Matemáticas/Geometría/Poliedros/Texto completo

Sección 1: Introducción a los poliedros

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. (en breve será extendido este artículo)

Sección 2: Definición de Cuerpo Geométrico

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto, que ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto posee un volumen.

Sección 3: Clasificación de los Poliedros

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas exclusivamente planas.

Prismas

En geometría, un prisma es un poliedro con una base poligonal de n lados, una copia de traslación (no en el mismo plano que la primera), y otras n caras (todas necesariamente deben ser paralelogramos) que une los lados correspondientes de las dos bases. Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son iguales

Volumen

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la distancia o altura entre las dos bases. Su valor se expresa como:

$V=B\cdot h$

donde B es el área de la base y h es la altura. El volumen de un prisma, cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s, es:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.1 Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos. Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),2 el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson).

Propiedades

Teorema

Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos que admiten triángulos equiláteros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de 360°.

Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

Simetría

Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas:

• El centro de un cubo ( de un octaedro regular) es centro de simetría de dicha figura, devuelve la misma figura; mas no lo es, el centro de un tetraedro regular. Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación

El artículo principal de esta categoría es Poliedro dual.

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Ecuación intrínseca

El Teorema de poliedros de Euler expresa una cualidad topológica de los poliedros convexos, al margen de sus medidas y formas, y de modo especial de los poliedros regulares. Enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos, mediante la siguiente ecuación:

$c+v=a+2$

Tabla comparativa

Sólidos Platónicos	Tetraedro	Hexaedro, Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Animación
Desarrollo
Número de caras	4	6	8	12	20
Polígonos que forman las caras	Triángulos Equiláteros	Cuadrados	Triángulos Equiláteros	Pentágonos Regulares	Triángulos Equiláteros
Número de aristas	6	12	12	30	30
Número de vértices	4	8	6	20	12
Caras concurrentes en cada vértice	3	3	4	3	5
Vértices contenidos en cada cara	3	4	3	5	3
Grupo de simetría	Tetraédrico (Td)	Hexaédrico (Hh)	Octaédrico (Oh)	Icosaédrico (Lh)	Icosaédrico (Lh)
Poliedro dual	Tetraedro (autoconjugado)	Octaedro	Hexaedro, Cubo	Icosaedro	Dodecaedro
Símbolo de Schläfli	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Símbolo de Wythoff	3 | 2 3	3 | 2 4	4 | 2 3	3 | 2 5	5 | 2 3
Ángulo diedro	70.53° = arccos(1/3)	90°	109.47° = arccos(-1/3)	116.56°	138.189685°
Radio externo	$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a$	$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a$	$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a$	$R={\frac {a}{4}}({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})$	$R={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
$\approx$	$0.612\cdot a$	$0.866\cdot a$	$0.707\cdot a$	$1.401\cdot a$	$0.951\cdot a$
Radio interno	$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a$	$r={\frac {a}{2}}$	$r={\frac {\sqrt {6}}{6}}\cdot a$	$r={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}$	$r={\frac {a}{12}}(3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})$
$\approx$	$0.204\cdot a$	$0.5\cdot a$	$0.408\cdot a$	$1.113\cdot a$	$0.756\cdot a$

Sólidos arquimedianos

Sólidos arquimedianos
Nombre	Imagen	Caras		Aristas	Vértices	Grupo puntual
Tetraedro truncado	Animación	8	4 × hr 4 × te	18	12 × 3·6·6	Td
Cuboctaedro	Animación	14	6 × cu 8 × te	24	12 × 3·4·3·4	Oh
Cubo truncado	Animación	14	6 × or 8 × te	36	24 × 3·8·8	Oh
Octaedro truncado	Animación	14	8 × hr 6 × cu	36	24 × 4·6·6	Oh
Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor	Animación	26	18 × cu 8 × te	48	24 × 3·4·4·4	Oh
Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor	Animación	26	6 × or 8 × hr 12 × cu	72	48 × 4·6·8	Oh
Cubo romo o cuboctaedro romo (2 formas isomórficas)	Animación Animación	38	6 × cu 32 × te	60	24 × 3·3·3·3·4	O
Icosidodecaedro	Animación	32	12 × pr 20 × te	60	30 × 3·5·3·5	Ih
Dodecaedro truncado	Animación	32	12 × dr 20 × te	90	60 × 3·10·10	Ih
Icosaedro truncado	Animación	32	20 × hr 12 × pr	90	60 × 5·6·6	Ih
Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor	Animación	62	12 × pr 30 × cu 20 × te	120	60 × 3·4·5·4	Ih
Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor	Animación	62	12 × dr 20 × hr 30 × cu	180	120 × 4·6·10	Ih
Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 formas isomórficas)	Animación Animación	92	12 × pr 80 × te	150	60 × 3·3·3·3·5	I
dr = decágonos regulares; or = octógonos regulares; hr = hexágonos regulares pr = pentágonos regulares; cu = cuadrados; te = triángulos equiláteros

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue recién en el Renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

Siete sólidos arquimedianos se pueden obtener truncando sólidos platónicos: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado.

Sección 4: Clasificación de los cuerpos Redondos

Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.

Cilindro

Un cilindro circular recto.

En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie Gausiana.

En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparamétrica de líneas paralelas.

Clasificación

Un cilindro puede ser: Su clasificación por la inclinación del eje, es decir del ángulo formado por la generatriz, los cilindros se clasifican en:

• cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.
• cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
• cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

Superficie cilíndrica

La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.

Las superficies cilíndricas pueden ser

• superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
• superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Área de la superficie cilíndrica

Desarrollo de un cilindro.

La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la base, circular en este caso: A = π r², pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área total de las dos bases: A_b = 2 π r²

Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura "h" y de largo del perímetro del círculo L = 2 π r por lo que el área lateral es: A_l = 2 π r h

Por lo tanto, el área total, o área de la superficie cilíndrica es:

A = A_b + A_l

A = 2 π r² + 2 π r h

A = 2 π ( r² + r h )

A = 2 π r ( r + h )

Volumen del cilindro

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base "A_b" por la altura del cilindro "h"

El volumen de un cilindro de base circular, es:

V = π r ²·h

Siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.

Cono

Ejemplo de cono.

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Elementos

Directriz

Es una curva plana, por cuyos puntos pasa una recta que también pasa por un punto fijo.

Generatriz

Es la recta que pasa por el punto fijo y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica.

Base

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.

Vértice

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Altura

En un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Cono (sólido geométrico)

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.

Propiedades

Área de la superficie cónica

El área $A\,$ de la superficie del cono recto es:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!$

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: $a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$.

Desarrollo plano de un cono recto

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de $a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

$\mathrm {{\acute {a}}ngulo} =360(r/a)\,$.

Volumen de un cono

El volumen $V\,$ de un cono de radio $r\,$ y altura $h\,$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

La ecuación se obtiene mediante $\int _{0}^{h}A(x)dx\,\!$,

donde $A(x)\,$ es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura $h$, en este caso $A(x)=\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}$.

Cono oblicuo

Secciones de un cono recto y un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrollo

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

Volumen

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}$

donde $\scriptstyle r$ es el radio de la base y $\scriptstyle h$ la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

$V={\frac {\pi abh}{3}}$

siendo $\scriptstyle a$ y $\scriptstyle b$ los semiejes de la elipse y $\scriptstyle h$ la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Definición. Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesidad del principio de Cavalieri.

Esfera

Proyección en dos dimensiones de una esfera definida mediante paralelos y meridianos.

En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.

Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada en topología, o esfera, como en geometría elemental del espacio.Obviamente, la esfera es un sólido geométrico.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera.

Geometría esférica

Como superficie

La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro. Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio.

Como sólido

La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ³. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro.

En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio.

Propiedades

• Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos están en la superficie esférica, es un diámetro.
• Cualquier sección plana de una esfera es un círculo.
• Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es un círculo mayor, y si la sección no pasa por el centro es un círculo menor.
• Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a aquel se llaman polos de dicho círculo.

Volumen

Datos para hallar el área y volumen de la esfera respecto del cilindro circunscrito.

El volumen, $V\,$, de una esfera se expresa en función de su radio $r\,$ como:

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:

$V={\frac {2}{3}}(\pi r^{2}\cdot 2r)$

Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.

Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor de π:

$V={\frac {67}{16}}r^{3}$

Área

El área es 4 veces $\pi \,$ por su radio al cuadrado.

$\ A=4\pi r^{2}$

Demostración:

• Arquímedes demostró que el área de la esfera es dos tercios respecto al del cilindro, usando esta definición:

$A={\frac {2}{3}}(2r\cdot 2\pi r+2\cdot \pi r^{2})$

$A={\frac {2}{3}}(4\pi r^{2}+2\pi r^{2})$

$A={\frac {2}{3}}(6\pi r^{2})$

$A=4\pi r^{2}$

Demostración:

• El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto a $r\,$.

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr$

${\frac {dV}{dr}}=A(r)=4\pi r^{2}$

Toroide

{{

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 Toro de anillo
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 Toro de cuerno
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 Toro de huso

}}

En geometría, un toro o toroide es una superficie de revolución generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta) o, llanamente, la curva tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín torus, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín "sterno" y griego στορέννυμι) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base , con forma de hogaza de pan. Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: un dónut, una rosquilla, la cámara de un neumático, etc.

Geometría

Representación en sistema diédrico del toro.

El toro es semejante a un neumático hinchado o a una rosquilla (dónut o dona). Las ecuaciones paramétricas que lo definen son:

${\begin{cases}x=\cos \theta (R+r\cos \varphi )\\y=\sin \theta (R+r\cos \varphi )\\z=r\sin \varphi \end{cases}}$

donde R es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, r es el radio del conducto, ambas constantes con r<R y θ, φ son ángulos que determinan el círculo completo, con $\theta ,\varphi \in [0,2\pi )$.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es:

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}$

La superficie A y el volumen V del toro pueden hallarse empleando el teorema de Papus de Alejandría. Los resultados son:

$A=4\pi ^{2}Rr\,$

$A=\pi ^{2}Dd\,$

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,$, donde $R$ es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y $r$ es el radio de dicha sección.

$A=\pi ^{2}Dd\,$

$V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,$ usando los respectivos diámetros :$D=2R,d=2r$

Sección 5: Denominación

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se califica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y además todos los ángulos poliedros son iguales, se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Sección 6: Sólidos de Platón

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

(en breve será extendido este artículo)

Sección 7: Sólidos de Arquímedes

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.

Sección 8: Sólidos de Catalán

Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los sólidos de Catalán se encuentran el triaquistetraedro, el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Sección 9: Sólidos de Kepler-Poinsot

Un sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas caras son todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras que se encuentran (compárese con los sólidos platónicos).

Sección 10: Sólidos de Johnson

Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes; sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Sección 11: Esferas y domos geodésicos

Una cúpula geodésica es parte de una esfera geodésica, un poliedro generado a partir de un icosaedro o un dodecaedro, aunque puede generarse de cualquiera de los sólidos platónicos.

Sección 12: Hipercubos

Si bien existen diferentes planteamientos sobre cómo explicar la conformación de cuerpos regulares para varias dimensiones, no se ha encontrado ninguna forma sencilla de hacerlo que tenga propiedades didácticas, y que permita, sobre todo a los jóvenes, comprender diferentes tipos de cuerpos geométricos regulares para cualquier dimensión n. Esto es lo que se propone desarrollar aquí. Para ello se usa un poco de teoría combinatoria, algunas expresiones algebraicas simples y tablas.

El objetivo primario podría ser resumido en llenar una tabla básica que contiene en las columnas a n, esto es, la dimensión correspondiente. Se utilizan 7 dimensiones para que el cuadro sea sencillo y manejable, pero se puede extender con los mismos métodos usados aquí en forma indefinida. En las filas se ubican los trazos o figuras espaciales regulares (usando la letra m, por magnitud), esto es, líneas, cuadrados, cubos, e hipercubos. La tabla será, por tanto, de 4 por 7, indicando en cada fila la magnitud correspondiente, y en las columnas el número de dimensión a que se refiere. Con ello quedan definidas las bases para comprender a un nivel más o menos completo, los diversos cuerpos geométricos que se forman de la primera a la cuarta magnitud, en el espacio de 1 a 7 dimensiones.

Se comienza con la primera línea de la tabla, esto es la primera magnitud. Aquí estarán las líneas requeridas para cada dimensión. La fórmula algebraica que proponemos es la siguiente:

S1(n) = 2ⁿ n/2

Adonde el subíndice 1 denota la primera magnitud m, esto es, la de las líneas. Definimos a la fórmula marginal como la diferencia entre el valor de S1(n+1) y S1(n), y la denotamos por €(n). Así:

€1(n) = 2ⁿ (n+1)/2) – 2ⁿ n n/2) = 2ⁿ (2(n+1)/2)-(n/2)) = 2^n-1 (2n+2-n) = €1(n) = 2^n-1 (n+2)

Para el caso de la dimensión 1, tenemos:

€1(0) = 2^0-1 = (1/2)(0+2) = 1 €1(1) = 2^1-1 (1+2) = 3

Como S1(1) = 2ⁿ n/2 = 2 (1/2) = 1, lo que se deriva de aquí es que, para la magnitud 1, o sea, la líneal, existe la línea en la dimensión 1, y 3 líneas más para la magnitud 2, lo que daría como resultado que los cuadrados (magnitud 2) se forman con 4 líneas. La primera de ellas pertenece a la magnitud 1, la lineal, y las 3 restantes son las definidas por la función marginal €(1) = 3, que nos daría el total de 4 líneas que conforman un cuadrado. Se procede a calcular el resto de las líneas para cada magnitud:

€1(2) = 2^2-1 (2+2) = 8

€1(3) = 2^3-1 (3+2) = 20

€1(4) = 2^4-1 (4+2) = 48

€1(5) = 2^5-1 (5+2) = 112

€1(6) = 2^6-1 (6+2) = 256

El significado es el siguiente: se requieren 12 líneas para formar un cubo, 32 para formar un teseracto o hipercubo, 80 para un penteracto, 192 para un hexeracto y 448 para un hepteracto.

Esto suena prometedor, así que se pasa a la segunda magnitud, esto es, a los cuadrados. La fórmula propuesta es la siguiente:

S2(n) = 2ⁿ (n/2) ((n-1)/4))

En donde el subíndice 2 denota la segunda magnitud m, la de los cuadrados. De nuevo, definimos la fórmula marginal como €2(n) = S2(n+1) menos S2(n), ahora, en la magnitud 2. El lector puede comprobar fácilmente que:

€2(n) = 2ⁿ n/8 (n+3)

Ahora bien:

S2(1) = 2¹ (1/2) ((1-1)/4)) = 0

Esto significa que hay 0 cuadrados en la primera dimensión. Continuamos con la segunda dimensión usando la función marginal.

€2(1) = 2¹ (1)/8 (1+3) = 1

Lo que significa que se forma un cuadrado en la magnitud 2, de los cuadrados, en la dimensión 2 (la dimensión plana).

Si se quiere saber cuántos cuadrados se formarán en la dimensión 3 se calcula €(2):

€2(2) = 2²(2)/8 (2+3) = 5

Lo que significa que habrá 6 cuadrados en la dimensión 3, esto es, la de los cubos. En otras palabras, esto nos dice que los cubos tienen 6 cuadrados.

Ahora se puede preguntar cuántos cuadrados tiene un teseracto, esto es, el análogo al cubo en la cuarta dimensión:

€2(3) = 2³(3)/8 (3+3) = (24/8)(6) = 18

Lo que significa que hay 24 cuadrados en un teseracto. Se continúa con el resto de las dimensiones:

€2(4) = 2⁴(4)/8 (4+3) = 56

€2(5) = 2⁵(5)/8 (5+3) = 160

€2(6) = 2⁶(6)/8 (6+3) = 432

La interpretación se deja al lector.

Se continúa con la tercera magnitud m, esto es, la de los cubos. La función propuesta, que el lector atento habrá imaginado es:

S3(n) = 2ⁿ (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6))

La función marginal sería:

€3(n) = 2ⁿn/48 (n-1)(n+4)

Por consiguiente, se puede calcular fácilmente el número de cubos en las 5 dimensiones, así:

€3(1) = 2¹(1)/48 (1-1)(1+4) = 0

€3(2) = 2²(2)/48 (2-1)(2+4) = 1

€3(3) = 2³(3)/48 (3-1)(3+4) = 7

€3(4) = 2⁴(4)/48 (4-1)(4+4) = 32

De manera que un cubo se forma en la tercera dimensión, se requieren 8 cubos para formar un teseracto, y hay 40 cubos en un penteracto, esto es, el análogo del teseracto en quinta dimensión, o sea, un hipercubo en quinta dimensión.

€3(5) = 2⁵(5)/48 (5-1)(5+4) = 120

€3(6) = 2⁶(6)/48 (6-1)(6+4) = 400

Esto es, hay 160 cubos en un hexeracto, y 560 cubos en un hepteracto.

Ahora se abre la posibilidad de enfrentarse al teseracto o hipercubo, esa famosa y extraña figura que es el equivalente al cubo en la cuarta dimensión. Si se estira un cubo hacia arriba, saliendo por una de sus aristas, se nos formará la versión aplanada a la tercera dimensión de un teseracto. Con un poco de imaginación se podrá visualizar que se compone de 8 cubos, el inicial, el final, y los 6 que se forman saliendo por cada uno de los lados o cuadrados que conforman el cubo. Hagamos un paréntesis para comprender un poco más el teseracto, puesto que es la figura imaginaria que se acomoda mejor a la comprensión de nuestros sentidos, diseñados para el nivel tridimensional, y no para comprender el nivel de cuatro dimensiones, que de alguna manera aparece como contraintuitivo, puesto que nosotros vivimos en un mundo aparente de tercera dimensión, si bien a partir de esta misma lectura se puede hipotetizar que la cuarta dimensión es el tiempo, por lo que los teseracts serían parte normal de nuestro mundo real aunque no acabemos del todo de comprenderlos, ni podamos mirarlos directamente, por una cuestión puramente de perspectiva.

Al respecto, se puede intentar representar el teseracto en un mundo tridimensional. Esto tiene una gran importancia práctica puesto que hay controversia sobre si se ha podido comprender plenamente el significado y forma de un teseracto, o si se trata de una cuestión puramente imaginaria.

La hipótesis implícita es que el teseracto es un objeto difícil de imaginar, pero posible de representar en forma simple. Vamos a representar el teseracto en una sola tabla plana de 12 por 12 y con el uso de símbolos que representan, cada uno, un cubo o habitación.

TABLA PARA REPRESENTAR EL TESERACTO APLANADO

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Se usan símbolos en negro para poder hacer la representación aquí, si bien lo más recomendable sería asignar un color o una figura a cada cubo o habitación. De paso, se puede decir que esta representación podría tener cierto valor estético, o para el arte arquitectónico, pero eso sería tema para otra discusión.

La estructura contiene 8 cubos distintos que forman un teseracto, estableciendo las conexiones entre las habitaciones en forma más o menos clara. De hecho, se trata de un mosaico de 9 cuadrantes de 4 por 4 habitaciones. Los colores y símbolos son completamente intercambiables entre sí, mientras se respete la estructura general.

Es necesario aclarar que sólo algunas direcciones en el movimiento a través de la tabla son válidas. Por ejemplo, muchas de las columnas no mantienen la estructura correcta. Estos defectos son generados por el “aplanado” de la figura. Como ejemplos de la estructura correcta están las columnas 2 y 3, las filas 2 y 3, y las diagonales principales. Partiendo de la casilla (6,6) o de la casilla (7,6) se puede obtener una interpretación sin errores en 6 de las 8 direcciones posibles, lo cual resulta natural puesto que cada cubo tiene sólo 6 caras o salidas.

En suma: la tabla permite comprender al teseracto en forma fácil y bajo una perspectiva plana. Regresando al cuerpo principal del presente trabajo, podemos ahora estudiar las primeras 7 dimensiones del teseracto. Como habrán imaginado la fórmula inicial será:

S4(n) = 2ⁿ (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8))

Donde el subíndice 4 denota la cuarta magnitud m, esto es, la de los teseractos. La función marginal que se deriva de aquí es:

€4(n) = (2ⁿn/384) (n-1)(n-2)(n+5)

Por consiguiente, se puede calcular fácilmente el número de teseractos en las 7 dimensiones, así:

€4(1) = (2¹(1)/384) (1-1)(1-2)(1+5) = 0

€4(2) = (2²(2)/384) (2-1)(2-2)(2+5) = 0

€4(3) = (2³(3)/384) (3-1)(3-2)(3+5) = 1

€4(4) = (2⁴(4)/384) (4-1)(4-2)(4+5) = 9

€4(5) = (2⁵(5)/384) (5-1)(5-2)(5+5) = 50

€4(6) = (2⁶(6)/384) (6-1)(6-2)(6+5) = 220

De manera que un teseracto se forma en la cuarta dimensión, que para muchos representa al tiempo, además: se requieren 10 teseractos para formar un penteracto, hay 60 teseractos en un hexeracto, y hay 280 teseractos en un hepteracto, esto es, el análogo del teseracto en séptima dimensión, o sea, un hipercubo en séptima dimensión.

En la explicación está implícita la prueba matemática por [inducción], de una manera que parece a simple vista estricta. Si tomamos los valores específicos de €(X), donde X es un número cualquiera, se pueden verificar las fórmulas sin ningún problema. Además, si tomamos Sm(n) y le sumamos €m(n+1), tendremos como resultado, necesariamente Sm(n+1). Por tanto, la prueba de las fórmulas por inducción está completa.

Podemos intentar ahora una generalización de las fórmulas. El número n puede ser cualquier dimensión hasta el infinito, se comenzaría por verificar que las fórmulas Sm(n) y €m(n) también funcionan en las siguientes dimensiones, hasta llegar a números grandes. La prueba al infinito podría ser resuelta a través del límite de n hasta el infinito en las respectivas funciones.

Una forma más simple de hacer pruebas generalizadas, es recurrir a la función generadora de hipercubos, que defino como:

Sm(n) = 2ⁿ (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(m-1)/2m)]

Los términos en m representan constantes que se definen cuando se escoge el nivel de la magnitud o figura a considerar. También son automáticamente generados todos los números enteros que aparecen en la fórmula. La fórmula se define para cualquier m mayor que 4, esto es, superior al nivel de los teseractos. Para los niveles de 1 a 4 se usan las fórmulas ya descritas y que corresponden plenamente con la fórmula generalizada.

Ahora bien, si suponemos que m es igual a n, podemos saber cuántas figuras de la dimensión correspondiente a la misma figura, existen para todos los hipercubos de tamaño n hasta infinito. Al atar el símbolo m con el símbolo n podemos decir que, para todo m igual a n:

Sm(n) = 2ⁿ (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(n-1)/2n)] (para todo m = n)

Despejando tendríamos:

Sm(n) = (2ⁿ / 2ⁿ) (n/1) ((n-1)/2)) ((n-2)/3)) ((n-3)/4)) ..... [1/n)]

Observando que la cadena de enes de arriba, es idéntica a la cadena de enes de abajo, tenemos:

Sm(n) = (2ⁿ / 2ⁿ) Sm(n) = 1

Esto significa, que siempre que m sea igual a n, es decir, en el nivel de la figura correspondiente a la enésima dimensión, sólo va a existir una figura. En otras palabras, sólo hay un hexeracto en la sexta dimensión, sólo hay un hepteracto en la séptima dimensión, y así sucesivamente hasta llegar a infinito.

Recuérdese que esta es una función acumulativa, esto es, si hay sólo una figura para cada dimensión n igual a m, entonces, para todo i, adonde cada i representa a un n-i menor que n, el valor de Sm(i) será igual a cero. Probémoslo para Sm(n-1), con el fin de tener una mayor seguridad en nuestros cálculos, puesto que al ser S una función acumulativa, resultará evidente que el hipercubo o figura m se forma única y exclusivamente en la dimensión n que le corresponda, puesto que hasta allí, y desde 1 hasta n-1, no se ha acumulado ninguna figura correspondiente. Veamos:

Sm(n-1) = 2^n-1 (n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(m-1))/2m]

Ahora, recordando que m es un número fijo que hemos supuesto igual a n:

Sm(n-1) = 2^n-1 (n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(n-1))/2n]

Lo cual es evidentemente 0 al restar n-1 de sí mismo en el último término. Si esto le resulta oscuro, inténtelo con las fórmulas correspondientes al cubo que ya describimos.

Ls “tabla” original se ha ampliado entonces para permitirnos concluir que debajo de la diagonal siempre tendremos ceros, y en la diagonal principal, en que m es igual a n, tendremos un 1. El resto de los cálculos para llenar una matriz cualquiera m por n se realizaría a través de la fórmula general, dándole los valores respectivos a m y a n.

Nos queda, por último, el infinito. Este se ubica en el extremos inferior derecho de una matriz infinitamente grande, lo cual podría parecer imposible de calcular. Pero como ya sabemos que la matriz tiene unos en toda la diagonal, y ceros abajo de la diagonal, entonces, se puede especular, con bastante veracidad, que el valor ubicado en el punto n,m cuando n y m tienden a infinito es de 1. Así que hay una única figura que cumple estas condiciones. Puesto que tal figura tiene, aparentemente, infinito número de todas las figuras inferiores, se puede fácilmente especular que se trata de una esfera n-dimensional. El cómo se vea una figura n-dimensional puede ser muy misterioso, pero el hecho claro es que no tendría ninguna irregularidad, puesto que es perfectamente igual en todas las direcciones, de forma que si se le girara quedaría exactamente igual y no se le podrían ver protuberancias, vértices o esquinas en ninguna perspectiva. Eso es para mí, una imagen suficientemente clara de una esfera n-dimensional.

En cuanto al problema de la interpretación, cabe cuestionar sobre la existencia de las figuras en la realidad, o de si se trata de pura especulación virtual. Al respecto, hasta el nivel del cubo no veo ningún problema: la prueba evidente es la existencia de la línea, el cuadrado y el cubo, y la utilidad práctica que tienen. En el nivel de la cuarta dimensión, pareciera que el teseracto se refiere al tiempo, puesto que implica el movimiento del cubo, aunque eso tendría que argumentarse con más calma. Dejo en duda, para no perder confiabilidad, la existencia o no en la realidad del teseracto, pero quisiera aclarar que si el mundo fuera tridimensional no tendría movimiento, así que el teseracto puede ayudar a solucionar el problema de la existencia del tiempo. En cuanto a que las n dimensiones tengan un carácter espiritual, esto es un malentendido puesto que se les puede considerar como una extensión por analogía de las figuras consideradas reales: esto no tiene que ver con la postulación de su existencia o no, bien podrían existir, o bien podrían no existir.

Por lo pronto, se denota que el teseracto aplanado en términos simbólicos puede tener valor arquitectónico y para la comprensión de figuras en cuarta dimensión, tema que tendría que ser analizado y verificado junto con los profesionales de la psicología, puesto que parece muy extraño que criaturas que sólo perciben objetos tridimensionales puedan comprender completamente un objeto en cuarta dimensión. Resulta más asombroso aún que sea posible especular sobre una figura de dimensión infinita como la esfera n-dimensional.

En cuanto a la utilidad práctica de los hipercubos, el teseracto puede ser usado para desarrollar funciones lógicas desde la perspectiva de la lógica difusa, así como para el diseño de redes computacionales. También ha sido posible modelar el código genético con el uso de la sexta dimensión representada por el hexeracto.