El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g .
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0 . Cuando x se acerca a 0, las razones x /x 3 , x /x , y x 2 /x se van a
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0,
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
Ejemplos:
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
lim
x
→
0
x
2
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria , por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ထ/ထ . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización , derivación , el teorema del emparedado , entre otros.
Ejemplos:
lim
x
→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}
lim
x
→
+
∞
x
ln
(
x
)
=
+
∞
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}
La forma indeterminada 0 • ထ
lim
x
→
0
+
x
⋅
ln
x
=
0
⋅
(
−
∞
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}
lim
x
→
π
2
cos
x
⋅
tan
x
=
0
⋅
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }
Diferencia indeterminada
editar
En los casos en que el límite de una diferencia es
∞
{\displaystyle \infty }
, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo
∞
−
∞
{\displaystyle \infty -\infty }
. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados .
La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital .
Forma indeterminada
Condiciones
Transformación a 0/0
Transformación a ထ/ထ
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
—
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
∞
∞
{\displaystyle \infty \over \infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
—
0
⋅
∞
{\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}
1
∞
{\displaystyle \qquad 1^{\infty }}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
1
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
0
0
{\displaystyle \qquad 0^{0}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
+
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
∞
0
{\displaystyle \infty ^{0}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
+
∞
−
∞
{\displaystyle \qquad +\infty -\infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
−
1
/
f
(
x
)
1
/
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
ln
lim
x
→
c
e
f
(
x
)
e
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}