Modulo (algebro)

En abstrakta algebro, la nocio modulo super ringo estas komuna ĝeneraligo de du plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.

Difino

Maldekstra R-modulo super la ringo R konsistas el komuta grupo (M, +) kaj operacio R × M → M (nomata skalara multipliko; notacie: rx por r en R kaj x en M) tia, ke

por ĉiuj r,s en R, x,y en M:

r(x+y) = rx+ry

(r+s)x = rx+s x

(rs)x = r(s x)

En la kuntekstoj, kiuj implicas, ke la ringo R estas unuohava (tiel estas en plejmulto da kutimaj kuntekstoj), aldoniĝas ankaŭ jena postulo:

1_R x = x

Kutime, oni simple skribas "maldekstra R-modulo M" aŭ _RM. Dekstra R-modulo M aŭ M_R estas difinita simile, sed la ringo operacias dekstre, kio signifas, ke la skalara multipliko estas de formo M × R → M, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj r kaj s dekstre de x kaj y.

Dumodulo aŭ duflanka modulo estas modulo, kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.

Se R estas komuta, tiam la maldekstraj R-moduloj estas esence la samo kiel dekstraj R-moduloj kaj estas nomataj simple R-moduloj.

Ekzemploj

• Se K estas kampo, tiam nocioj "K-vektora spaco" kaj K-modulo estas identaj.
• La koncepto de Z-modulo estas ekvivalenta al la nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj Z en triviala maniero. Por n > 0, estu nx = x + x + … + x (n termoj), 0x = 0, kaj (−n)x = −(nx).
• Se R estas iu ringo kaj n estas natura nombro, tiam la kartezia produto Rⁿ estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super R se oni uzu la laŭkomponantajn operaciojn. Speciale, kiam n=1, tio montras, ke R estas R-modulo, por kiu la ringa multipliko servas kiel skalara multipliko. La kazo n=0 estas nul-modulo, la triviala unuelementa R-modulo {0}. Moduloj de ĉi tiu tipo nomiĝas liberaj, kaj la nombro n estas la rango de la libera modulo.
• Se S estas nemalplena aro, M estas maldekstra R-modulo, kaj M^S estas kolekto de ĉiuj funkcioj f : S → M, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en M^S difinita per (f + g)(s) = f(s) + g(s) kaj (_rf_)(s) = _rf_(s), M^S estas maldekstra R-modulo. La okazo de dekstra R-modulo estas analoga. Aparte, se R estas komuta tiam la kolekto de R-modulaj homomorfioj h : M → N (vidi pli sube) estas R-modulo (kaj fakte submodulo de N^M).
• Se X estas glata sternaĵo, tiam la glataj funkcioj de X al la reela nombra formas ringon C^∞(X). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur X formas modulon super C^∞(X), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur X.
• La kvadrataj n-per-n matricoj kun reelaj elementoj formas ringon R, kaj la eŭklida spaco Rⁿ estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
• Se R estas iu ringo kaj I estas iu maldekstra idealo de R, tiam I estas maldekstra modulo super R. Tute analoge dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.

Tipoj de moduloj

• La nul-modulo {0}.
• Finie generita. Modulo M estas finie generita, se en ĝi ekzistas finie multaj elementoj x₁,…,x_n tiaj, ke ĉiu elemento de M estas lineara kombinaĵo de tiuj elementoj kun koeficientoj de la skalara ringo R.
• Cikla modulo. Oni nomas modulon cikla modulo, se ĝi estas generebla per unu elemento.
• Libera. Libera modulo estas modulo, kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, kiam ĝi estas izomorfa al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo R. Ĉi tiaj moduloj similas al vektoraj spacoj.
• Projekcia modulo estas tia modulo $M$, ke ekzistas modulo $N$, por kiu $M\oplus N$ estas libera modulo.
• Injekcia modulo estas tia modulo $Q$, ke se $Q$ estas submodulo de modulo $M$, tiam $M=Q\oplus K$ por iu alia submodulo $K$ de $M$.
• Simpla modulo estas ĉia modulo, kiu havas precize du submodulojn: {0} kaj sin mem. Tia difino interalie implicas, ke la nul-modulon oni ne konsideras simpla. Simplajn modulojn oni foje nomas neredukteblaj.

Vidu ankaŭ

• Vektora spaco
• Ringo-teorio
• Modulo-teorio