Plano

Artikulu hau objektu geometrikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Plano (argipena)».

Geometrian, planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

Ekuazio bektoriala

Planoko hiru puntuak $(x_{0},y_{0},z_{0}),(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,$ izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})\,

\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})=(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0})\,

Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

${\begin{aligned}\mathbf {x} =(x,y,z)&=\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} =\\&=(x_{0},y_{0}+z_{0})+\lambda (x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})+\mu (x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0}).\end{aligned}}$

Planoko puntuak $\lambda ,\ \mu \,$ parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

Ekuazio parametrikoak

Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

x=x_{0}+\lambda (x_{1}-x_{0})+\mu (x_{2}-x_{0})\,

y=y_{0}+\lambda (y_{1}-y_{0})+\mu (y_{2}-y_{0})\,

z=z_{0}+\lambda (z_{1}-z_{0})+\mu (z_{2}-z_{0})\,

Ekuazio bektorialean bezala, $\lambda ,\ \mu \,$ parametroei edozein balio erreal emanez, planoko (x,y,z) puntuak sortuko dira.

Ekuazio orokorra

Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}=\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} \,

,

honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:

\left|{\begin{array}{ccc}x-x_{0}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y-y_{o}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z-z_{0}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\\\end{array}}\right|=0.

Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

Ax+By+Cz+D=0\,

Planoko $(x,y,z)\,$ puntu bat $x,y\,$ aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren $z\,$ balioa bakanduz lortuko da.

Ekuazio normala

Bitez $\mathbf {P} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\,$ planoko puntu bat eta $\mathbf {n} =(a,b,c)\,$ planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, $\mathbf {P} =(x,y,z)\,$ planoko edozein punturentzat hau betetzen da: