Υδροστατική

Η Υδροστατική αποτελεί το μέρος εκείνο της Φυσικής που πραγματεύεται κυρίως τα ηρεμούντα υγρά και είναι κλάδος της Μηχανικής των υγρών ή Υδρομηχανικής.

Ιστορική εξέλιξη της Υδροστατικής πίεσης.

Με τη συμπεριφορά των υγρών είτε «εν στάσει» είτε «εν ηρεμία» ασχολήθηκε από τους αρχαιότατους χρόνους ο άνθρωπος, στη προσπάθειά του να επιλύσει τα διάφορα πρακτικά προβλήματα που του παρουσιάζονταν. Η πρώτη όμως συστηματική μελέτη των υγρών ανάγεται στην ελληνική αρχαιότητα. Πραγματικά τον 3ο αιώνα π.Χ. ο Αρχιμήδης είναι ο πρώτος που ανακαλύπτει την άνωση και διατυπώνει την ομώνυμή του αρχή. Με τα υγρά ασχολήθηκε επίσης και ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς.

Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα και μέχρι τους νεώτερους χρόνους μικρή μόνο πρόοδος σημειώθηκε στην Υδροστατική και αυτή θεωρητική. Όπως το 1583 περίπου, ο Ολλανδός μαθηματικός Σίμον Στεβάιν (Simon Stevin, 1548-1620) απέδειξε ότι η πίεση που ασκεί ένα υγρό πάνω σε μια δεδομένη επιφάνεια εξαρτάται από το βάθος στο οποίο βρίσκεται η επιφάνεια και όχι από το σχήμα του δοχείου που περιέχει το υγρό. Όμως κατά τον 17ο αιώνα ο Μπλεζ Πασκάλ διατύπωσε τη θεμελιώδη αρχή της υδροστατικής τη γνωστή ως «Αρχή του Πασκάλ». Από τότε η περαιτέρω πρόοδος της υδροστατικής συνίσταται κυρίως αφενός σε θεωρητικές διερευνήσεις των δύο παραπάνω βασικών αρχών, αφετέρου σε πρακτικές εφαρμογές των πορισμάτων αυτών.

Αρχές της Υδροστατικής

Η Υδροστατική στηρίζεται στις δύο κυρίως αρχές: στην «Αρχή του Πασκάλ» κατά την οποία η υδροστατική πίεση παραμένει σταθερά σε όλη τη μάζα του ηρεμούντος υγρού, που δεν υφίσταται επίδραση δυναμικού πεδίου και στην «Αρχή του Αρχιμήδη», σύμφωνα με την οποία κάθε σώμα βαπτιζόμενο σε υγρό υφίσταται άνωση ίση με το βάρος του ύδατος που εκτοπίζει. Μια τρίτη επίσης αρχή αφορά το συμπιεστόν των υγρών. Από τις τρεις αυτές αρχές προκύπτουν όλα τα θεωρήματα, οι νόμοι και οι εφαρμογές της υδροστατικής.

• Η συμπεριφορά των πραγματικών υγρών υπό την επίδραση των μοριακών δυνάμεων αποτελεί ιδιαίτερο κεφάλαιο της Υδροστατικής όπου και εξετάζονται η επιφανειακή τάση, τα τριχοειδή φαινόμενα οι δυνάμεις συνοχής και συνάφειας κλπ.

Οι σημαντικότεροι νόμοι και αρχές της υδροστατικής αναλυτικά είναι:

Θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής

Ο νόμος αυτός αφορά υγρό που ισορροπεί μέσα σε ένα βαρυτικό πεδίο. Ο θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής αναφέρει ότι η πίεση που ασκείται από το υγρό σε ένα σημείο του που βρίσκεται σε βάθος h, ισούται με το γινόμενο της πυκνότητας του υγρού (ρ), της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g) και του βάθους από την επιφάνεια του υγρού (h), δηλαδή ισχύει:
$P=\mathbf {\rho gh}$

Αρχή του Πασκάλ

Η αρχή του Πασκάλ διατυπώθηκε από τον Μπλεζ Πασκάλ και αναφέρει ότι η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο του υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού.

Αρχή του Αρχιμήδη

Η αρχή του Αρχιμήδη που διατυπώθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη, αναφέρει ότι κάθε σώμα που είναι πλήρως βυθισμένο σε ένα ρευστό δέχεται δύναμη άνωσης, ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει. Ισχύει δηλαδή:
$A=\mathbf {B}$_υγρ

Μαθηματική περιγραφή

Η βασική εξίσωση που περιγράφει ένα στατικό, ασυμπίεστο και ιδανικό ρευστό σε μηχανική ισορροπία είναι η εξής:

${\boldsymbol {\nabla }}P=\rho \,\mathbf {g} _{\textrm {ex}}\,$

όπου P η πίεση του ρευστού, ρ η πυκνότητά του (την οποία θεωρούμε σταθερή) και g_ex η συνισταμένη επιτάχυνση η οφειλόμενη στις συνολικές εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σημείο του ρευστού. Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί ειδική περίπτωση της εξίσωσης Όιλερ στη ρευστομηχανική και οι όροι της έχουν διαστάσεις πυκνότητας δύναμης.

Απουσία εξωτερικών δυνάμεων

Αν το σύνολο των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα ρευστό είναι μηδέν (f_ex=0), τότε η εξίσωση του Όιλερ για το ρευστό παίρνει την απλούστερη μορφή:

${\boldsymbol {\nabla }}P=0$

Η φυσική σημασία του παραπάνω αποτελέσματος είναι ότι η πίεση στο εσωτερικό του ρευστού θα είναι παντού η ίδια.

Παρουσία ομογενούς βαρυτικού πεδίου

Μία ακόμα ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι εκείνη κατά την οποία ένα δοχείο που περιέχει ένα ρευστό βρίσκεται στο εσωτερικό ενός ομογενούς βαρυτικού πεδίου (όπως εκείνο στην επιφάνεια της Γης). Στη περίπτωση αυτή, η εξωτερική δύναμη ανά μονάδα όγκου που ασκείται στο ρευστό ισούται με ρg, όπου g η επιτάχυνση που προκαλεί το βαρυτικό πεδίο.

Αν θεωρήσουμε λοιπόν ότι το ρευστό βρίσκεται στο εσωτερικό ενός δοχείου που τοποθετείται κάθετα στην επιφάνεια της Γης, τότε μπορούμε να επιλέξουμε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων και να θεωρήσουμε ότι το επίπεδο xy βρίσκεται παράλληλο στην επιφάνεια, ενώ ο άξονας z κατά μήκος του δοχείου. Σύμφωνα με τις παραπάνω συμβάσεις, η εξίσωση Όιλερ που ικανοποιεί το ρευστό στην κατάσταση μηχανικής ισορροπίας είναι:

${\boldsymbol {\nabla }}P=\rho \mathbf {g} \ {\xrightarrow {\ }}{\begin{cases}\partial _{x}P=0\\\partial _{y}P=0\\\partial _{z}P=-\rho g\end{cases}}$

Η πίεση εξαρτάται λοιπόν μόνο από το ύψος του ρευστού στο δοχείο, ανεξάρτητα από το ακριβές σχήμα που εκείνο έχει. Αν h είναι το βάθος από τη επιφάνεια του ρευστού στο δοχείο, τότε η πίεση σε βάθος h δίνεται από τον τύπο:

$P(h)=P_{0}+\rho gh\ \ \$

όπου P₀ η πίεση στην επιφάνεια του ρευστού, η οποία στην περίπτωση της επιφάνεια της Γης αντιστοιχεί στην ατμοσφαιρική πίεση.