فضای مماس

در ریاضیات، فضای مماس (به انگلیسی: Tangent Space) یک منیفلد، تعمیم بردارهای فضای آفین به منیفلدها را در حالت کلی تسهیل می کند، چرا که در منیفلدها نمی توان به سادگی نقاط را (همچون فضای آفین) از هم کم کرده تا بردار انتقال از یکی به دیگری بدست آید.

توصیف ساده

نمایش تصویری از فضای مماس در نقطه x کره. یک بردار مماس در این نقطه را می توان به عنوان بردار سرعت هنگام حرکت از آن نقطه به نقاط مجاورش تصور نمود. بعد از این که در جهت مورد نظر به نقطه مجاور حرکت کردیم، سرعت این انتقال با برداری در فضای مماس نقطه جدید نشان داده می شود (که در تصویر نشان داده نشده است).

در هندسه دیفرانسیل، می توان به هر نقطه $x$ از منیفلد دیفرانسیل پذیر، یک فضای مماس نسبت داد، یعنی فضای برداری که به طور شهودی می توان آن را شامل جهت بردارهای مماس بر خم هایی دید که از آن نقطه می گذرند. اعضای فضای مماس در نقطه $x$ را بردارهای مماس در آن نقطه می نامند. این تعمیم مفهم یک بردار مقید (به انگلیسی: Bound Vector) (برداری که ابتدا و انتهای مشخصی دارند) در فضای اقلیدسی است. بعد فضای برداری در هر نقطه از یک منیفلد همبند برابر با بعد منیفلد است.

به عنوان مثال، اگر 2-کره را به عنوان یک منیفلد در نظر بگیریم، آنگاه می توان فضای مماس در هر نقطه آن را به صورت صفحه ی مماس بر آن نقطه تصور کرد، به گونه ای که آن صفحه در آن نقطه عمود بر شعاع کره گذرنده از آن نقطه خواهد بود. به طور کلی تر، اگر منیفلدی را بتوان به صورت زیرمنیفلد نشانده شده در فضای اقلیدسی تصور کرد، آنگاه می توان فضای مماس در هر نقطه را همچون مثال مذکور دید. این توصیف سنتی انتقال موازی بود. بسیاری از مؤلفان در هندسه دیفرانسیل و نسبیت عام از این توصیف استفاده می کنند. به طور خاص، این توصیف، تعریفی از فضای مماس آفین است، که متمایز از فضای مماسی است که در واژگان متون نوین از آن یاد می شود.

از آن طرف، در هندسه جبری نیز تعریفی ذاتی برای فضای مماس در یک نقطه از یک واریته جبری $V$ وجود دارد که به هر نقطه از واریته، فضای مماسی نسبت می دهد که بعدش حداقل برابر خود $V$ است (یعنی بعد فضای مماس هر نقطه بزرگتر مساوی بعد واریته می تواند باشد). نقاطی چون $p$ که بعد فضای مماس در آن‌ها دقیقاً برابر با بعد واریته باشد را نقاط غیر-تکین نامند؛ نقاط دیگر را نقاط تکین می نامند. به عنوان مثال، یک خم که از خودش عبور می کند دارای خط مماس منحصربفردی در نقطه برخورد نیست. نقاط تکین $V$، نقاطی هستند که 'آزمون منیفلد بودن' در آن نقاط با شکست مواجه می شود. بحث فضای مماس زاریسکی را ببینید.

زمانی که فضای مماس یک منیفلد مشخص شد، می توان میدان‌های برداری نیز بر رویشان تعریف کرد، که تجرید میدان سرعت ذرات محرک در آن فضا می باشد. یک میدان برداری به هر نقطه از منیفلد یک بردار از فضای مماس بر آن نقطه را به طور هموار (یعنی تغییرات بردار های نسبت داده شده به نقاط مجاور هم تغییرات شدیدی نسبت به هم ندارند) نسبت می دهد. چنین میدان برداری را می توان برای تعریف تعمیم معادلات دیفرانسیل معمولی روی یک منیفلد به کار برد: جواب چنین معادله دیفرانسیلی، یک خم دیفرانسیل‌پذیر روی منیفلد مورد نظر است به گونه ای که مشتق هر نقطه از آن خم برابر با بردار مماس متصل به آن نقطه از میدان برداری خواهد بود.

تمام فضاهای مماس یک منیفلد را می توان 'به هم چسباند' تا شکیل یک منیفلد دیفرانسیل پذیر جدید نمایند. بعد منیفلد جدید دو برابر منیفلد قبلی است و به آن کلاف مماس می گویند.

منابع

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society.
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society.
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Tangent Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.