Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση είναι στα μαθηματικά η διαδικασία κατά την οποία μια αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται από άθροισμα σε γινόμενο. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται παράγοντες και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανάλυση. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποίησης, η παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών (σε πρώτους παράγοντες) και η παραγοντοποίηση πολυωνύμων.

Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών

Η διάταξη με την οποία γίνεται η παραγοντοποίηση στο χέρι.

Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 παραγοντοποιείται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Δηλαδή σε αυτό το είδος δίνεται ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1, ενώ ζητείται να βρεθούν πρώτοι αριθμοί β₁,β₂,β₃...,β_ν τέτοιοι, ώστε να ισχύει: $\alpha =\beta _{1}\cdot \beta _{2}\cdot \beta _{3}\cdot ...\beta _{\nu }$

Διατάσσουμε τους πρώτους αριθμούς κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Αν ένας αριθμός επαναλαμβάνονται, τότε αυτός αντικαθίσταται από μια δύναμη με βάση τον αριθμό και εκθέτη ίσο τον αριθμό των φορών επανάληψης. Έτσι, προκύπτει μία έκφραση του τύπου:

$\alpha =\pi _{1}^{\epsilon _{1}}\cdot \pi _{2}^{\epsilon _{2}}\cdot \pi _{3}^{\epsilon _{3}}\cdot \ldots \cdot \pi _{\nu }^{\epsilon _{\nu }}$

όπου $\pi _{1}<\pi _{2}<\pi _{3}<\ldots <\pi _{\nu }$

Αυτή η μορφή παραγοντοποίσης μπορεί να ονομαστεί ως συντμημένη μορφή γινομένου.

Στην εικόνα φαίνεται η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών του αριθμού 864. Το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί συνοπτικά 2⁵ × 3³

Μία μέθοδος με την οποία γίνεται η παραγοντοποίηση αριθμών στο χέρι είναι η μέθοδος με τις διαδοχικές διαιρέσεις. Σχεδιάζουμε μια μακριά κάθετη γραμμή και πάνω αριστερά της, γράφουμε τον αριθμό που θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε. Ξεκινώντας από το 2 και τον αρχικό αριθμό ελέγχουμε αν ο πρώτος αριθμός 2 διαιρεί τον αριθμό που θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε. Αν τον διαιρεί κάνουμε τη διαίρεση, κάτω από τον αριθμό γράφουμε το πηλίκο, το οποίο είναι ο νέος αριθμός τον οποίο θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε, ενώ δεξιά από τη γραμμή στο ύψος του διαιρετέου γράφουμε τον διαιρέτη. Αν δεν διαιρείται δε γράφουμε τίποτε και ελέγχουμε τον επόμενο κατά αύξουσα σειρά πρώτο αριθμό. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να εμφανιστεί ως πηλίκο το 1. Ο αρχικός αριθμός ισούται με το γινόμενο των πρώτων αριθμών δεξιά της κάθετης γραμμής. Επιπλέον, οι παράγοντες είναι διατεταγμένοι κατά αύξουσα σειρά από πάνω προς τα κάτω, οπότε σχετικά εύκολα μπορούμε να τον γράψουμε σε συντετμημένη μορφή γινομένου. Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η "μέθοδος του δέντρου", όπου ο αριθμός παραγοντοποιείται με τη διαδοχική ανάλυσή του σε γινόμενα μέχρι το δέντρο να καταλήξει σε γινόμενο πρώτων αριθμών.

Παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Η παραγοντοποίηση πολυωνύμων αφορά τη γραφή ενός πολυωνύμου ως γινόμενο άλλων πολυωνύμων, και συγκεκριμένα πολυωνύμων με τις μικρότερες δυνατές τάξεις.

Τετραγωνικά Πολυώνυμα

Κάθε τετραγωνικό πολυώνυμο της μορφής $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$,όπου $\alpha$, $\beta$, και $\gamma$ ∈ $\mathbb {R}$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε μια έκφραση της μορφής $\alpha (x-\rho _{1})(x-\rho _{2})\$,όπου $\rho _{1},\rho _{2}\$ είναι οι δύο ρίζες του πολυωνύμου.Η μέθοδος είναι η ακόλουθη:

${\begin{aligned}\alpha x^{2}+\beta x+\gamma &=\alpha (x-\rho _{1})(x-\rho _{2})\\&=\alpha \left(x-{\frac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}\right)\left(x-{\frac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}\right),\end{aligned}}$

Τα τετραγωνικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές μπορούν μερικές φορές να υπολογιστούν με την χρήση των τύπων του Βιετά. Δηλαδή ο τύπος $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ,\,\!$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

$(mx+p)(nx+q),\,\!$

όπου

$mn=\alpha ,\ pq=\gamma \,\!$

και

$pn+mq=\beta .\,$

Πολυώνυμα Τέλειου Τετραγώνου

Μερικά πολυώνυμα με τρεις όρους (τριώνυμα) μπορούν να παραγοντοποιηθούν δίνοντας δύο ίδια πολυώνυμα με δύο όρους(διώνυμα). Αυτά τα πολυώνυμα ονομάζονται πολυώνυμα τέλειου τετραγώνου και μπορούν να παραγοντοποιηθούν ως εξής:

$\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2},\,\!$

και

$\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}=(\alpha -\beta )^{2}.\,\!$

Διαφορά/Άθροισμα Τετραγώνων

Ένας άλλος συνηθισμένος τύπος παραγοντοποίησης είναι η διαφορά τετραγώνων και εφαρμόζεται στην περίπτωση που το πολυώνυμο είναι (ή μπορεί να γίνει) της μορφής $\alpha ^{2}-\beta ^{2}$. Τότε η παραγοντοποίηση γίνεται ως εξής:

$\alpha ^{2}-\beta ^{2}=(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )\!$,

για οποιουσδήποτε δύο όρους, είτε είναι τέλεια τετράγωνα είτε όχι. Στην περίπτωση της διαφοράς δύο όρων εφαρμόζουμε απλά τον τύπο. Αν οι δύο όροι προστίθενται, τα δύο διώνυμα που λαμβάνονται από την παραγοντοποίηση θα έχουν από έναν φανταστικό όρο το καθένα. Αυτός ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i).\,\!$

Για παράδειγμα, το $4x^{2}+49$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $(2x+7i)(2x-7i)$.

Κοινός παράγοντας

Όταν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα, τότε το πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας. Για παράδειγμα:

$\alpha \beta +\alpha \gamma =\alpha (\beta +\gamma )\!$

και

$x^{2}yz^{2}+2xy^{2}z+3xyz=xyz(xz+2y+3)\!$

Κοινός παράγοντας κατά ομάδες(Ομαδοποίηση)

Όταν δεν έχουν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου κοινό παράγοντα, τότε μπορούμε να τους χωρίσουμε κατάλληλα σε δύο ή περισσότερες ομάδες (με το ίδιο πλήθος όρων), όπου κάθε ομάδα μπορεί στη συνέχεια να παραγοντοποιηθεί με κάποιον από τους γνωστούς τρόπους. Τα αποτελέσματα αυτών των παραγοντοποιήσεων μπορούν μερικές φορές να συνδυαστούν για να δώσουν ακόμα πιο απλές εκφράσεις. Για παράδειγμα, για να παραγοντοποιήοσυμε το πολυώνυμο

$4x^{2}+20x+3yx+15y\,$

Ομαδοποιούμε σε ομάδες με ίσους όρους, $(4x^{2}+20x)+(3yx+15y)\,$

Βγάζουμε το μέγιστο κοινό παράγοντα από κάθε ομάδα, $4x(x+5)+3y(x+5)\,$

Βγάζουμε κοινό παράγοντα $(x+5)(4x+3y)\,$

Μέθοδος ΑΓ

Αν ένα τετραγωνικό πολυώνυμο έχει πραγματικές λύσεις, τότε μπορούμε να βρούμε αριθμούς μ και ν, όπου μ συμβολίζουμε τον μικρότερο και ν τον μεγαλύτερο, τέτοιους ώστε μν=αγ και μ+ν=β. (Αν η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο αυτοί οι αριθμοί υπάρχουν, διαφορετικά έχουμε μη πραγματικές ή σύνθετες λύσεις και η υπόθεση των πραγματικών λύσεων δεν ισχύει.)

${\begin{aligned}\alpha x^{2}+\beta x+\gamma &={\frac {\alpha ^{2}x^{2}+\alpha \beta x+\alpha \gamma }{\alpha }}&={\frac {(\alpha x+\mu )(\alpha x+\nu )}{\alpha }}\end{aligned}}$

Οι όροι του αριθμητή θα έχουν κοινά στοιχεία που μπορούν να συνυπολογιστούν ώστε να απαλειφθεί ο παρονομαστής (στην περίπτωση που είναι διαφορετικός του 1). Για παράδειγμα:

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6\end{aligned}}$

$\alpha \gamma =36,4+9=13=\beta \,$

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&={\frac {(6x+4)(6x+9)}{6}}\\&={\frac {2(3x+2)(3)(2x+3)}{6}}\\&=(3x+2)(2x+3)\end{aligned}}$

Παραγοντοποίση άλλων πολυωνύμων

Άθροισμα/διαφορά κύβων

Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

$\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}),\,\!$

και η διαφορά ως

$\alpha ^{3}-\beta ^{3}=(\alpha -\beta )(\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}).\,\!$

Διαφορά τέταρτων δυνάμεων

Ένα τέτοιο πολυώνυμo μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

$\alpha ^{4}-\beta ^{4}=(\alpha -\beta )(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}).\,\!$

Άθροισμα τετάρτων δυνάμεων

$\alpha ^{4}+\beta ^{4}={\bigl (}\alpha ^{2}-{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}a^{2}+{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2}{\bigr )}$

Άθροισμα/διαφορά πέμπτων δυνάμεων

Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

$\alpha ^{5}+\beta ^{5}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{4}-\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}),\,\!$

και η διαφορά ως

$\alpha ^{5}-\beta ^{5}=(\alpha -\beta )(\alpha ^{4}+\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}).\,\!$

Άθροισμα/διαφορά έκτων δυνάμεων

Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

$\alpha ^{6}+\beta ^{6}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2})(\alpha ^{4}-\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{4}),\,\!$

και η διαφορά ως

$\alpha ^{6}-\beta ^{6}=(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2})(\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}).\,\!$

Άθροισμα/διαφορά έβδομων δυνάμεων

Τέλος,υπάρχει τύπος που υπολογίζει το άθροισμα ή τη διαφορά έβδομων δυνάμεων.Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

$\alpha ^{7}+\beta ^{7}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{6}-\alpha ^{5}\beta +\alpha ^{4}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{3}+\alpha ^{2}\beta ^{4}-\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}),\,\!$

και η διαφορά ως

$\alpha ^{7}-\beta ^{7}=(\alpha -\beta )(\alpha ^{6}+\alpha ^{5}\beta +\alpha ^{4}\beta ^{2}+\alpha ^{3}\beta ^{3}+\alpha ^{2}\beta ^{4}+\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}).\,\!$

Άθροισμα/διαφορά n-οστών δυνάμεων

Η παραπάνω παραγοντοποίηση διαφοράς δυνάμεων μπορεί να επεκταθεί για κάθε θετική ακέραια δύναμη χρησιμοποιώντας γεωμετρικές σειρές. Παρατηρώντας ότι

$x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1={\frac {x^{n}-1}{x-1}},$

και πολλαπλασιάζοντας με τον παράγοντα του (x − 1) βρίσκουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για να δώσουμε έναν γενικό τύπο όπως στα προηγούμενα, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το x με το α/β και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη με το βⁿ. Αυτό δίνει τον γενικό τύπο της διαφοράς δύο n-οστών δυνάμεων ως:

$\alpha ^{n}-\beta ^{n}=(\alpha -\beta )(\alpha ^{n-1}+\beta \alpha ^{n-2}+\beta ^{2}\alpha ^{n-3}+\ldots +\beta ^{n-2}\alpha +\beta ^{n-1}).\!$

Το αντίστοιχο άθροισμα δύο ν-οστών δυνάμεων εξαρτάται από αν ο n είναι άρτιος ή περιττός. Αν ο n είναι περιττός, τότε το β μπορεί να αντικατασταθεί με το -β στον παραπάνω τύπο, ώστε να δώσει:

$\alpha ^{n}+\beta ^{n}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{n-1}-\beta \alpha ^{n-2}+\beta ^{2}\alpha ^{n-3}-\ldots -\beta ^{n-2}\alpha +\beta ^{n-1}).\!$

An o n είναι άρτιος ο τύπος είναι πιο περίπλοκος.

Εναλλακτικός τρόπος

Ένας διαφορετικός τρόπος για την παραγοντοποίηση αθροίσματος/διαφοράς n-οστών δυνάμεων (όπου n θετικός ακέραιος) είναι ο εξής:

$a^{2n}-b^{2n}=(a^{2}-b^{2})\prod _{k=1}^{n-1}{\biggl (}a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\frac {k\pi }{n}}{\biggr )}$

$a^{2n}+b^{2n}=\prod _{k=0}^{n-1}{\biggl (}a^{2}+b^{2}+2ab\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}{\biggr )}$

$a^{2n+1}-b^{2n+1}=(a-b)\prod _{k=1}^{n}{\biggl (}a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}{\biggr )}$

$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\prod _{k=1}^{n}{\biggl (}a^{2}+b^{2}+2ab\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}{\biggr )}$

Πηγές

Σχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου, και μαθηματικών της Β' Λυκείου γενικής παιδείας (ακαδημαϊκής χρονιάς 2007-2008)

• Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων