Fraktaali

Mandelbrotin joukko lienee tunnetuin fraktaali.

Romanesco-kaali, joka on muodoltaan fraktaali.

Fraktaali (lat. fractus 'murtunut') on joukko, joka on itsesimilaarinen, eli joukko näyttää samalta tai samankaltaiselta, katsoi sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaalille ei ole täsmällistä määritelmää, mutta erään luokituksen mukaan se on joukko, jonka fraktaaliulottuvuus on erisuuri kuin joukon topologinen ulottuvuus. Tavallinen fraktaali on itsesimilaarinen jossain määrätyssä mittakaavassa, jolloin sen fraktaaliulottuvuus on vakio. On myös mahdollista määritellä fraktaaleja, joissa itsesimilaarisuus toteutuu useammassa eri mittakaavassa. Tällaista joukkoa kutsutaan multifraktaaliksi.

Fraktaalifunktio voidaan määritellä funktioksi, joka on jatkuva kaikkialla mutta ei derivoituva missään pisteessä. Tällainen on esimerkiksi Weierstrassin funktio.

Fraktaali-sanan suomenkieliseksi vastineeksi on esitetty sanaa murtomuoto.

Ominaisuudet

Fraktaalilla on usein seuraavat ominaisuudet:

• Sillä on mielivaltaisen pieniä rakenteita.
• Se on liian monimutkainen kuvattavaksi euklidisella geometrialla.
• Se on itsesimilaarinen (ainakin suunnilleen tai satunnaisesti).
• Sillä on Hausdorffin dimensio joka on suurempi kuin sen topologinen dimensio (ei päde aivan kaikille fraktaaleille).
• Sillä on yksinkertainen rekursiivinen määritelmä.

Fraktaalista löytyy samanlaisia rakenteita suurennettiinpa sitä kuinka paljon tahansa. Luonnosta löytyviä fraktaalin kaltaisia kohteita ovat esimerkiksi pilvet, vuoristot, salamat, rantaviivat, lumihiutaleet, monet vihannekset (kuten kukkakaali ja parsakaali) sekä eläinten kuviointi. Kaikki itsesimilaariset kohteet, kuten suora viiva eivät kuitenkaan ole fraktaaleita. Vaikka suora viiva onkin itsesimilaarinen, se on kuitenkin tarpeeksi yksinkertainen kuvattavaksi euklidisella geometrialla.

Historiaa

Kochin lumihiutale, joka aloitusvaiheessa on tasasivuinen kolmio ja josta seuraavissa vaiheissa poistetaan jokaisen sivun keskimmäinen kolmannes ja korvataan se kahdella samanpituisella sivulla, jotka muodostavat sakaran

Fraktaaleihin liittyvä matematiikka sai alkunsa 1600-luvulla, kun matemaatikko ja filosofi Gottfried Leibniz tutki rekursiivisia itsesimilaarisia kohteita (vaikkakin hän virheellisesti ajatteli suoran viivan olevan myös fraktaalinen).

Vuonna 1872 ensimmäinen fraktaalina pidettävä funktio esiteltiin, kun Karl Weierstrass antoi esimerkin funktiosta joka oli jatkuva kaikkialla muttei derivoituva missään pisteessä. Vuonna 1904, Helge von Koch esitteli Kochin käyrän. Wacław Sierpiński muodosti kolmionsa vuonna 1915 ja vuotta myöhemmin neliönsä. Itsesimilaarisia käyriä tutki enemmän Paul Pierre Lévy, joka vuonna 1938 julkaistussa artikkelissaan Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole kuvasi uuden fraktaalikäyrän Lévy C käyrän. Georg Cantor taas antoi esimerkin eräästä toisesta fraktaalista, Cantorin joukosta. Fraktaali-sana keksittiin kuitenkin vasta myöhemmin.

Kompleksitason iteroitavia funktioita tutkivat 1800- ja 1900-luvuilla Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou ja Gaston Julia. Ilman nykyaikaisista tietokonetekniikkaa fraktaalien kuvantaminen oli kuitenkin vaikeaa.

1960-luvulla Benoît Mandelbrot tutki itsesimilaarisuutta esimerkiksi artikkeleissaan How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, joka perustui Lewis Fry Richardsonin tekemiin tutkimuksiin. Vuonna 1975 Mandelbrot keksi sanan "fraktaali" kuvaamaan kohdetta, jonka Hausdorffin dimensio on suurempi kuin sen topologinen dimensio. Hän osoitti tämän määritelmän huomiota herättäneillä tietokoneitse tehdyillä visualisoinneilla.

Julian joukko, Mandelbrotin joukkoon liittyvä fraktaali

Tunnettuja fraktaaleja

Eräät fraktaalit on nimetty löytäjänsä mukaan

• Cantorin joukko: jokseenkin yksinkertaisin mahdollinen fraktaali.
• Kochin käyrä eli lumihiutalekäyrä. Perinteinen oppikirjaesimerkki.
• Mandelbrotin joukko: ehkä tunnetuin fraktaali.
• Julian joukko: Mandelbrotin joukon yleistys. Erittäin monimuotoinen olio.
• Sierpińskin tiiviste: yleinen esimerkki, jossa osia kolmiosta, neliöstä tai kuutiosta poistetaan.
• Mengerin pesusieni

Fraktaalitaide

Fraktaaleja voidaan suurentaa rajatta. Niillä on yksityiskohtia kaikissa mittakaavoissa eli yksityiskohdat jatkuvat äärettömiin. Fraktaaleista voidaan laatia taideteoksia ohjelmoitavan tietokonegrafiikan keinoin.

Katso myös

• Rantaviivaparadoksi

Kirjallisuutta

• Ball, Philip: Kemian eturintamassa: Matka molekyylien maailmaan. ((Designing the molecular world: Chemistry at the Frontier, 1994). Suomentanut Kimmo Pietiläinen) Helsinki: Terra Cognita, 1997. ISBN 952-5202-07-0
• Barnsley, Michael F.: Fractals everywhere. Boston: Academic Press, 1988. ISBN 0-12-079062-9 (englanniksi)
• Falconer, Kenneth: Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. Chichester: Wiley, 1990. ISBN 0-471-92287-0 (englanniksi)
• The Fractal Geometry of Nature, Benoit Mandelbrot; W H Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (1982)
• The Science of Fractal Images, Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe (toim.); Springer Verlag; ISBN 0-387-96608-0 (1988)

Aiheesta muualla

Eräs Julian joukko.

• Fractal Foundation. (englanniksi)

Fraktaaliohjelmistoja:

• Ultra Fractal – suosittu ohjelmisto Microsoft Windowsille. (englanniksi)
• Fractint (Arkistoitu – Internet Archive) – saatavilla useimmille alustoille (englanniksi)
• Makin' Magic Fractals (englanniksi)
• ChaosPro – Microsoft Windows (englanniksi)
• Xaos – Windows, Mac, Linux jne (englanniksi)
• IFS Illusions^{[vanhentunut linkki]} – Keinotekoinen taideohjelmisto (englanniksi)
• Sterling2 freeware fractal generator Windows (englanniksi)
• [1] – Fraktaaleja R-ohjelmalla