Base negativa

Es posible utilizar una base negativa para construir un sistema numérico posicional no estándar. Al igual que otros sistemas de valor dependientes de la posición, cada posición corresponde a múltiplos de una potencia llamada base; pero en este caso la base es negativa, es decir, la base b es igual a −r para algún número natural r (r ≥ 2).

Los sistemas de base negativa pueden acomodar todos los números como cualquier sistema estándar de valores dependientes de la posición, pero los números positivos y negativos se representan sin la necesidad de un signo negativo adicional, lo que le otorga ciertas ventajas a este sistema respecto de los que utilizan bases positivas en los cuales los números negativos se representan con una cifra adicional para el signo. Sin embargo esta ventaja se ve atenuada por una complejidad mayor para realizar operaciones aritméticas.

Las denominaciones comunes para sistemas numerales posicionales de base negativa se forman anteponiendo el prefijo nega- al nombre correspondiente del sistema numeral en base positiva; por ejemplo, negadecimal (base −10) corresponde a decimal (base 10), negabinario (base −2) a binario (base 2), y negaternario (base −3) a ternario (base 3).^[1]^[2]

Ejemplos

14 en base 10, sería 10010 en base 2 negativa ya que: 1(-2)⁴+0(-2)³+0(-2)²+1(-2)¹+0(-2)⁰=16-2=14
-200 en base 10, sería 2200 en base 5 negativa ya que: 2(-5)³+2(-5)²+0(-5)¹+0(-5)⁰=-250+50=-200

Si se analiza el significado de la expresión 12,243 en el sistema negadecimal, cuya base $b$ es −10:

Múltiplos de
$(-10) 4 = 10,000$	$(-10) 3 = -1,000$	$(-10) 2 = 100$	$(-10) 1 = -10$	$(-10) 0 = 1$
1	2	2	4	3

Dado que 10,000 + (−2,000) + 200 + (−40) + 3 = 8,163, la expresión 12,243_-10 en notación negadecimal es equivalente a 8,163₁₀en notación decimal, mientras que −8,163₁₀ en decimal se indica como 9,977_-10 en negadecimal.

Historia

En 1885, Vittorio Grünwald en su obra Giornale di Matematiche di Battaglini, propone el uso de bases numéricas negativas. En su trabajo Grünwald propuso algoritmos para sumar, restar, multiplicar, dividir, obtener raíces, y realizar pruebas de divisibilidad y conversiones. Posteriormente las bases negativas fueron redescubiertas de forma independiente por A. J. Kempner en 1936 y Zdzisław Pawlak y A. Wakulicz en 1959.

La base binaria negativa fue implementada en el ordenador polaco BINEG (y UMC), construido entre 1957 y 1959, basado en las ideas de Z. Pawlak Y A. Lazarkiewicz Del Instituto Matemático en Varsovia.

Notación y uso

Si se identifica a la base del sistema numérico como −r, entonces es posible escribir cada número entero como:

a=\sum _{i=0}^{n}d_{i}(-r)^{i}

Donde cada dígito d_k es un entero de 0 a r - 1 y el dígito principal d_n es > 0 (a no ser que n=0). La base −r expansión de a entonces queda definida por los dígitos d_n d_n-1 … d₁ d₀.

Algunos números tienen la misma representación en base −r que en base r. Por ejemplo, los números del 100 a 109 tiene las mismas representaciones en base decimal y decimal negativo.

Por ejemplo,

17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}

y se representa como 10001 en binario y 10001 en negabinario.

La siguiente tabla ilustra las expansiones de algunos números en bases positivas y negativas:

Decimal	Negadecimal	Binaria	Negabinaria	Ternaria	Negaternaria	Ternaria balanceada
−15	25	−1111	110001	−120	1220	−110
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
−5	15	−101	1111	−12	21	−11
−4	16	−100	1100	−11	22	−−
−3	17	−11	1101	−10	10	−0
−2	18	−10	10	−2	11	−1
−1	19	−1	11	−1	12	−
0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1
2	2	10	110	2	2	1−
3	3	11	111	10	120	10
4	4	100	100	11	121	11
5	5	101	101	12	122	1−−
6	6	110	11010	20	110	1−0
7	7	111	11011	21	111	1−1
8	8	1000	11000	22	112	10−
9	9	1001	11001	100	100	100
10	190	1010	11110	101	101	101
11	191	1011	11111	102	102	11−
12	192	1100	11100	110	220	110
13	193	1101	11101	111	221	111
14	194	1110	10010	112	222	1−−−
15	195	1111	10011	120	210	1−−0
16	196	10000	10000	121	211	1−−1
17	197	10001	10001	122	212	1−0−

Es de notar que las expansiones de enteros negativos en base $-r$ poseen un número par de dígitos, mientras que las expansiones en base $-r$ de enteros no negativos poseen un número impar de dígitos.

Cálculo

La base de la expansión de un número puede ser encontrada mediante división repetida por −r, los residuos no negativos y concatenándolos empezando con el último. Note que si a / b = c, y residuo d, entonces bc + d = a y por tanto d = a - bc. Para llegar en la conversión correcta, el valor para c tiene que ser escogido tal que d es positivo y mínimo (menor que b).

Referencias

↑ Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Volume 2 (3rd edición), pp. 204-205 .. Knuth mentions both negabinary and negadecimal.
↑ The negaternary system is discussed briefly in Petkovšek, Marko (1990), «Ambiguous numbers are dense», The American Mathematical Monthly 97 (5): 408-411, ISSN 0002-9890, MR 1048915, doi:10.2307/2324393 ..

Bibliografía

Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2 edición). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5.
Vittorio Grünwald, Giornale di Matematiche di Battaglini (1885), 203-221, 367
A. J. Kempner. (1936), 610-617
Z. Pawlek et A. Wakulicz, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III, 5 (1957), 233-236; Série des sciences techniques 7 (1959), 713-721
L. Wadel IRE Transactions EC-6 1957, 123
N. M. Blachman, Communications of the ACM (1961), 257
IEEE Transactions, 1963, 274-276
Computer Design Mai 1967, 52-63
R. W. Marczynski, Annotated History of Computing, 1980, 37-48

Datos: Q367134
Multimedia: Negative bases / Q367134

[1] Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Volume 2 (3rd edición), pp. 204-205 .. Knuth mentions both negabinary and negadecimal.

[2] The negaternary system is discussed briefly in Petkovšek, Marko (1990), «Ambiguous numbers are dense», The American Mathematical Monthly 97 (5): 408-411, ISSN 0002-9890, MR 1048915, doi:10.2307/2324393 ..

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[2]