Euklidinen metriikka

Matematiikassa, euklidinen metriikka tai euklidinen etäisyys on "tavallinen" etäisyys kahden pisteen välillä.

Määritelmä

Euklidinen etäisyys pisteiden $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ ja $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$ välillä n-avaruudessa, on:

${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.$

Yksiulotteisessa avaruudessa

Pisteiden $P=(p_{x})\,$ ja $Q=(q_{x})\,$, etäisyys on:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|$

Itseisarvomerkkejä käytetään, koska etäisyys normaalisti ajatellaan positiiviseksi skalaariluvuksi.

Kaksiulotteisessa avaruudessa

Pisteille $P=(p_{x},p_{y})\,$ ja $Q=(q_{x},q_{y})\,$, etäisyys on:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}$

Vaihtoehtoisesti, napakoordinaatistossa pisteiden $P=(r_{1},\theta _{1})\,$ ja $Q=(r_{2},\theta _{2})\,$, etäisyys on:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}$

Kolmiulotteisessa avaruudessa

Pisteiden $P=(p_{x},p_{y},p_{z})\,$ ja $Q=(q_{x},q_{y},q_{z})\,$, etäisyys on

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$

Katso myös

• Metriikka
• Euklidinen geometria
• Ulottuvuus