Erde zurück und half diese auszuhöhlen und eine Welt für Menschen darin zu erschaffen. Die Sonne im Zentrum ist tatsächlich ein Weißes Loch, welches das Licht vom zugehörigen Schwarzen Loch im Orbit um einen anderen Stern abstrahlt. Künstliche Gravitation wird durch eine schnellere Erdrotation erzeugt, sodass keine an den Polen herrscht. Der Mensch Yiyi, der Dinosaurier Großzahn und ein außerirdischer Klon des chinesischen Dichters Li Bai sind auf dem Weg zum Südpol, um die Erde zu verlassen und die Wolke der Gedichte anzusehen. Zuvor hatten die Dinosaurier den Kontakt mit einer gottgleichen außerirdischen Zivilisation hergestellt, die wegen ihrer fortgeschrittenen Technologie auf Literatur herabsieht. Einer der Götter redet mit Yiyi und Großzahn und klont Li Bai, um sein Bewusstsein in diesen zu übertragen und diese Ansicht zu demonstrieren. Nachdem Yiyi immer noch widerspricht, da es für Außerirdische einfach unmöglich ist wie Menschen zu fühlen und zu denken, will Li Bai das ganze Sonnensystem in einen Speicher umwandeln und jedes mögliche Gedicht schreiben, um seine ursprüngliche Version zu übertreffen. Eine Flotte seiner Zivilisation trifft ein und vernichtet ebenfalls den Weltenzerstörer, wobei nur wenige Dinosaurier zur Erde entkommen. Danach wird der Nebel erschaffen, den Yiyi, Großzahn und Li Bai nach Verlassen der Erde sehen können. Yiyi ist nun beeindruckt von der Technologie während Li Bai sich an den erschaffenen Gedichten erfreut und sogar von einem erzählt, in welchem sein Freund Yiyi wahre Liebe findet.

Weblinks

• 诗云 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 诗云 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

The Thinker (englisch für Der Denker, chinesisch 思想者, Pinyin sīxiǎng zhě) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Dezember 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Weblinks

• 思想者 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 思想者 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Hintergrund

Die Kurzgeschichte „Ode to Joy“ (2005) wird unter ihrem Titel als alternative Geschichte des Sophons bezeichnet, einer außerirdischen Pikotechnologie aus „Die drei Sonnen“ (2006), einem Roman von Liu Cixin. Die Beschreibungen des sich selbst bewussten Objektes in beiden Werken gleichen einander dabei in den wichtigsten Punkten.

Andere Teile der Trisolaris-Trilogie haben ihre Wurzel ebenfalls in den Kurzgeschichten. So gibt es einen theoretischen Physiker namens Ding Yi, der gerne Pfeife raucht, sowohl in „Contraction“ (1985) als auch in der Trisolaris-Trilogie (2006-2010) sowie der im selben Universum spielenden Vorgeschichte „Kugelblitz“ (2004). Der Vergleich der Milchstraße mit einem Gehirn und der „Lähmung“ aufgrund der langsamen Lichtgeschwindigkeit aus „The Thinker“ (2003) findet sich in ganz ähnlicher Formulierung als „Dreihunderttausend-Syndrom“ ebenfalls in „Jenseits der Zeit“ (2010).

Draft: Hospital-Trilogie

Die Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ) ist eine dystopischer Science-Fiction-Trilogie des chinesischen Schriftstellers Han Song, bestehend aus dem Romanen Hospital, Exorcism und Dead Souls.

Romane

• Hospital: Auf Chinesisch erschienen am 1. Juni 2016. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. März 2023.
• Exorcism: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2017. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. November 2023.
• Dead Souls: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2018. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 7. Januar 2025.

Übersetzung

Michael Berry berichtete von der Übersetzung der Hospital-Trilogie in The Paris Review am 26. Januar 2024, dass diese ihn voll eingenommen und sogar verfolgt habe („translating the trilogy has fully consumed, even haunted me“). Sein Fazit ist, von der Trilogie immer mehr wie ein Traum oder sogar Alptraum zu denken, die auf einer tiefen Ebene des Bewusstseins stattfindet und erlebt statt intellektualisiert oder analyisiert werden sollte („think of the trilogy as a dream, or a nightmare, taking place on a deep subconscious level; it is meant to be experienced more than intellectualized or analyzed“).

Weblinks

• Hospital-Trilogie in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Draft: Exorcism (de)

Exorcism (chinesisch 驱魔, Pinyin qūmó) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der zweite Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2017 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am 28. November 2023 bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Exorcism eine Bewertung von 7,1/10 Sternen.

Weblinks

• Exorcism (englische Version), Exorcism (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Exorcism auf Douban (chinesisch)

Draft: Dead Souls (de)

Dead Souls (chinesisch 亡灵, Pinyin wánglíng) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der dritte Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2018 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am XXXX bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Dead Souls eine Bewertung von 8,1/10 Sternen.

Weblinks

• Dead Souls (englische Version), Dead Souls (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Dead Souls auf Douban (chinesisch)

Draft: Die Siliziuminsel

Die Siliziuminsel (chinesisch 荒潮, Pinyin huāng cháo) ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan. Es ist der erste von ihm verfasste. Die deutsche Ausgabe wurde am 9. September 2019 vom Heyne Verlag veröffentlicht. Die Übersetzung stammt von Marc Hermann.

Handlung

Kritik

Draft: Poincaré-Homologiesphäre

Die Einhängung der Poincaré-Homologiesphäre ist eine homologische Mannigfaltigkeit, die keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

Draft: Klassifizierender Raum von Sp(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist ein Spezialfall eines klassifizierenden Raumes und dient der Klassifikation von $\operatorname {Sp} (n)$-Hauptfaserbündeln über parakompakten Räumen.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSp} (n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSp} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Draft: Totaler Raum von O(n)

Der totale Raum $\operatorname {EO} (n)$ der orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

• $\operatorname {EO} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EO} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EO(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SO(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESO} (n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {R} ^{k})$

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Eigenschaften

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESO} =\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESO(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von U(n)

Der totale Raum $\operatorname {EU} (n)$ der unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {C} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {C} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {EU} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EU} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EU(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SU(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESU} (n)$ der speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SU} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESU(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von Sp(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {ESp} (n):=V_{n}(\mathbb {H} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {H} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {ESp} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESp} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESp} (n)$.

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)

Weblinks

• ESp(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Drafts aus dem Blockseminar

Das Llarull-Theorem aus der Riemannschen Geometrie besagt

Benannt ist das Theorem nach dem Mathematiker Marcelo Llarull, welcher es in Mathematische Annalen im Jahr 1998 veröffentlichte.

Weblinks

• Llarull's theorem auf nLab (englisch)

Die Geroch-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine Vermutung darüber, dass Metriken mit positiver Skalarkrümmung auf Tori flach sein müssen.

In zwei Dimensionen, für welche die Gaußsche Krümmung $K$ gleich der Skalarkrümmung $\operatorname {scal}$ ist, ist die Geroch-Vermutung eine direkte Folge aus dem Satz von Gauß-Bonnet. Für eine Metrik $g$ auf dem Torus $T^{2}$ gilt aufgrund von dessen verschwindender Euler-Charakteristik:

$\int _{T^{2}}K\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\int _{T^{2}}\operatorname {scal} _{g}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=4\pi \chi (T^{2})=0.$

Weblinks

• Geroch conjecture auf nLab (englisch)

Die Min-Oo-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine widerlegte Vermutung darüber, dass bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten isometrisch zur Sphäre gleicher Dimension mit der Standardmetrik sein müssen. Aufgestellt und benannt wurde die Vermutung von Maung Min-Oo, welcher im Jahr XXXX einen fehlerhaften Beweis für diese veröffentlichte. Korrekt ist die Vermutung nur in zwei Dimensionen, wobei die Widerlegung in höheren Dimensionen von Simon Brendle, Fernando Marques und André Neves im Jahr 2010 gefunden wurde.

Die Min-Oo-Vermutung besagt, dass eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit

Weblinks

• Min-Oo conjecture auf nLab (englisch)

Die Lichnerowicz-Formel (oder Lichnerowicz-Weitzenböck-Formel) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine grundlegende Gleichung für Spinoren auf Pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. Benannt ist die Formel nach André Lichnerowicz und Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Lichnerowicz formula auf nLab (englisch)

Die Weitzenböck-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die Weitzenböck-Identität ist das reelle Analogon der Bochner-Kodaira-Nakano-Identität. Benannt ist die Identität nach Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Weitzenböck formula auf nLab (englisch)

Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist das komplexe Analogon der Weitzenböck-Identität. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner, Kunihiko Kodaira und Hidegoro Nakano.

Weblinks

• Bochner-Kodaira-Nakano identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Identität über harmonische Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeit. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Formel ist im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Formel über die Verbindung von harmonischen Abbildungen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ihrer Ricci-Krümmung. Benannt ist die Formel nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner formula auf nLab (englisch)

Drafts zu Stratifizierung

Ein stratifizierter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einer Stratifizierung, also einer Zerlegung in Unterräume, welche in einer gewissen Weise gutartig sind.

Weblinks

• stratification auf nLab (englisch)
• stratified space auf nLab (englisch)

Eine Whitney-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine spezielle Stratifizierung, deren Strata die Whitney-Bedingungen erfüllt. Diese sind zwei Bedingungen an Paare an disjunkte und lokal abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Thom–Mather-Stratifizierung

Literatur

• Mather, John Notes on topological stability, Harvard, 1970 (available on his webpage at Princeton University).
• Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 75, pp. 240–284), 1969.
• Trotman, David Stability of transversality to a stratification implies Whitney (a)-regularity, Inventiones Mathematicae 50(3), pp. 273–277, 1979.
• Trotman, David Comparing regularity conditions on stratifications, Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), volume 40 of Proc. Sympos. Pure Math., pp. 575–586. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1983.
• Whitney, Hassler Local properties of analytic varieties. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1965.
• Whitney, Hassler, Tangents to an analytic variety, Annals of Mathematics 81, no. 3 (1965), pp. 496–549.

Weblinks

• Whitney stratifications auf nLab (englisch)

Eine Thom-Mather-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine spezielle Stratifizierung, dessen Strata jeweils topologische Mannigfaltigkeiten sind.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Stratified Morse theory, Springer-Verlag, Berlin, 1988.
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Intersection homology II, Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77--129.
• Mather, J. Notes on topological stability, Harvard University, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), pp.240-284.
• Shmuel Weinberger: The topological classification of stratified spaces (= Chicago Lectures in Mathematics). University of Chicago Press, Chicago, IL 1994, ISBN 978-0-226-88566-7 (englisch, uchicago.edu). 

Weblinks

• Thom-Mather stratifications auf nLab (englisch)

Eine Harder–Narasimhan-Stratifikation ist in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen und komplexen Geometrie eine spezielle Stratifizierung des Modulstacks von Hauptfaserbündeln durch lokal abgeschlossene Unterstacks.

Siehe auch

• Thom–Mather-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Nitin Nitsure, Schematic Harder-Narasimhan Stratification

Weblinks

• Harder-Narasimhan stratifications auf nLab (englisch)

Ein Stratifold ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie

Weblinks

• stratifolds auf nLab (englisch)

Drafts zur Morse-Theorie

Die digitale Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Sanjay Rana: Topological Data Structures for Surfaces. Wiley, 2004, ISBN 978-0-470-85151-7 (englisch, google.com). 

Vorlage:RefendWeblinks

• digital Morse theory auf nLab (englisch)

Die diskrete Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Robin Forman: Morse theory for cell complexes. In: Advances in Mathematics. 134. Jahrgang, Nr. 1, 1998, S. 90–145, doi:10.1006/aima.1997.1650 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• Robin Forman: A user's guide to discrete Morse theory. In: Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48. Jahrgang, 2002, S. Art. B48c, 35 pp (englisch, emis.de [PDF]). 
• Dmitry Kozlov: Combinatorial algebraic topology (= Algorithms and Computation in Mathematics. Band 21). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71961-8 (englisch). 
• Jakob Jonsson: Simplicial complexes of graphs. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-75858-7 (englisch). 
• Peter Orlik, Volkmar Welker: Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid (= Universitext). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68375-9, doi:10.1007/978-3-540-68376-6 (englisch). 
• Discrete Morse theory. nLab; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• discrete Morse theory auf nLab (englisch)

Die kreiswertige Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• circle-valued Morse theory auf nLab (englisch)

Die stratifizierte Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• M. Goresky, R. MacPherson: Stratified Morse theory. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-71714-7 (englisch, Vorlage:GBurl – [1988]).  DJVU file on Goresky's page
• D. Handron: Generalized billiard paths and Morse theory on manifolds with corners. In: Topology and Its Applications. 126. Jahrgang, Nr. 1, 2002, S. 83–118, doi:10.1016/S0166-8641(02)00036-6 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• S.A. Vakhrameev: Morse lemmas for smooth functions on manifolds with corners. In: J Math Sci. 100. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 2428–45, doi:10.1007/s10958-000-0003-7 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• stratified Morse theory auf nLab (englisch)

#Notizen

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Saddam Hussein wird von der „Republikanergarde“ befreit und verjagt die Vereinigten Staaten aus dem Irak. Michail Gorbatschow vereint als Reaktion auf massive Wirtschaftsprobleme eine Reihe von Ländern in der Sowjetunion, dem sich der östliche Teil des in zwei Teile zerbrochenen Deutschlands anschließt.

The Merchant and the Alchimist's Gate

XXXX tells the majesty of Baghdad of his meeting with a vendor of the city, who has build an arc leading twenty years into the past or future depending on the direction it has been crossed, and three stories told about it. Hassan, a rope vendor, learns from his older self, who is unexpected wealthy, during regular visits, including how to avoid misfortune and the location of a buried treasure. A non-expected pocket thief lets him realize, how good it was to not know anything ahead, and does not return to the future after a last visit. Ajib, a poor man who heard this story, finds himself still being poor in the future, but having an unused chest of golden dirham, which he steals to instead have a good life. One day, all His wealth gets stolen from him and his wife appealing to his honor persuades him to recollect everything to give back to the generous donor not known to her. XXXX, the wife of the older Hassan, finds the shop previously described by him and witnesses her husband twenty years prior trying to sell a necklace later given to her with the criminal shop owner recognizing it as part of his buried chest. Together with herself after another twenty years, she tricks the shop owner to believe that the necklace is very common and saves her future husband. She then begins a short affair with him and turns him into the good lover she will meet later. XXXX wants to use the doorway himself and

Liviu Suciu writes on fantasybookcritic.blogspot.com, that the novel is „top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“ and it is „the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“.

Liviu Suciu schreibt auf fantasybookcritic.blogspot.com, dass Greg Egan den besten Roman des Jahres geschrieben habe, aufgrund der Kombination des Sinn für Wunder, großartige Erschaffung von Welten und Charaktere („top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“) und es genau der Roman wäre, der zu empfehlen sei, um die Begeisterung für das Genre aufzuzeigen („the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“).

Reversing the flow of time is known as T-symmetry and part of the CPT theorem in Quantum field theory, where also charge (C-symmetry) and parity (P-symmetry) are reversed. In the novel, the idea appears near the beginning, when the last deacceleration phase is discussed and some characters are thinking, that their engines won't work when sending photons into the past of the interstellar dust around. They eventually realize, that an absorption for them will correspond to an emission for the interstellar dust under T-symmetry, and hence won't be a problem at all. The principle also lays the foundation for in the messaging system, for which receiving time-inversed light from the future is observed as an emission from the camera (contrary to receiving normal light from the past being observed as absorption). It also causes problems on the time-inverted world of Esilio, for example by making it impossible to take samples back to the Peerless as in this case they have never been part of the planet in the first place. But the crew notices Esilian dust inside their spaceships, hence samples from the planet that have been in the Peerless and Surveyor all along.

The final scientific discovery presented in the novel is that of the topology of the universe. The sign change in the metric is directly visible in the wave operator, given in our universe by $\square =-\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ and by $\square =\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ in the universe of Orthogonal. (Non-constant) solutions to the latter (for example electromagnetic waves) diverge, requiring the universe to be finite in every direction, a mathematical property known as compactness. This topic was already dealt with by Yalda when researching light in the sequel The Clockwork Rocket, who suspected the universe to be a 4-torus. However, after the innovation blockade in The Arrows of Time is lifted, Lila's student Pelagia concludes this to contradict itself. Due to the periodicity in every direction, a Fourier expansion can be used to describe the fields, whose coefficients (also called modes) contribute to the vacuum energy. (This is for example used in string theories when describing closed strings.) As in every one of the four directions, there can either be a sign change or not for fermions, there are sixteen different possibilities for them in total, resulting in a too large negative contribution to the vacuum energy, making the universe have positive curvature everywhere. With the Gauss–Bonnet theorem, this gives a contradiction for the Euler characteristic ($\chi (T^{4})=0$, hence for every area of positive curvature, there has to be a corresponding area of negative curvature). On a 4-sphere on the other hand, every loop is contractible, hence there is no sign change for fermions at all. There is no inevitable contradiction, but instead the requirement for the vacuum energy, curvature and density to not be uniform, which explains the entropy gradient and the arrows of time, giving rise to the entire existence of the characters.

Projektive Räume:

Homotopie

Die Homotopiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$????$

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$H^{k}(\mathbb {H} P^{n})\cong ????$