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En matemáticas , el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones.
El Teorema de Stolz-Cesàro puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro.
El teorema recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro .
Criterio de Stolz del cociente
Sean
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}\ }
y
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}\ }
dos sucesiones tales que,
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}\ }
es monótona decreciente y
lim
n
→
∞
b
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}
o monótona creciente y divergente a
+
∞
{\displaystyle +\infty \ }
.
lim
n
→
∞
−
a
n
+
1
+
a
n
−
b
n
+
1
+
b
n
=
λ
,
λ
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {-a_{n+1}+a_{n}}{-b_{n+1}+b_{n}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R} }
Entonces, el límite:
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
λ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda }
Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo
∞
∞
{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}
.Otra forma de enunciación es la siguiente:
Sean
(
a
n
)
n
≥
1
{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}
y
(
b
n
)
n
≥
1
{\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}
dos sucesiones de números reales. Asumiendo que
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:
lim
n
→
∞
−
a
n
+
1
+
a
n
−
b
n
+
1
+
b
n
=
l
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {-a_{n+1}+a_{n}}{-b_{n+1}+b_{n}}}=l.}
Entonces podemos asegurar que el limite
lim
n
→
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
existe y es igual a
l
{\displaystyle l}
siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.
Criterio de Stolz de la raíz
Sean
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}\ }
y
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}\ }
dos sucesiones tales que,
a
n
>
0
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} }
b
n
{\displaystyle b_{n}\ }
es monótona creciente y divergente
(
b
n
>
0
,
∀
n
)
{\displaystyle (b_{n}>0,\forall n)}
lim
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
b
n
+
1
−
b
n
=
λ
,
λ
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R} }
Entonces,
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
λ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda }