Rombidodekaedri

Rombidodekaedri

Rombidodekaedri on kupera monitahokas, jolla on 12 keskenään yhtenevää neljäkkään muotoista tahkoa, 24 särmää ja 14 kärkeä. Kärkiä sillä on kahdenlaisia, sillä osassa niistä kohtaa toisensa neljä, toisissa vain kolme tahkoa. Rombidodekaedri kuuluu Catalanin kappaleisiin, sillä se on kuboktaedrin duaalimonitahokas.

Rombidodekaedrin kuvasi ensimmäisenä Johannes Kepler.

Konstruointi

Animaatio siitä, miten rombidodekaedri voidaan muodostaa lähtemällä kuutiosta, jakamalla se kuudeksi pyramidiksi, joiden pohjana kuution sivut ovat, ja kääntämällä nämä kuution ulkopuolelle.

Rombidodekaedri voidaan muodostaa kuutiosta lisäämällä sen jokaisen tahkon ulkopuolelle nelisivuinen pyramidi, jonka pohja peittää kuution tahkon kokonaisuudessaan ja jonka korkeus on puolet kuution särmän pituudesta. Pyramidin sivutahkot ovat tosin tasakylkisiä kolmiota, mutta näin muodostettujen, kuution vierekkäisille tahkoille asetettujen pyramidien ne sivutahkot, jotka rajoittuvat samaan alkuperäiseen kuution särmään, ovat samassa tasossa ja muodostavat yhdessä neljäkkään.

Vastaavalla tavalla voidaan rombidodekaedri muodostaa myös käyttämällä pohjana säännöllistä oktaedria, jonka jokaiselle sivutahkolle asetetaan kolmisivuinen pyramidi, jonka korkeus on valittu niin, että vierekkäisten pyramidien sivutahkot ovat samassa tasossa.

Ominaisuudet

Rombidodekaedri on zonoedri eli sen jokaisella sivulla on symmetriakeskus. Se on kuboktaedrin duaalikappale.

Jos rombidodekaedrin särmän pituus on r, on sen jokaisen tahkon pidemmän lävistäjän pituus $2r{\sqrt {\frac {2}{3}}}\approx 1,633r$ ja lyhemmän lävistäjän ${\frac {2r}{\sqrt {3}}}$ Jokaisen tahkon pidemmän ja lyhemmän lävistäjän suhde on siis ${\sqrt {2}}$, mistä seuraa, että sen terävä kulma on suuruudeltaan $2r\arctan {\frac {1}{\sqrt {2}}}$ eli noin 70,53° (1,231 radiaania).

Kuboktaedri kuuluu Arkhimedeen kappaleisiin. Koska rombidodekaedri on sellaisen duaalikappale, se on isoedrinen eli sen kaikki tahkot ovat keskenään yhtenevät. Tämän vuoksi sen symmetriaryhmä on transitiivinen kappaleen tahkojen joukon suhteen. Toisin sanoen valittiinpa rombidodekaedrista mitkä tahansa kaksi tahkoa A ja B, kappale voidaan aina kuvata rotaatiolla tai peilauksella itselleen siten, että tahko A kuvautuu tahkolle B.

Rombidodekaedri on myös yksi yhdeksästä särmätransitiivisesta kuperasta monitahokkaasta, toisin sanoen valittiinpa siitä mitkä tahansa kaksi särmää A ja B, kappale voidaan kuvata itselleen yhtenevyyskuvauksella siten, että särmä A kuvautuu särmälle B. Muut tällaiset kappaleet ovat viisi Platonin kappaletta sekä kuboktaedri, ikosidodekaedri ja rombinen triakontaedri.

Rombidodekaedri kuuluu tilan täyttäviin monitahokkaisiin. Toisin sanoen rombidodekaedreja voidaan asetella vierekkäin ja päällekkäin niin, että ne täyttävät kolmiulotteisen tilan ilman, että niiden väliin jää tyhjää tilaa. Tätä voidaan verrata siihen, miten esimerkiksi säännöllisillä kuusikulmioilla voidaan täyttää taso.

Graafissa, jonka solmuina ovat rombidodekaedrin kärjet ja kaarina sen särmät, ei ole Hamiltonin polkua.

Rombidodekaedri voidaan jakaa sen keskipisteen kautta kulkevilla tasoilla neljäksi kolmi­kulmaiseksi trapetsoedriksi. Tämä vastaa sitä, miten säännöllinen kuusikulmio voidaan jakaa neljäkkäiksi, joilla myös voidaan täyttää taso.

Rombidodekaedri tesseraktin varjokuvana. Tässä projektiossa eri riveille sattuvien kärkien lukumäärät ovat 1 4 6 4 1—nämä luvut muodostavat Pascalin kolmion neljännen rivin.

Matemaattisesti voidaan osoittaa, että kuution neliulotteisen vastineen eli tesseraktin kolmiulotteinen varjo sen vastakkaisten kärkien kautta kulkevan lävistäjän suunnassa olisi rombidodekaedri.

Mittasuhteet

Jos rombidodekaedrin särmän pituus on a, sen sisään piirretyn pallon säde on

$r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816\,496\,5809a,$.

Rombdidodekaedrin jokaista särmää sivuavan pallon säde on

$r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.942\,809\,041\,58a,$

ja sen ympäri piirretyn pallon

$r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.154\,700\,538a,$

Pinta-ala ja tilavuus

Jos rombidodekaedrin särmä on a, sen pinta-ala on

$A=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11.3137a^{2}$

ja tilavuus

$V={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3.0792a^{3}$

Suorakulmaiset projektiot

Rombidodekaedrilla on neljänlaisia symmetria-akseleita, jotka kulkevat sen tahkojen keskipisteiden, särmien keskipisteiden tai kahdenlaisten kärkien kautta. Näiden symmetria-akselien suunnassa kappaleella on myös neljä erilaista suorakulmaista projektiota. Projektiot kärkien kautta kulkevien lävistäjien suhteen vastaavat Coxeterin tasoja B₂ and A₂.

Suorakulmainen projektio

Projektiivinen symmetria	[4]	[6]	[2]	[2]
Rombi- dodekaedri
Kuboktaedri (duaali)

Karteesiset koordinaatit

Pyritoedrin eri väliasteet kuution ja rombidodekaedrin välillä

Rombidodekaedri voidaan sijoittaa origon ympärille niin, että sen niiden kärkipisteiden karteesiset koordinaatit, joissa kolmen tahkon tylpät kulmat kohtaavat toisensa, ovat

(±1, ±1, ±1)

Tällöin niiden kuuden kärkipisteen koordinaatit, joissa neljän tahkon terävät kulmat kohtaavat toisensa, ovat:

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) ja (0, 0, ±2).

Rombidodekaedria voidaan pitää pyritoedrin rajatapauksena. Pyritoedrin kärkipisteiden koordinaatit ovat (0, ±(1 + h), ±(1 − h²)), (±(1 + h), ±(1 − h²), 0) ja (±(1 − h²), 0, ±(1 + h)). Rajatapauksessa, kun parametrin h arvo on 1, tuloksena saadaan rombidodekaedri.

Rombidodekaedri luonnossa

Granaattikide

Rombidodekaedrien kyky täyttä tilaa ilmenee esimerkiksi pintakeskisessä kuutiollisessa (fcc) kidehilassa. Tällaisessa kidehilassa se kutakin atomia ympäröivä tila, joka on lähempänä kyseisen atomin ydintä kuin minkään naapuriatomin ydintä, on rombidodekaedrin muotoinen. Lisäksi tilakeskeisen kuutiollisen (bcc) hilan Brillouinin vyöhyke on rombidodekaedri. Rombidodekaedrin kaltainen rakenne esiintyy myös timanttirakenteisessa kidehilassa. Siitä tosin puuttuu puolet niistä rombidodekaedrin kärkipisteistä, joissa kolme tahkoa kohtaa toisensa.

Jotkin mineraalit kuten granaatti kiteytyvät tavallisimmin rombidodekaedrin muotoisiksi kiteiksi. Timantitkin ovat joskus rombidodekaedrin muotoisia, joskin ne luonnossa tavallisimmin ovat oktaedreja.

Mehiläiset käyttävät hyväkseen rombidodekaedrin geometriaa rakentaessaan hunajakennot siten, että niiden jokainen koppi on muodoltaan kuusikulmainen prisma, jonka päässä on rombidodekaedrin puolikas.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rombidodekaedri Wikimedia Commonsissa